Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K.). Tom 4. Funkcii kompleksnogo peremennogo (2001)(ru)(T)(365s) (940504), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Следовательно, 1 = яз. и 16. Вычислить 1= г(г, Г = (у,7о),.у=(з ЕС: !з(= !). у я'(з' — 9) г М ПОдЫНтстрапъиая фуНКцня 1 ИМЕЕТ ПОЛЮС ВтОрОГО ПОрядКа В ТОЧКЕ З~ го О И ПрОСтЫЕ полюсы в точках зг = -3, зг = 3, однако окружность .у охватывает лишь точку з„поэтому г( У е* г, е*(яг — 2з — 9) 2яо 1 = 2гп гезу(з) = 2яа йш — ~ — ) = 2аго 1ип а,-а о(з 1, зг — 9) *-а (зг — 9)г 9 Гл.
7. Вычеты и ю! применения 254 1 1 1 17. Вычислить Е = —. / нп — Их, Г, = (7„, 7."), 7„= (х б С: ~х! = г). 2лв',/ г„ м Точка х = О является существенно особой для подынтегральной функпии. Поскольку 1 чз — а (-1) в!и- = з х с-~ (2п+ 1)!х'""' ' =а то гев З (х) = 1, .1 = гев 1(х) = 1. а а а 18. Вычислить1= — / нп — о(х, Г= (7„,7„"),.г, =(х ЕС: ~х!=г) 2 я!,/ х г. м Поскольку в разложении в ряд Лорана отсутствует член вида с,х „то гевал — = О, 1 = ге!в!п — = О.
и -! 2! ° 2! о * о 1 1 „! 19. Вычислить 1 = —, / х"еа !(х, и Е Е, Г„= (7„, 7, ), У = (в Е С: ~х! = г). 2т!' / г. м Поскольку ! 2 х"е* = '-Е, й'х" ~2 1 = гевх"е = (и 4 1)!' и) )-1, если если и < -1. и 2 20. Вычислить 1 = / 1 ду (о > 1). / а+ сову о м Произведем в интеграле замену переменной ево = х.
Тогда лх 1 2х 2 ! лх ау=в 1= /' Г = ( Г, 7~,), 7 = (х Е С ! (х! = 1). ы о+оову хз+2ех.1-!' ! / хо+ 2ех+ ! г уравнение х' + 2ох + 1 = О имеет корни хв, ! — — -о ж вгау — 1, причем лишь точка х! — — -о 4 зуав — 1 охватывается окружностью 7 (т.к. ~ъ~о~ — 1 — о! = ~ — — 4 -~ < 1). По формуле (1), «+Уа! ! п. 1.3, имама 2 = 4ог , хв+2ах+1 2х+2а) вГау — 1 ! то при и = й — 1, й б а,а, т.е.
при и > -1 гевх"е = — ', „а прн и < — 1 гевх"ет = О. о а Следовательно, 255 б 1. Определение вычета. Осиовиаа теорема 21. Вычислить 1 = / (а>Ь>0). (а+ Ь сов у)2 Ь и Воспользуемся решением предыдущего примера. Для этого представим интеграл 1 в виде 2 2 г 24 2 у ( ~у Ь ( стуку 1(( ду 4 ( ду 1=— .-( а / (а+Ьсоьу]2 а 1 а +Ьсоьу а / (а+Ьсоьу)» а ~/ а+ьсоьу ТЬ/ а+Ьсоьу о о о о о Согласно решению примера 20 имеем г 2 »(у 1»(у 1 2л 2л 2 1 4 усову Ь / г ' ч/аг:Ьг ь ~/ ь» — 1 / ач-Ьсоьу Ь / ь о 41 (»(у»1 ( 2а ') 2»гЬ 4(Ь / а+Ьсоьу 4(Ь ( г/аг — Ьг/ ( 2 Ьг— о 1( 2л 2лЬ 2»г , г г „ 2»га , (аг — Ь +Ь) = а '», ь аг — Ь (аг Ьг)2 / а(аг Ьг)2 (а» Ьг)г 2 Ау 22.
Вычислить 1 = ( ,/ (а+Ьсоь'у)' а < Аналогично предыдущему, представим 1 в виде 2 2 1 г 1 ( 4(у Ь ( сов»у»(у 1 ( 4(у Ь 4( / 4(у 1=— 2 2 а / а+Ьсоь'у а / (а+Ьсоь'у)2 а / а+ Ьсоьг у а»(Ь / а+ Ьсоь у о о о е 2 2« -ь Ь— а ~/ а+ьсоь'у 4(ь / а+ьсоь'у о о Полагая 2у = 1, получим: Ь Ь гле А = а+ —, В = —.
2' 2 Ау 1 . Ау 1 ( »В ач-Ьсоьгу / А+Всоь2у 2/' А+Всеь(' 4 2,/ А+В соь( »/Аг — В~ г ьзг ы г/аз + аЬ ь г/ — ° Поскольку А ( Ду Д ( 2л '~ аЬ Ь— ,=ь ( ИЬ„/ а+Ьегн»У аь г»/Р+аь/ ( г+ е о о а Принимая во внимание решение предыдущего примера, а так:ке то обстоятельство, что при изменении ( от 0 до 4л замкнутый контур, охватывающий полюсы подынтегральнбй функции, обходится два раза, получим 25б Гл. 7. Вмчетм и их применения 1 2а )гаЬ ~ )г )г(2а + Ь) 1=— 2 (2(а + аЬ) — аЬ) = и а + а (аз+ аЬ)2/ а(аз+ аЬ)2 1 1 2 2 а)(, +Ь)2 2 23.
Вычислить 1= / е '~сов(п)2 — япу))((З) (и Е У). о м Воспользуемся формулами Эйлера для преобразования подынтегральной функции. Имеем 2 2 Произведя в интеграле замену е*~ = С получим: 1= — / (Г" 'ер+Г " 'е')г(Г, Г=(7,7„), 7=(ГЕС:!1!= !). 22 / !' Согласно формуле (1), и.1.3, находим: 1=0, если п < О, 1 = л гез (Г" 'е Г +1 " 'е)) = л ( — ', + — ', ) = — ',",, если и > О.
м о 24. Вычислить 1= / гб(л+ )о)г(е. о м Преобразуем подынтегральную функцию с помошью формул Эйлера: е(+! ) -(*+ ) ! *2* 2 гя(л + )о) = 2(еч*ы")+е '("('")) 2 е' +е' Полагая еР ы = С после замены переменной в интеграле получим: 1 ! à — е' 1= — -/ 2 (2(р Г=(727рр)р 7=(1ЕС(!1!=1) г Если а > О, то окружность Г охватывает Лишь точку Г = 0 — простой' полюс подынтегральной функции. В этом случае имеем 1 — ег 1 — ег" 1 = -л) гез = -л) Шп — = )п'. о 2(1+ ег") 2 - о!+ е™ Если а < О, то кроме полюса 1 = 0 кривая 7 охватывает и полюс Г = — е' подынтегральной функции. В этом случае 1 — е à — е 2 2 гез, = !пп .2- 2(г + е' ) (- ,2.
г — е)" 2 — е)" 1=-)п гез + гез ) =-л)(-1+2) =-л!. '), о !(Г+е) ) -р)«1(Ф+ег )) Оба рассмотренных случая объединяются в один: 1 = лр звп а. При а = 0 данный интеграл рассматриваем в смысле главного значения: ° 2 2- .р)'О,Ь= ею( ) ° ьр, ) О р,~)-!ьь(! *! „Ь, *)' р") = и +о,/ ,-+о ) о о 2 = и (-ьр.;и-р-)-ы-!)) = р (ь(=.*) -ь(-И) к,(-и-ы-)=р ° оо +о), ) япе г 257 й 2. Целые и мероморфиые функции 52. Целые и мероморфные функции 2Л. Целые функции. Определение.
Функция У, аналитическая ва всей плоскости С, называется целой. Из опрелеления следует, что целая функция не имеет конечных особых точек. Точка» = оо является изолированной особой точкой целой функции. Если» = оо — устранимая особая точка, то по теореме Лиувилля целая функция является постоянной. Пусть» = со — полюс целой функции 7". Тогда ее разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечности имеет вид ((»)=с„»" +...ч-с~»+с+~~ с „» "=Р,(»)+~~ с „» ". Функция У вЂ” Р„удовлетворяет условиям теоремы Лиувилля, так как !цп (Т(») — Р„(»)) = О.
Отсюда имеем У(») — Р„(») = О, или Г(») = Р„(»). Итак если функция У целая и имеет на бесконечности полюс, то она является многочленом, т.е. целой рациональной функцией. Целые функции с существенной особенностью на бесконечности называются целыми трансцендентными функциями. Примерами таких функций являются» ь е', » ~ соз», » ~ цп».
2.2. Мероморфные функции. Теорема Миттаг-Леффлера. Определение. Функция г, аналитическая в С, за исключением лишь полюсов, называвшая м в- ромарфнай. Из определения сяедует, что у мероморфной функции / в плоскости С нет никаких иных особенностей, кроме полюсов. Целые функции образуют подкласс класса мероморфных функций. Поскольку кюклый полюс является изолированной особой точкой, то мероморфная функция У не может иметь в С более чем счетное множес~во полюсов. Действительно, в каждом круге Кя = (» б С: !»! ( Л), Л = сопи, полюсов может быть лишь конечное число, в противном случае существовала бы их конечная предельная точка, которая была бы неизолированной особой точкой, а не гюлюсом. Таким образом, все полюсы мероморфной функции можно пересчитать, например, в порядке возрастания их абсолкпных величин.
Рассмотрим два случая. Пусть функция У имеет: 1) конечное множество полюсов; 2) бесконечное (счетное) множество полюсов, В случае 1) бесконечность является изолированной особой точкой. Пусть (Ь,; у = 1, гп)— множество полюсов функции У, )3, — порядок полюса Ь,, со1 со' с „, д(»)= + +...+ — (» — Ьу)з ' " (» — Ьу)пг ' — главная часть лорановского разложения функции У в окрестности полюса Ь;. Рассмотрим функцию » ~-~ )з(») = 1(») — ~г д.(»), ры которая является целой, поскольку ее устранимые точки Ь; можно считать устраненными. Так как Шп ,'г д(»)=О, то функции У и )р прн подходе к бесконечности ведут себя одинаково.
Гл. 7. Вычеты и их применения 258 Пусть 1 (а значит и гр) имеет на бесконечности устранимую особую точку нли полюс. Тогда Р!(х) р(х) = ~~! аьх , Т(з) = 7 аьг + 7 д.(х) = — , Р (г)' ь=ь ь=ь г=! где Р, и Р, — некоторые многочлены. Доказано следующие утверждение. Теорема 1. Если мероморфная функция 1 имеет на бесконечности устранимую особую точку или полюс, то она является рациональной функцией. Если же у мероморфной функции Г бесконечность является существенно особой точкой, то такую функцию можно представить в виде У(з) = Эг( ) + ~' дз(х) (1) г=! где р — некоторая целая функция, отличная от полннома. Рассмотрим теперь случай 2), когда мероморфная функция 1 имеет бесконечное множество полюсов. Такими функциями, например, являются х ! гдх, х ! сгдх. Покюкем, что и в этом случае для функции 1 можно получить формулу, аналогичную (1).
Определение. Рядмероморфныгфункций 2,д„называется сходящимся (равномерно сходя щ имея) на множестве М С С, если лишь конечное число членов этого ряда имеют полюсы на М и после устранения этих членов ряд сходится (равномерно сходится) на М. Теорема 2 (Митта г-Леффлера). 1(окой бы ни была последовательность точек (Ь,), 1пп Ь, = оо, (Ь!'1 ( (1Ьз! <... и последовательность функций (д,) вида р! о! с „ ~Л-~ г(г — Ь,)" =! существует мероморфная функция 1, имеюшяя полюсы в точках Ь, с главными частями в них, рав- ными д,(х).
ц Не ограничивая общности считаем, что Ь, ф О. Функция д, является аналитической в кр)те К = (з б С: (4 < ~Ь, Ц н, слеловательно, может быть представлена в нем степенным рядом д(з)ш~ *, з . " д!щ(о), (2) ь=о Фиксируем д б)к, где б < д < 1. Круг К, = (х б С: (х( < д(Ь,1) компактно принаапежиткругу К, в силу чего ряд (2) сходится в нем абсолютно и равномерно. Поэтому существует такое и, б )ь(, "* д,"'(о), д,(г) — ~~! ' х < — !Уг б К,. ь=о Обозначим !ю(б) Ь Тогда 1 1д (л) — Р.(л)~ < —. !Гз б Кгэ Рассмотрим рял 2 (д, — Р,'1.
Он равномерно сходится на любом компакте К С С в смысле данного выше определения. Действительно, УК С С ЗЖ б (ч) ". Уп >м )У К С Кй т (х Е С: )я! < д)Ь„Ц. РассмогРим Рад 2 (дг — Р,:), 1 >м )У. Его члены ЯвлЯютсЯ аналитическими фУикциами на К н мажорируются геометрической прогрессией 2 -', г > йг. Следовательно, его сумма 3и(х)— аналитическая функция в круге К. 259 б 2. Целме и мероморфиые функции Пусть функция у определена равенством н-! У(л) = ~~~,(ду — Р,) + ун(л). Функция у аналитическая в круге К, за исключением полюсов Ь; (з = 1, )У вЂ” 1) и имеет в Ьу ~лавные части д,(х). Поскольку К вЂ” произвольный компакт, то функция У мероморфная, имеет в С заданные полюсы Ь; с главными частями д;. м Следствие. Любую мероморфную функцию у можно лредставить суммой ряда У(л) = Ь(л)+ .'Е;(д-(л) — Р-(х)), т равномерно сходящегося на каждом камнакте, где Ь вЂ” целая функция, д„— главные части лоранавгких разложений у' в окрестности Ь„(полюсы Ь„занумерованы в порядке возрастания их абсолютных величин, Ь| ф О), Є— некоторые миогочлены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
