Савельев - Курс общей физики Том 2 - Электричество (934756), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Таким образом, умножение на / равнозначно повороту вектора на угол и/2 против ча» совой стрелки. Аналогично умножение на 1// = †/ равнозначно повороту вектора на угол и/2 по часовой стрелке. Чтобы продемонстрировать преимущества символического метода, произведем с его помощью вычисление падений напряжения на индуктивности и емкости. Формула (93.2) запишется в символическом виде следующим образом: пята равной нулю).
Полученный результат согласуется с рнс. 202, б. Падение напряжения на активном сопротивлении, очевидно, равно Ц, Дй (97.6) В случае цепи, изображенной на рнс. 204,а, сумма величин (97.4), (97.5) и (97.5) даст внешнее напряжение б: 1 Ю+Ьи — 1 — „~ г=(7.
Вынеся (за скобки, получим ([~+1(.7.-.с )1 = ~ Величина г=)с+)~м7 — — „',)-Л+)Х (97.7) (97.8) называется комплексным сопротивлением. В соответствни с формулами (97.2) его модуль равен полному сопротивлению (95.4), а аргумент определяется формулой (95Л), т. е. равен ~р — сдвигу фазмежду напряженнем и током. Следовательно, 2 = уеаг. (97.9) С введением комплексного сопротивления формула (97.7) принимает вид ге=О, (97.10) совпадающий с выражением закона Ома для постоянного тока. Из соотношения С= Ы=йегт вытекает, что вектор напряжения У можно получить, умножив вектор силы тока ~ на У и повернув против часовой стрелки на угол ~р.
Это согласуется с рнс. 204, б. Представим себе последовательную цепь, отдельные участкн которой характеризуются комплексными сопро- тивлениями У» (рис. 211). Согласно [97.10) падениена. пряжения на каждом из участков равно У» = 12». Сумма всех 0» должна быть равна напряжению О, приложенному к цепи: У= ХЮ~ =»Х 2»=Ж 'Таким образом, комплексное сопротивление У последовательной цепи равно сумме комплексных сопротивлений отдельных ее участков: 2= Х2». (97.1 Ц При параллельном соединении элементов цепи, каждый нз которых характеризуется комплексным сопротивлением 2» (рис. 212), полный ток равен О ! г где (7 — приложенное напряжение, Š— комплексное сопротивление цепи.
Вместе с тем ток ! должен быть У 4 4 4 ! ! ! ! ! 6 ' 4-2! — 1» ~,' Ряс. 211, Рис. 212 равен сумме токов 1», текущих по отдельным элементам цепи и определяемых выражением 1» б!2», юс= ~~)»=. г,' Приравняв оба выражения для 1, получим формулу для вычисления комплексного сопротивления параллельной цепи 1 ~Ч~1 1 г Я»' Правила Хирхгофа в комплексной форме записываются следующим образом: ~~'„!ь = О, (97.13) Х2ь!ь = Х8ь, ) где 8ть = 8' ье1( ")есть А-я э. д.
с., действующая в данном контуре. Все полученные в настоящем параграфе формулы остаются справедливыми, если вместо амплитудных взять действующие значения токов, напряжений и э. д. с. 5 98. Резонанс токов Рассмотрим цепь, образованную включенными параллельно иидуктивностью и емкостью (рис. 218).
Предположям, что активное сопротивление обеих ветвей настолько мало, что им 1 можно пренебречь. В этом случае согласно формулам (97.4) и (97.5) 1, = 1еС11; й . 0 й = —, = — 1 — (98.1) г — 7 —,1 ((7с = (7с г!). Рис. 213. Из выражений (98.1) следует, что токи !, и (з находятся в противофазе (ток в индуктивности отстает от У на и/2, ток в емкости опережает У на п12). Ток в подводящих проводах !' равен сумме токов !! и юз! 1 1 = 1, + !е = 1 ~вС вЂ” — ) (У.
е1. 1 При условии, что мС вЂ” — „=О 1 (98.2) ток 1 в подводящих проводах будет отсутствовать, хотя токи !! н 1з в отдельных цепях могут быть очень велики. Это явление называется р е з о н а и с о и т о к о в. Для резонансной частоты из условия (98.2) получается такое же значение, как и при резонансе напряжений (см. формулу (95.7)]. 23 и.
в. савельев, т. и При резонансе токи г1 и (в одинаковы по амплитуде и, как уже отмечалось, противоположны по фазе. Следовательно, в контуре, образованном индуктивностью и емкостью, циркулирует ток, непрерывно перезаряжая обкладки конденсатора. Соотношение между таками 7, и (в можно изобразить наглядно с помощью векторной диаграммы. На диаграмме напряжений (см. рис. 204,6) векторы (/ откладывались относительно оси токов. При построении диаграммы токов векторы с нужно откладывать отно.
сительно оси напряжений. Выберем в качестве этой оси и„ ( — ',) ю С Рис. 2!Б. Рнс. 214. ась х (рис. 214). Ток в индуктивности отстает от напряжения на и/2 и потому изображается вектором, повернутым относительно оси напряжений по часовой стрелке на угол и/2. Ток в емкости опережает напряжение на и/2, соответственно он повернут относительно оси напряжений против часовой стрелки на угол и/2. При резонансе длины векторов обоих токов одинаковы, результирующий ток равен нулю.
Практически индуктивность (например, катушка) всегда обладает некоторым активным сопротивлением сс') (на рис. 215 это сопротивление и сама индуктивность изображены раздельно). Следовательно, отставание тока от напряжения будет меньше и/2 — оно определяется формулой сеь 1е' ~р = —. Я ') Это относится также и к конденсатору; однако активное сопротивление в цепи конденсатора может быть сделано значительно меныае, чем в цепи индуктнвностн.
В этом случае векторы у! и !3 не коллинеарны и сумма их не может быть равной нулю (рис. 216,а), Комплексные сопротивления обеих ветвей равны (см. рис. 215) 1 Я! = —. Хе= Ус+ )еУ'.. уеС ' Сопротивление всей цепи будем вычислять по формуле (97.12) 1 С 1 (1 е У.С) + уеСУс 2 я+ уе!. И+ уеу. откуда (! - е'у.с) + уесу( Умножив числитель и знаменатель на величину, комплексно сопряженную знаменателю, получим а У(+ У (еу, (! — еЧ.С) — вСЯ~) (1 — еЧ.С)с + (еС)!)с Модуль Е даст полное сопротивление параллельной цепи, а отношение реактивной н активной! составляющих Я вЂ” тангенс угла ур, определяющего сдвиг фаз меж.
ду напряжением и током. йъ «алаеуааауу Ряс. 213. Можно показать, что максимум полного сопротивления Е (т. е. резонанс токов) достигается при условии, что реактивная составляющая 2 обращается в нуль и, 23* 355 следовательно, полное сопротивление становится чисто активным (рис, 216, б). Резонансную частоту можно найти, приравняв нулю мнимую часть выражения (98.3) мЕ (1 — аЧ.С) — вСЯз О.
Отсюда / ~ и (98.4) При й = О эта формула переходит в (95.?). Итак, резонанс токов характерен тем, что полное сопротивление цепи оказывается чисто* активным и имеет наибольшую, возможную при данных параметрах цепи величину (в случае резонанса напряжений Е умеет наименьшую величину). При этом токи й и 1з значительно превышают текущий через источник ток й Развиваемая источником мощность выделяется в активном сопротивлении цепи Я. Для тока частоты (98.4) контур с малым И имеет очень большое сопротивление, тем большее, чем меньше Я (при Й вЂ” О сопротивление контура Е стремится к бесконечности).
ГЛАВА ХУ! ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 9 99. Свободные колебания в контуре без активного сопротивления Электрические колебания могут возникать в цепи, содержащей индуктивность и емкость. Такая цепь называется колебательным контуром. На рис. 217,а изображены. последовательные -стадии колебательного процесса в идеализированном контуре с активным сопротивлением, равным нулю. ог. г Х Д:Щ~ — — аг с с га — — а' с с гг сгаг т н---аг сс г .1 с г;г г„гс гагг сггг РИС. 217.
Для того чтобы вызвать колебания, можно присоединить отключенный от индуктивности конденсатор к источнику тока. вследствие чего на обкладках возникнут разноименные заряды величины д (стадия 1). Между обкладками возникнет электрическое поле, энергия которого равна в — д' (см. формулу (29.1)1. 2 Если затем отключить источник тока и замкнуть конденсатор на индуктивность, емкость начнет разряжаться и в контуре потечет ток. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, но зато возникнет все возрастающая энергия магнитного поля„ обусловленного током, текущим через индуктивность. Эта энергия равна — АР [см.
формулу (61.4)). Так как активное сопротивление цепи равно нулю, полная энергия, слагающаяся из энергии электрического поля — — д и энергии магнитного поля †, !.>, не ! ! ! з с Т расходуется на нагревание и будет оставаться постоянной. Поэтому в момент, когда напра>кение на конденсаторе, а следовательно, н энергия электрического поля обращаются в нуль, энергия магнитного поля, а значит, н ток достигают наибольшего значения (стадия 2; начиная с этого момента ток течет за счет э. д. с. само- индукции). В дальнейшем ток уменьшается и, когда заряды на обкладках достигнут первоначальной величины д,, сила тока становится равной нулю (стадия 3). Затем те же процессы протекают в обратном порядке (стадии 4 и 5), после чего система приходит в первоначальное состояние (стадия 5) и весь цикл повторяешься снова и снова.
В ходе описанного процесса периодически изменяются (т. е. колеблются) заряд д на обкладках, напряжение 0 на конденсаторе и сила тока 1, текущего через индуктивность, Колебания сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей. На рис. 21?, б колебаниям в контуре сопоставлены колебания пружинного маятника. Сообщению зарядов обкладкам конденсатора соответствует выведение маятника внешней силой из положения равновесия и сообщение ему первоначального отклонения х .
При этом возникает потенциальная энергия упругой деформации пружины, равная — ях'„(см. т. 1, формулу (62.3)!. Ста! дни 2 соответствует прохождение маятника через положение равновесия. В этот момент квазиупругая сила равна нулю и маятник продолжает двигаться по инерции. К этому времени энергия маятника полностью перекодит в кинетическую н определяется выражением ЕЖ+ л1 С Ж Разделив это выражение на Е н заменив — через Л1 д(1 =д), придем к следующему уравнению: 1 ЬС 1 Если ввести обозначение 1 уравнение (99.1) принимает вид о+афу=О, (99.2) (99.3) хорошо знакомый нам из учения о механических колебаниях [см.
т. 1, уравнение (62.6Ц Решением этогоуравнения, как известно, является функция о = д„,саз(маг+а). (99.4) Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой, — глхт. Сопоставление дальнейших стадий предостав- 1. г ляем читателю. Из сопоставления электрических и механических колебаний следует, что энергия электрического поля 1 1 — — аналогична потенциальной энергии упругой дев с формации, а энергия магнитного поля — 1.1 анало- 1 в гична кинетической энергии.
Индуктивность Т. играет роль массы т, величина, обратная емкости (1/С),— роль коэффициента жесткости А. Наконец, заряду д соответствует смещение маятника из положения равновесия х, а силе тока 1= д — скорость х. Как мы увидим ниже, аналогия между электрическими и механическими колебаниями распространяется и на описывающие их математические уравнения.
Во время колебаний внешнее напряжение к контуру не приложено. Поэтому падения напряжения на емкости Ус = — и на индуктивности Ус = А — в сумме Д с Ф должны дать нуль определяемой выражением (99.2). Эта частота называет-. ся собственной частотой контура (оиа соответствует собственной частоте гармоннческогоосцнллятора). Для периода колебаний получается так называемая Формула Томсоног Т 2я У/.С. Напряжение на конденсаторе отличается от заряда множителем 1/С: (/ = ф соз (в /+ а) = (/ соз(еа/+ а), (99.6) Продифференцировав функцию (99.4) по времени, получим выражение для силы тока / — ва7 з(п(вг/+а)=/ соз(ег/+а+ — ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
