XVI.Теория вероятности (наш учебник) (932345), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Запишем квадратичную форму, соответствующую матрице Е о и преобразуем ее методом Лагранжа [1ч') к каноническому виду, являющемуся суммой квадратов: О 04х~+ О 08ху+ О 2у = (О 2х+ О 2у) + (О 4) = г~~ + а~э, где в1 = 0,2х+0,2у; лч = 0,4у. Поэтому матрица В 1 имеет вид (0,2 0,2 1 1~ 0 04/' а матрица  — вид В Вектор с задается равенством с= — (-2 4) ~ ' ~ = (10 -15). /5 — 2,5 1 ~,0 25,~ Отметим, что к стандартному нормальному распределению приводят и другие линейные преобразования, например преобразование с матрицей: 5 -2,5 0,6 0,8 5 2,5 256 б.
ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Общий нормальный закон. Как известно (см. 5.5), не- вырожденный п-мерный закон вполне определяется вектором средних значений т и матрицей ковариаций Е, которал является положительно определенной. Для общего и-мерного нормального закона условие положительной определенности матрицы ковариаций Е заменяетсл условием неотрицательной определенности этой матрицы [1Ч].
В частности, если беФЕ = О, то нормальное распределение называют вырожденным. Оказывается, что вырожденное нормальное распределение не является распределением непрерывного случайного вектора. Определим общий нормальный закон, исходя из формулы (6.16). Скажем, что вектор У распределен по общему п-мерному нормальному закону, если он может быть получен иэ нормально распределенного случайного вектора Х с помощью линейного преобразования (6.16). При этом матрица В может быть и вырожденной [П1]. Более того, матрица В не обязательно должна быть квадратной, а может иметь размерность и х л, и тогда из и-мерного нормально распределенного вектора Х с помощью линейного преобразования получается Й-мерный нормально распределенный вектор У.
Если матрица ковариаций Е имеет ранг л [П1], то и-мерный вектор У может быть выражен с помощью линейного преобразования (6.16) через й-мерный вектор Х, имеющий стандартное нормальное распределение. В частности, если матрица Е нулевая, т.е. ее ранг равен нулю, то вектор У состоит из неслучайных координат У, = с;, т.е. вектор с неслучайными координатами представляет собой частный случай нормально распределенного вектора. Формулы (6.17) и (6.18), выведенные нами для матриц ковариаций и векторов средних невырожденных нормальных распределений, полностью сохраняются и для общих нормальных распределений (напомним, что матрица В может быть не квадратной).
Более того, в следующей главе будет показано, что эти формулы имеют место для произвольно распределенных случайных векторов. б.б. Дивеввые преобреэовевил гвуеоовых величие 257 Пример 6.18. Пусть двумерный случайный вектор Х = = (Хм Х2) распределен по стандартному нормальному закону. Рассмотрим трехмерный случайный вектор У = (Ум У2, Уэ), полученный из вектора Х с помощью линейного преобразования У = ХВ+ с, где Следовательно, вектор У имеет нормальный трехмерный закон с матрицей ковариаций Ер — — 1 1 = 2 2 2 и вектором средних значений в- = (1, О, -1). Матрица Ер является вырожденной, причем ее ранг равен единице, собственные значения Ле = 6, Л2 = Лэ = О и собственный вектор, соответствующий ненулевому собственному значению Лм имеет вид е1 = (1, 1, 1).
Последнее означает, что трехмерный случайный вектор У может принимать только значения у1 = « + 1, р2 = л, рэ = в — 1, т.е. множество всех его значений лежит на прямой р1 = «+ 1, р2 = а, рэ = в — 1. Иными словами, знал, например, значения координаты У2 случайного вектора У, можно однозначно определить значения остальных координат по формулам У1 =У2+1 и уз =У2 — 1> что следует и непосредственно иэ определения вектора У. Метод лииеаризации. Пусть Х = (Х1, ..., Х„) — и-мерный случайный вектор, распределенный по нормальному (не- вырожденному) закону с матрицей ковариаций Е о и вектором 258 В. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН средних значений т -..
Вернемся к общему случаю и предположим, что У = У(Х) — векторная функция от случайного вектора Х. В ряде практических задач функция У(х) хотя и не является линейной, но тем не менее хорошо аппроксимируется линейной в области реального изменения случайного вектора Х. Тогда можно воспользоваться метподом лниеарнзацни, который мы сейчас опишем. Положим тйр = У(тХ). (6.20) Кроме того, считая, что функция У(х) дифференцируема в точке й -., введем матрицу (6.21) В окрестности точки та» функцию УЩ можно приближенно заменить линейной (Ч): У(х) — тйр+ (х — ЖХ)В. Па~тому У(Х) ~ йу+ (Х вЂ” шу)В, и, значит, случайный вектор У распределен приближенно по нормальному закону с вектором средних йзр, определяемым формулой (6.20), и матрицей ковариаций Ер, задаваемой формулой (6.17), в которой матрица В вычисляется по формуле (6.21).
Пример 6.19. Для определения плотности минерала был взят образец цилиндрической формы с неизвестными радиусом основания тп1, высотой тз и массой шз. Измерения проводились со случайными погрешностями и дали следующие результаты: радиус основания Х1, высота Хз и масса Хз.
Плотность б.б. Ливейвые вреобрввоввиив гвуееовых ввеиеив 259 минерала У была вычислена по формуле Хз яХ12Х2 Считая, что результаты измерений Х1, Х2, Хэ являются независимыми случайными величинами, имеющими совместное нормальное распределение с вектором средних (п11, т2, тз) (в этом случае говорят, что отсутствуют систематические погрешности измерений) и средними квадратичными отклонениями (п1, а2, оэ) (которые предполагаются малыми по сравнению с истинными значениями радиуса еп1, высоты п12 и массы шз), найдем распределение полученной плотности У минерала. Из условия задачи следует, что измеренные параметры представляют собой трехмерный случайный вектор Х=(Х„Х, Х ), распределенный по нормальному закону с вектором средних значений й1Х = (1п1 п12 п1з) и матрицей ковариаций а полученное значение плотности минерала У является скаляр- ной функцией вектора Х: У(Х) 1ГХ12Х2 Для нахождения распределения У воспользуемся методом линеаризации.
В соответствии с формулами (6.20) и (6.21) 260 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Пзг т1' = 1"(тх) = г 2Г»212112 (6.22) д хз дхг лхгзхз ~илгяя д хз дхз лхзхз ~я — гав д дхз ггхгхз ~я=газ 2 пгз лтзгтз Пзз лпззтв 1 2 1 лтзгтз Далее, воспользовавшись формулой (6.17), имеем: 1 1гпгзпгз лтзтз ггтзгпз Г 2 1 2 1 2 гпз лтзт Пгз х 0 агг 0 гггп т 1 2 1 4тгтзп1+ т1тзпг+ т1тгаг (6.23 2 2 2 2 2 2 2 2 2 лгтбт4 ) 2 Таким образом, полученное значение плотности У распре.
делена приближенно по нормальному закону со средним значением и диснерсиег1, определяемыми формулами (6.22) и (6.23). 6.7. Решение типовых примеров Пример 6.20. Дискретказ слрчаг1кал ееличика Х имеет Таб „а 6 д Рлд РаспРеделениц пРедставленный в табл. 6.8. Найдем Ряд распределения случайной Р 0,2 0,1 0,1 0,2 0,4 в ы У = 2Х2 + 1. 261 б.7. Рептеппе типовых примеров Значениям -2, -1, О, 1 и 2 случат1нот1 величины Х соответствуют значения 9, 3, 1, 3 и 9 случайной величины У. Воспользовавшись табл. 6.8, получим ряд распределения случайной величины У, представленный в табл. 6.9.
Теперь, для того чтобы получить окончательный ответ, нужно объединить столбцы с одинаковыми значениями У (табл. 6.10). Таблица 6.10 Таблица 6.9 Пример 6.21. Случайная величина Х имеет энспоненциальное распределение с параметром А = 1.
Найдем фуннцито распределения случайной величины У = (Х вЂ” 2)2. Случайная величина У может принимать только неотрицательные значения. Поэтому при у < 0 Ру(у) = О. При у > 0 функцию распределения Ру(у) определяем по формуле Ру(у) = рл(х) Их. у(в)<х Поскольку в данном примере У(х) = (х-2)2, то область интегрирования представляет собой интервал (2 — ~/у, 2+ ~/у). Согласно определению плотпностаи распределения экспоненциального закона, получаем: при у<4 2+~/У Ру(у) = е *ах =е +тх — е 2-.
/У 262 6. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВВЛИЧИН при у > 4 2+, /у Ру(у)= е *гаях=1 — е О Таким образом, О, у<О; ГУ(у) = е ~+~ — е ~ ~, 0<у<4; 1 — е ~ ~~я, у>4. Пример 6.22. Случайная величина Х имеет Равно.керкый закон раскределекил в интервале (О,я). Найдем плотность распределения случайной величины У = сое Х. Функция У(х) = соех является непрерывной убывающей в интервале (О, я) и отображает этот интервал в интервал (-1, 1).
Обратная функция ф(у) =У '(у) =агссоеу имеет производную Ф(у) =-,' Поскольку плотность распределения случайной величины Х / О, х(г(О,я); Рх(х) — ~„..„0., О, у У(-1, 1); 1/(яф — уз) у Е (-1 1). Пример 6.23. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (0,2я). Найдем плотность распределения случайной величины У = соеХ. 263 б.7. Решевпе типовых примеров Эта задача отличается от предыдущей только тем, что теперь функция У(х) = сов х не является монотонной в интервале (0,2гг). Однако она является непрерывной функцией, имеющей два интервала монотонности: (О, гг) и (гг, 2х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
