XVI.Теория вероятности (наш учебник) (932345), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Обозначая для любого у, -1 < у < 1, решения уравнения у = сов х в интервалах (О, х) и (гг, 2я) через угг(у) и фз(у) соответственно (грг(у) = агссову, фг(у) = 2гг — агссову), находим рг(у) рх(Ф1(у))~Ф1(у)1+рх(ггз(у))!Ф2(у)) О, УФ( — 1,1); 1/(ггпу~~- уз), у Е ( — 1, 1). Таким образом, мы получили тот же ответ, что и в предыдущем примере.
Пример 6.24. Распределение Таблица 6.11 диснрегпной случайной величины Х 1 (Хг, Хг) задается табл. 6.11. Нж- Хв дом Ряд Распределения случайной -1 0,07 0,10 0,13 величины У = Х~~ + Х~~ — 1. 1 0,20 0,23 0,27 Табл. 6.11 представим в виде табл. 6.12, состоящей из двух строк, причем в верхней строке перечислены все значения случайной величины У, а в нижней— соответствующие вероятности. Таблица 6.12 Таблица 6.18 Объединяя теперь столбцы с одинаковыми значениями У, получаем окончательно ряд распределения случайной величины У (табл.
6.13). Пример 6.25. Двумернал случайная величина (Хм Хз) распределена равномерно в круге хг, + хз ~< 1. Найдем функцию распределения случанной величины У = ХгХз. Значение функции распределения Гу(у) случайной величины У равно вероятности попадания двумерного случайного 264 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАИНЫХ ВЕЛИЧИН вектора (Х1, Хг) в область х1хг < р. Эта вероятность, в свою очередь, равна площади ЯВ области Р, состоящей иэ точек круга, координаты которых удовлетворяют неравенству х1хг < р (на рис.
6.6 и рис. 6.7 область Р эаштрихована), поделенной на площадь круга и. Это следует иэ того, что случайная величина (Х1, Хг) равномерно распределена. Рис. 6.6 Рис. 6.7 При р < -1/2 область Р пуста, а при р > 1/2 эта область совпадает с кругом. Поэтому 1 О, р<--,; й;(р) = \ г Пусть теперь -1/2 < р < О. Тогда пересечение гиперболы х1хг = р и окружности хг1+ ягг = 1 происходит в четырех точках (см. рис.
6.6): А1 — 1/2+ 1/4 — рг; Аг — 1/2 — 1/4 — рг. Аз 1/2 — 1/4 — рг' — 1/2+ 1/4 — рг А4 1/2+ 1/4- рг — 1/2- 1/4- рг 265 6.Т. Репгеиие типовых примеров координаты которых находятся кз системы уравнений < х1+хг =1; 2 х1хг = р. Значит, 8 =2 / (ф — л — — )Н х1 /1 1 = — — 2 агсвш — — ~/ — — рг + 2 1п — — — — 1 2 2 Ч4 (~2р 4рг и поэтому при — 1/2 < р < 0 1 2 .
1 ~~ 2 /1 1 Рг (р) = — — — агсаш — — у — — рг+ — 1п ~ — — — — 1 2 и 2 Ч4 гг ~2р 4рг Аналогично при 0 < р < 1/2 имеем (см. рис. 6.7): 1 2 1 ~~ 2 /1 1 Р~(р) = — + — агса1п — — у — — рг — — 1п ~ — — — — 1 2 я 2 Ч4 я 1,2р 4рг хг<0; „е хг е, хг)О. — в~1/2 Ь/2-1 -вв/2 ~/2~г2в/гГ(2) О, рх„х,(хыхг) = Полученные формулы задают значения функции распреде. лепил Р1. (р) при всех значениях аргумента р.
Пример 6.26. Независнлеые серчайнгяе величины Х1 и Хг имеют стандартное нормальное распределение и распределение Хг с й степенвлги свободы соответственно (см. 4.6). Найдем плотность распределения случайной величины У = Хг/ь/Хр/й. Поскольку случайные величины Х1 и Хг являются независимыми, двумерная случайная величина (Хы Хг) имеет совлгестнрго плотность распределения: 266 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЬХХ ВЕЛИЧИН Значение функции распределения Ру(р) равно вероятности попадания двумерного случайного вектора (Хм Хг) в область Р (на рис. 6.8 эта область заштрихована), определяемую неравенствами х1 <у, хг>0, 1/хг/й т.е. х, Рис. 9.9 Рис.
9.9 Сделаем замену з = ~/хг. Тогда где область интегрирования Р' (рис. 6.9) представляет собой угол между лучами х1 = -$, л = 0 (3 > 0) и х1 = рс, з = = ~ГЙ (б > 0). Переходя теперь к полярным координатам х1 =рсобф, з=решф, получаем Ру(р) =, аш ~~рйр р е Р ~ рбр. ~(2'г2ь~гГ(~г) ис~б(~/й/Л) о 267 6.7.
Решеипе типовых примеров Снова делая замену и = рз/2 и учитывая, что и~ ~~ е Мп=Г 0 находим ~а+1'1 е Так как нам необходимо определить плотность распределения случайной величины У, мы не будем вычислять интеграл в последней формуле, а воспользуемся формулой дифференцирования интеграла: агсф(Л/у) Учитывая, наконец, соотношение вш(агс$6х) = Я+х~ приходим к окончательному ответу: 268 в. Функции От случАЙных Величин Распределение случайной величины У называют распределением Сюттьюдентпа (1-распределением). Распределение Стьюдента, наряду с распределением Х~, играет важную роль в математической статистике. Пример 6.27. Случайная величина Хт распределена равномерно на отрезке (1, 2], а случайнал величина Хг имеет показательное ~экспоненииальное) с параметпром А = 2 распределение.
Предполагал, что случайные величины Хт и Хз являются независимыми, и воспользовавшись формулой свертпки, найдем функцию распределения и плотность распределения случайной величины У = Хт + Хь. Запишем формулу свертки: р1 (х) = Рхт(у)рхт(х — у)ду. Поскольку рх,(х) = О при х < 1 и рх,(х) = О при х < О, то при х < 1 подынтегральное выражение тождественно равно нулю, и, значит, РУ(х) =О, х <1.
При х > 1 формула свертки принимает вид РУ(х) = Рх,(у) Рхт(х - у) 4), 1 причем, поскольку рх,(х) = О также при х > 2, то при х > 2 формулу свертки можно записать в виде РУ(х) = Рх,(у)рх,(х — у)тту. 1 о.7. Ре!пеппе типовых примеров Подставляя в полученные формулы выражения для равномерной и экспоненциальной плотностей распределения, находим х ру(х) =2 е 2(* в)ау=1-е 2(* 1) 1<х<2; 1 2 ру(х) =2 е (* в)ар=е (* ) — е (* ), х) 2.
1 Таким образом, х<1; 1<х<2; ру(х) = -2(е-2) -2(е-1) Пример 6.28. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины (Хм Х2) (табл. 6.14). Найдем распределение вероятностей двумерной случайной величи- Таблица 6.Ц ны (Ум У2), где у1 =х,+х,'-гх,х„ 1 1 У2 = Х2 — — Х1 + -Х) — Х1 Х2. 2 2 2 2 Для того чтобы определить совместное распределения случайных величин У1 и У2, удобно сначала выписать общую таблицу, в которой в первой строке и первом столбце перечислены значения случайных величин У1 и У2, соответствующие всем парам значений случайных величин Х1 и Х2, на главной диагонали записаны вероятности, а на остальных метах стоят нули (табл. 6.16).
270 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Таблица 6.16 Объединял строки с одинаковыми значениями Уг, приходим к табл. 6.16. Таблица 6.16 Таблица 6.17 Наконец, объединяя столбцы с одинаковыми значениями Ум получаем табл. 6.17, окончательно задающую совместное распределение вероятностей случайных величин У1 и Уг. Пример 6.29. Двумерная случайная величина (Хм Хг) распределена равномерно в квадрате с вершинами в точках А1(0; -1), Аг(0; 1), Аг(2; 1) и А4(2; -1). Найдем совмес~пкую фуккцию распределения случайных величин Уг =Хгг и Уг =Хг+Хг.
Очевидно, что случайная величина У1 может принимать только значения от 0 до 1, а случайная величина Уг — от — 1 до 3. Поэтому Р~,,у,(у1,уг) = О, если у1 < 0 или уг ( (-1, и Р~„У,(умуг) = 1, если у1 ) 1 и уг ) 3. Пусть теперь 0 < уг < 1 и — 1 < уг < 3. Тогда значение РУ„У,(уь1уг) равно четверти 271 6,7.
Равеиие еиисемс яР~ииРсе площади части Р квадрата, ограниченной прямыми у1 = -хз~, у1 = х~з и уз = х1+ хз. Область Р при различных соотношениях между у1 и у1 на рис. 6.10-6.14 отмечена штриховкой. Проводя вычисяения, получаем РУ.7 (У1 УЗ) = Далее, если 0 < у1 < 1, а уз ) 3, то Гу, у,(у1,уз) совпадает с функцией распределения г7, (у1), которая, как нетрудно видеть, равна ~7„72 (у» уз) — Рт (у1) — Л~ Наконец, при у1 ) 1 и -1 < уз < 3 совместная функция распределения Ру„у,(у1,уз) совпадает с функцией распределения ~у.(уз) 8 (Юе+1) 1-(З-р,)' 8 ~7.7е(У1 УЗ) = й7е(УЗ) = Рис.
6.10 Рис. 6.18 Рис. 6.11 О, (в+ ~/Ю 8 рз497 1 Ф 17У1— 1/У1 Уз ~ ~Д6 -1/У1 < УЗ < 1/У11', Д~ <уз <2- /у1,' 2 — 1/у1 <уз <2+ Щ 2+~/у1 <уз. 272 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН х 1 гх, е 2 х1 Рис. 6.13 Рис. 6.14 Полученные формулы определяют значения совместной фУнкЦии РаспРеДелениЯ РУьу, (У1, Уг) пРи всех значенилх У1 и Уг. Пример 6.30. Двумерная случайная величина (Х1, Хг) имеет совместную плотность распределения 1 Рхьхг(~1~хг) = я(х1 + хг + 1 Найдем совместную плотность распределения случаиных величин у1 —— ех' + е"' и уг = ех' — ех' С помощью преобразования ь'~(х1,хг) = е*' + е*', 12(х1,хг) = е*' — е*' осуществим взаимооднозначное преобразование плоскости в область Р', задаваемую неравенствами у1 + уг ) О, у1 — уг ) О, причем обратное преобразование Ф (у ) =1 ("'2"') Фг(у1,уг) =~ ( — "',"') 273 б.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
