Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K.). Tom 4. Funkcii kompleksnogo peremennogo (2001)(ru)(T)(365s) (940504), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Имеем пЕХе. Поэтому япаа- 2аяпал ч — ~ „сохах совах = + ,7 ( !)" ал 2 Прн х = л получаем: сохах 1 ч 1 лсГаал = гг — = — +2а у ып агг а аз — пг ' Если продолжить аналитически это соотношение с действительной оси в комплексную плоскость, то получим решение задачи в внле $ '= — +,7 2 9 3. Бесконечные произведения Изучение функций в комплексной плоскости позволяет установить не только новые, иногда неожиланные их свойства (например, связь между показательной и тригонометрическими функциями), но и выделить отдельные классы функций.
Целесообразность вьшеления таких классов должна быль подтверждена их значением лля развития самой теории функций и ее применений. аь соз ах = — + ~ а„соз пх, 2 =! х з 222 е* — 1 2 ~-~ з' + 4п'л' 1 ~-! 2» сгЛ. = -+ ~ х ~ х2 ! п2222' Г „2а япал где а„= — / созахсозпхг(х =(-1)" —— л л а2 п2' 265 б 3. Бесконечные пропзведенпя 3.1. Числовые бескоиечиые произведения Предполагается, что читатель знаком с понятием бесконечного произведения действительных чисел и некоторыми результатами состветствуюшей теории. Пусть (з„) — произвольная последовательность комплексных чисел.
Определение 1. Бесконечное произведение П(1 +.„) (1) называется сходящимся, если последовательность (Р„) частичных произведений, гдг '- =П( +") »=! сходится к конечному и отличному ат нуля предельному эиачеиию Р: Р„-! Р, О < )Р~ < со, которое иаэываетгл значением бескаигчиага произведения (1) и обозначается через П(1+ х„). Если среди множителей (1 + з„) есть конечное число равных нулю, то бесконечное произведение называется сходяшимся или расходяшимся в зависимости от того, каким является бесконечное произведение, полученное из данного пугем извлечения из него нулевых множителей.
В случае, когда среди множителей (1+ з„) есть бесконечное множество нулевых, бесконечное произведение называется расходяшимся. В соответствии с данными определениями исследование сходимости бесконечного произведения сводится к исследованию сходимости бесконечного произведения, все сомножители которого отличны от нуля.
Очевидно, для сходимости бесконечного произведения (1) необходимо, чтобы 1!ш э„= О. Действительно, 1пп (! + з„) = 1пп р~" — — р — — 1, следовательно, з„-! О. Хеарема 1 (о рави осходимости бесконечного произведения и числового ряда). Бесконечное лроизввдгиие П(1+ э„) и рлд 2 1п(1+ х„), — т < !ш 1п(1 Е з„) < л, одновременно стдятсл или расходятся.
щ Пусть бесконечное произведение П(1+ э„) сходится. Тогда 1пп Р„= Р, Р ~ О, Р т» со, гле Р„ = 2 (1 + х»), Р = ге'т. Если Р„ = г е'в", -и < (а„ ( к, 1 + э» = р»е'и", и < В» ( к, »=! то р„ )э, В» О при з» вЂ” О, Обозначим Я„ = ',Э" !п(1 + э„) Тогда »=! Я„= !пР„+ 2т„хг, (2) где т„— целое число. Очевидно, 2т„!г = В, + В, + ... + „— (в„и, таким образом, 2л(т„ю — т„) = В„ю — ()з„»! — р„). Поскольку В„», О, (и„»! — р„-! О, то !2к(т„»! — т„)) < 2!г при достаточно большом и. Поэтому т„, = т„= т для указанных и и Б„= !п Р„+ 2тх!.
Сяедовательно, ! цп Б„= '5 1п(1+ э„) = 1п Р + 2тх!', =! т.е. рял 2 !п(1+ э„) сходится. Пусть 2 )п(1 + з„) = Я. Из равенства (2) получаем е " = Р„, откуда !нп Р„т ехр ~ Вт Б„) = е = Р, т. е бесконечное произведение П(1+ з„) сходится. Если бесконечное произведение П(1+ х„) расходится, то и рял 2 !п(1+ х„) расходится. Допустив, что этот ряд сходится, получили бы противоречие с доказанным выше. Аналогично, из расхолимссти Ря!т,> !п(1+ в„) слелует расходимость бесконечного произведения П(1+ э ). ~ 266 Гл.
7. Вычеты и их иримеиеиия Определение 2. Бесконечное произведение (1) называется абсолютно сходящимся, если бесконечное произведение (3) сходится. Бесконечное произведение (!) и ряд 2 з„одновременно абсолютно сходятся или расходятся. Действительно, из оценки 1+ 1з;1 < е!' ! следуют неравенства, выполняющиеся !гп е йй 1з!1+ 1сз1+ ., + 1з„1< (1+1з,1)(!+ 1з,1) ... (1+1з„1) < е!'!!+~*О+"'~'"~. (4) Частичные произведения П (1+ 1з„1) и частичные суммы 2 , '1зй1 соответствующих бесконечного й=! й=! произвеления и числового ряда образуют монотонно возрастающие последовательности, которые, согласно неравенствам (4), одновременно ограничены сверху или неограничены.
Теорема 2. Абсолютно сходящееся бесконечное произведение сладится. т Пусть бесконечное произведение (3) сходится, Є— его и-частичное произведение, Р„- Р. Для частичных произведений бесконечного произведения (1) имеем 1Р.-Р.,1= 1Р. !11з.1 =114зй111+зз1... 11+я. !11з.1< (1+1з!1) ... (1+1з.
!1) 1з.1 = Р.-Р„„ так как Р„= П(!+1,1), Р„- Р„, = (1+ 1.,1) ... (!+1 „,1)1.„1, > 2. й=! Поскольку Р„- Р, то рял ~ '(Є— Р„, ) (и > 2) сходится и, согласно теореме сравнения рядов, булет сходящимся ряд 2 ,'(Є— Р„,) (и > 2). Это означает, что ЄЄР, Ф оо. Осталось доказать, что Рв ~ О.
Согласно теореме 1, ряд 2 1л„1 сходится. Поскольку начиная с некоторого номера модули 11 -ь з„1 ограничены снизу, то ряд 2 , ') !*.л — ! сходится. Поэтому, по теореме 1, бесконечное произведение П (1 -ь ) —,'". 1) сходится, а вместе с ним и бесконечное произведение П о, где l о„= П ~1 — Д-) (чтобы убедится в этом, полагаем выше Р„' = о„, Р„' = П (1+ ~.Д-~) ), й=! й=! Таким образом, существует 1!ш !)„= !2в Ф О. Так как !2„= р', то Р„Р, ~ О. М Значение абсолютно сходящегося бесконечного произведения не зависит от порядка сомножителей.
Действительно, в этом случае сходится ряд 2,'1з„1 (по теореме 1). Пусть е = ! . Тогда существует такое и, Е )4, что тп > и, 1з„1 < —,' (т.к. 1л„1 О в силу необходимого условия сходимости ряда) . Для указанных и получаем оценку з„~й" 2 3 ''') ~ 2 3 1 1 1 1 1 1 «<1 + — — -)- — — +... < 1-)- — + — + ... = 2, 2 2 4 3 2 2! из которой следует, что чя > и, 1!п(1+я„)1 < 21з„1. Следовательно, ряд 2 )п(1+ я„) абсолютно сходится.
Теперь утверждение о независимости значения абсолютно сходящегося бесконечного произведения (!) является следствием равенства (см. теорему !), поскольку лля абсолютно сходящихся рядов выполняется свойспю коммутатив- ности. 267 $3. Бесковечнме произведения 3.2. Равномерно сходящиеся бесконечные произведения Пусть (/„) — последовательность функций /„: С С, и !Гп б 1ч Т)г„—— С, где б С С— некоторая область. Тогда 'Фг б С мо:кно рассматривать бесконечное произведение П(1+ /„(г)).
В случае его сходимости оно называется поточечно сходяшимся в области С. При этом оно определяет в С некоторую функцию г Р(г). Если последовательность (Р„) частичных произведений Р = П(1+ /ь) равномерно сходится на любом компакте К С С к функции Р (Р„х Р), то ь=! бесконечное произведение П(1+ / ) называется равномерно сходящимся в области О. Согласно теореме б, и.1.3, гл. 5, бесконечное произведение П(1+ /„) сходится равномерно в области С тогда и только тогда, когда гюследовательность (Р„) его частичных произведений равномерно фунламентальная в С Теорема (достаточные условия равномерной сходимости бесконечного произведения). Кля равномерной сходиткти бесконечного нроизведения П(1+ /„) достаточно существования такой числовой носледовательности (а„), чтобы винолнллись условия: 1) чп б М !!/„!! < а„ 2) бесконечное произведение П(1+ а„) сходится.
и поскольку бесконечное произведение П(1+ а„) сходится„то последовательность (Р„) его частичных произведений Р„= П(1 л- ак) фундаментальная: ь=! ч оь,ьн:!! - .,рьь! р„-к=П!'+"( П!'+"!» ь=! ь= +! Оценим '! ! ! .ьр Пе+ь -П!»!!!,= П!.!( П !»- ) ь=! ь=! ! ь=! ь= +! лля и > и, и всех р б )ч(. Из свойств равномерной нормы имеем +р П(1+/.)~ П(1+/.)-1) < П(1+/.) П(1-/)-1 < ь=! ь=»+! ь=! ь= !-! +р -П» »(П» !!-» ь=! ь= ю Обозначим Р„= П(1+ /ь).
Принимая во внимание условие 1), получаем ч(п > п„р б Н) ! ь=! +р »-.-к(-П "(П "-» * ь=! ь= +! т. е, последовательность (Р„) равномерно фундаментальная и бесконечное произведение П( +/-) сходится равномерно в области С. > З.З. Представление целой функции в виде бесконечного произведения.
Пуси зааана некоторая последовательность (а„), модули членов которой образуют неубываюшую последовательность, причем йш а„= оо, а ы 0 и среди чисел а„может быль конечное множество равных лруг другу: 268 Гл. 7. Вычеты и их применения Рассмотрим бесконечное произведение Р, где где числа р„б Хо такие, что ряд (2) абсолютно и РавномеРно сходитсЯ в любом кРУге Кн —— (г Е С: 1г! < Р) (в качестве Р„мозхно взять, например, р„= и — 1). Покажем, что бесконечное произведение (1) равномерно сходится на любом компакте К С С. Введем в рассмотрение функцию д„, где д„(г) = 1 — — ехр — + — — + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
