XVI.Теория вероятности (наш учебник) (932345), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Реявшие типовых примеров имеет непрерывные частные производные и якобиан 1 1 91+Уз 91+Уг 1 1 91-Уг 91 Уг 91 Уг Поэтому Р1ьъе(91~9г) =Рхьхе(Ф1(91~9г)~Фг(91~9г))!4~ = О, (91 Уг)ФЮ' 2 г ~ (91 Уг) ЕВ я(1п (~' «')+1в~(»вЂ” ~)+1) (уг — угг) Пример 6.31. Двумерная случайная величина (Х1, Хг) распределена равномерно в круге Р, определяемом неравенством хг1+ (хг — 1)г < 1 (рис. 6.15). Найдем совместную ~лотность распределения случайных величин 1'~ =Х1+Хг и Ъ'г =Х1 — 2Хг+3 Совместная плотность распределения двумерного случайного вектора (Х1, Хг) имеет вид / О, (х1, хг) фЮ; Линейное преобразование 111(х1,хг) = х1+хг, уг(х1,хг) = х1 — 2хг+3, д 1 — Ф1(91,9г) = оУ1 91+ Уг д 1 — Фг(91,9г) = д91 91-9 д 1 — Ф1(91 Уг) = д»г 91 + Уг д 1 — Ф1(91,9г) =- дУг У1 — Уг 274 6.
ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН в матричной форме имеет вид У(х) — хВ+ с,  —, с — (О, 3), /1 где  — невырожденная матрица. Это преобразование осу1це. ствляет отображение круга Р в множество Р' (рис. 6.16) точек внутри эллипса с центром в точке 0(1;1), задаваемого уравне- 5у1з+ 2у1уз+ 2уз~ — 12у1 — буз = О.
Рие. 6.16 Рис. 6.16 Нетрудно подсчитать, что йе1 В = -3. Обозначая В = В 1 обратную к В матрицу, получаем 1 ) О (у1 уэ) к р 1 ~ае1В~ ~ 11(3„) (у, у,) ~Р Пример 6.32. Пусть Х = (Х1, Хэ, Хз) — тирехмерныб саучайнмб аеноьор, распределенный по нормальному закону 275 6.1. Решение типовых прпыероп с вентпором средних значений ейо = (2, -1, 0) и матрицей новариаиий 3/2 1/2 1/2 Ех 1/2 3/2 1/2 1/2 -1/2 1 Найдем вектор средних значений ей -. и матрицу ковариаций Ер случайного вектора У = ХВ+ 4 где 1 2 1 В= 0 1 0 и сее( 3,-2 0).
2 -1 0 Имеем 1 0 2 3/2 1/2 1/2 Ер В ЕхВ 2 1 1 1/2 3/2 -1/2 х 1 0 0 1/2 -1/2 1 х 0 1 0 = 2 19/2 3 1 2 1 тйр=йоВ+сш(2, -1,0) О 1 0 + 2 -1 0 + (-3, -2, 0) = (-1, 1, 2). Пример 0.33. Пусть Х = (Хм Хз, Хз) — трехмерный случайный вектор — имеет нормальное распределение с вектором средних значений ей о = (3, 1, 2) и матрицей ковариаций Еош — 1 5 1 276 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Найдем вектор с и матрицу В линейного преобразования, переводюцего вектор Х в вектор 1', имеющий сшандаршное нормальное распределение. Запишем квадратичную форму Ех(х), соответствующую матрице Ео. Е о(х) = хг1 — 2х1хг + 2х1хз + бхгг + 2хгхз + Зхз.
Воспользовавшись методом Лагранжа выделения полных ква- дратов, получим ЕЯ(х) = (х1 — хг+хз) +4хг+4хгхз+2хз = = (х1 — хг+хз) +(2хг+хз) +х3 = З1 +яг+яз. г г г г г г где З1 =Х1 — Хг+ХЗ,' зг = 2хг + хз, ЗЗ = хз. Значит, В '= О 2 1, В= О 1/2 -1/2 Вектор с задается равенством 1 1/2 -3/2 с=-(3, 1, 2) О 1/2 -1/2 =(-3, -2, 3). О О 1 Пример 6.34. Для определения абсолютного значения скорости движущейся в пространстве частицы были замерены ее составляющие (получены значения Х1, Хг и Хз). Абсолютное 6.7. Репииие типовых примеров значение скорости У вычислялось по формуле Х +Х +Хзх. Считая, что результаты измерений представляют собой независимые нормально распределенные случайные величины и отсутствуют систематические погрешности, причем средние квадратичные отклонения ~т1, оз и из малы по сравнению с истинными значениями составляющих там хпз и тпЗ, НайдЕм раС- пределение полученного абсолютного значения скорости У.
Из условия задачи следует, что измеренные параметры представляют собой трехмерный случайный вектор Х = = (Х1, Хз, Хз), распределенный по нормальному закону с вектором средних значений тох = (тп11 таз таз) и матрицей ковариаций <тз О 0 о 3 о о о 4 Ех = а полученное абсолютное значение скорости У является (ска- лярной) функцией от вектора Х. Для нахождения распределения У воспользуемся методом линеаризации.
Тогда полученное абсолютное значение скорости У распределено приближенно по нормальному закону со средним значением =х(~х)=~/ ~+ ,'+ ,'. 278 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Для определения дисперсии нормального закона вычислим ма трицу частных производных ~~=яд=( — ~щ~ )= — х1+ хг+ хз~я=,у, г г г д*, 2 2 21 дхг — Х1 + Х2 + Хз~бю1В л д дхз д х1+ 2+хз!лаем ня+ ч~ "з~я~ ПЪ2 «Я +~~ +~~ тз „Я +з1 + ~ Имеем т. =в'я~в= -( Ятв1+~й Ям33ь7 Ятй+Рз ~Я 3~ Я~ +~Я~ 1пг х О пгг О „Я3в1 +Я 1ПЗ ~Я +51 +й7 П1 1П1 + П2 Пг + П31ПЗ г г г 2 г г Еу = п2+ пг+ п2 Перемножая матрицы, находим, что дисперсия нормального за- кона, приближенно описывающего распределение полученного абсолютного значения скорости У, определятся формулой 279 Волросы я задачи Вопросы и задачи 6.1. Как могут быть связаны между собой случайные величины7 6.2.
Что называют функцией от одномерной случайной величины? 6.3. Как найти ряд распределения функции от дискретной случайной величины? 6.4. Как найти функцию распределения функции от непрерывной случайной величины? 6.5. Как найти плотность распределения монотонной функции от непрерывной случайной величины? 6.6. Как найти плотность распределения кусочно монотонной функции от непрерывной случайной величины? 6.7. Как найти плотность распределения линейной функции от непрерывной случайной величины? 6.8. Как найти ряд распределения скалярной функции от дискретного случайного вектора? 6.0. Как найти функцию распределения скалярной функции от случайного вектора? 6.10. Что называют сверткой (композицией) плотностей распределения случайных величин? 6.11.
Как найти функцию распределения векторной функции от случайного вектора7 6.12. Как изменится плотность распределения векторной функции от случайного вектора при линейном преобразовании? 6.13. Какое распределение имеет случайный вектор, полученный из нормально распределенного случайного вектора с помощью линейного преобразования? 280 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 6.14. Как изменяются вектор средних и матрица ковариаций нормально распределенного случайного вектора при линейном преобразовании? 6.15. Какими параметрами определяется общий нормальный закон? В каком случае нормальный закон называют вырожденным? 6.16.
Какими свойствами обладает ковариационнзя матрица общего нормального закона? 6.17. Какая связь существует между нормально распределенным случайным вектором и случайным вектором, распределенным по стандартному нормальному закону? 6.16. В чем заключается метод линеаризации? Когда его можно применять'? 6.10. Как вычислить параметры нормального распределения, приближенно описывающего распределение функции от случайного вектора в соответствии с методом линеаризации? 6.20. Дискретная случайная величина Х имеет ряд распределения, представленный в табл.
6.18. Найдите ряд распределения случайной величины У, если: а) У=10Х вЂ” 1; б) У=-Хз; в) У=2х. Таблица 6.И Ответ: ряд распределения случайной величины У представлен: а) в табл. 6.19; б) в табл. 6.20; в) в табл. 6.21. Таблица 6.30 Таблица 6.19 281 Вопросы пэалочп Та6лииа 6.31 6.21. Случайная величина Х распределена равномерно в интервале (О, 3). Найдите функцию распределения случайной величины У = Х~+ 1. Ответ: О, у<1; Г~ (у) =,4~:т/3, 1<у<10; 1, у > 10. 6.22. Случайная величина Х имеет экспоненциальное распределение с параметром Л.
Найдите плотность распределения случайной величины У, если: а) У=с-" 6) У=Х' в) У=1(Х' г) У= /Х. Ответ: О, у Ф (О, 1); Лул 1, уЕ(0,1); о, у < о; Ле лоу/(ЗЩ), у > 0; О, у<0; Ле 1~я/(Зу~/у), у > 0; О, у<0; г) рь(у) = х~„~ 2Луе ", у>0. 6.23. Случайная величина Х распределена по нормальному закону со средним значением т и дисперсией о~. Найдите плотность распределения случайной величины У, если: а) У=)Х~; б) У=ахсФ6Х; в) У=Ха; г) У=с~ (плотность логари4мичесни нормального, или логнормального, распределения). 282 б.
ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Ответ: р<О, о, а) ру(р) = -(я-зи)'/(2а') ). -(я+тих)~/(2а') , у>О; Ч2~пт у ф (-к/2, к/2); о, е (~Ко т)~/(~а~) , рб(- /г, /2); 2~/гягг сова у б) ру(р) = р<О; , р>О; о, в) ру(р) ж -( /у — аъ) /(2а ) ). -(,/у+ив)~/(аа~) р<О; о, г) ру(у) = -()ая — эв)'/(аа') , р>О. ~/2~гау 6.24. Распределение двумерной случайной величины (Х1, Х2) Таблица 6.68 задается табл. 6.22.
Найдите Ряд распределения случайной величины У, если: а) У =Х1 — 2Х2 — 8; б) У= (Х1 — 12) +Х2~ — 1; в) У = (Х1 — 12)/Ха. О т в е т: ряд распределения случайной величины У предста; ален: а) в табл. 6.23; б) в табл. 6.24; в) в табл. 6.25. Таблица 6.3) Таблица 6.66 283 Вопросы и эаяачи Таблица 6.п5 6.25. Двумерная случайная величина (Хм Хг) распределена равномерно в прямоугольнике с вершинами в точках А1(0; О), Аг(0; 2), Аз(3; 2) и А4(3; 0).
Найдите функцию распределения случайной величины У, если: а) У = Х1+Хг, б) У = Х1/Хг. Ответ: у<0; 0<у<2; 2<р<3; 3 <у<5; у>5; О, уг/12, (у-1)/3, [12 — (5 — у) ]/12, 1, а) Ру(у) = О, р<О; р(Ып) — г г ьь/гпо/гул/г-1(н+й )-(а+а)/г у>0 г(-",)г® О, у < О; б) Гу(у) = у/3, 0<у<3/2; 1 — 3/(4у), у > 3/2. 6.26. Независимые случайные величины Х1 и Хг имеют стандартное нормальное распределение. Найдите плотности распределения случайной величины У = Х1/Хг. Ответ: 1 ~"'(У) „(1 + г)' 6.27. Независимые случайные величины Х1 и Хг имеют распределение Хг с й и н степенями свободы соответственно. Найдите плотность распределения случайной величины У = = нХ1/(йХг) (плотность Р-раснределениэа или распределения Фишера — Снедекора).
Ответ: 284 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 6.28. Независимые случайные величины Х4 и Хз имеют экспоненцнальное распределение с параметрами А1 = 1 и Лз = 2 соответственно. Воспользовавшись формулой свертки, найдите плотность распределения случайной величины У = Х1 + Хз. Ответ: (О, р<0; ( 2(е "— е з"), р)0. 6.29. Независимые случайные величины Х1 и Хз имеют равномерное распределение на отрезках «О, 1] и «О, 2] соответственно. Воспользовавшись формулой свертки, найдите плотность распределения случайной величины У = Х1 + Хз.
Ответ: О, р Ф (0, 3); р/2, 0<р<1; 1/2, 1<р<2; (3 — р)/2, 2 < р < 3. 6.30. Распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины (Хм Хз) задается табл. 6.26. Найдите распределение вероятностей двумерной случайной величины (Ум Уг), где У1 = Х1Хз, Уз = (Х1 — Хз)~. Таблица 6.86 Таблица 6.87 О т в е т: Совместное распределение вероятностей двумерной случайной величины (Ум Уз) представлено в табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
