XVI.Теория вероятности (наш учебник) (932345), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Нетрудно видеть, что если трактовать (хт,хз) как прямоугольные декартовы координаты случайной точки на плоскости, то (ут,уз) представляют собой полярные координаты этой же точки [П?]. Найдем двумерную функцию распределения вектора (Ут, Уз). Поскольку полярный радиус Ут и полярный угол Уз не могут быть отрицательными, то при ут < О или уз < О й;,Уь(уь уз) = Р(Ут < уь Уз < уз) = О б.5. Векторвые фувкиии от саутайвого векториого аргумевта 247 Пусть теперь у1 > О и О < у1 < 2в. Тогда в соответствии с формулой (6.13) Ртьу~(у1 у2) = 2 е е ' пх1пя2 В где область интегрирования 1г представляет собой сектор, ограниченный окружностью радиуса у1, осью Ох1 и лучом, исходацим из начала координат и составляюшим с осью Ох1 угол у2 (на рис.
6.5 этот сектор заштриховав). Переходя к полярным координатам р и е2, получаем Р УьУ,(У1,У2) = Д вЂ” е РИРг1гР = Г 1 -ре/2 о<р<ю о<е <ю ю Уз ре Р г Ыр — Йр= 11 — е "1г~1 —. ,/ 22' ~ /2т о о Наконец, пусть у1 > О и у2 > 2я. Тогда событие (У1 < У1, 1'2 < < у2) совпадает с событием (У1 < у1, У2 < 2т) и, значит, Р1„у,(у1,у2) = Ру„у,(у1,2я) = (1 — е "1г ) — = 1 — е "'~ . 22~2в 22 ) 2в 248 6. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Согласно теореме 5.1, О, У<О; ЕЪ; (уг) = й;,г,(уь+со) = 1 1 — е "г~~, у1)0; О, рэ < 0; Еь'~(рэ) = й'1,уь(+со,рэ) = рэ/2я'> 0 < рэ < 2я; 1, рэ)2я.
Таким образом, для любых рг и рэ Й;х,(уьуз) = Рь;(уг)й~(уэ). Следовательно, случайные величины У1 и Уэ являются независимыми, причем У1 имеет распределение Релел, а Уэ — равно.нерное раснределенне в промежутке [0,2и). Полученный результат обычно используют для моделирования случайных величин, распределенных по нормальному закону.
Действительно, пусть У1 и Уэ — неэаеисгьные слрчабные еелнчнны, имеющие соответственно распределение Релея и равномерное распределение на промежутке [0,2я) (их моделирование с учетом изложенного в примере 6.6 не вызывает затруднения). Тогда случайный вектор (Хь Хэ), Хг — — У1соеУз, Хэ=У1егпУэ имеет двумерное стандартное нормальное распределение. ф В заключение отметим, что если функции У1(хьхэ) и Уэ(хьхэ) задают преобразование плоскости или некоторой ее области г, причем обратное преобразование х1 = гд1(рьрэ), хэ = фэ(рь рэ) имеет непрерывные частные производные по рг и рэ, то н.еотиносгнн распределения случайных векторов (Хь Хэ) и (1'ь Уэ) связаны между собой соотношением руьг~(уьуэ) =Рх„х,(Фг(уьуз),Фэ(уьуэ))И (614) б.о. Векторные функцнн от евутайного векторного аргумента 249 где дф1(Ю, рв) дф1(и,рг) дг1 дуг дтв(Ю, рв) дтв(Ю, р2) предстааняет собой якобиан преобразования (1р1(У1 > Уг) Фг(Ум Уг)).
Формула (6.14) вытекает из правила замены переменных в двойном интеграле [У1Ц. Пример 6.13. Найдем совместную плотность распределения случайного вектора (Ь'и 1'2) из примера 6.12. Воспользуемся формулой (6.14). Поскольку в данном случае Ф1(У11У2) = У1созУ2) Фг(У11У2) = У1в1пУг~ О < У1 < +со, О < Уг < 2к, 1 2 2 У1~ Рхьхв(т1(У1~У2)1фг(У11У2)) = — е т1~, и согласно (6.14), получаем, что при У1 > О, О < Уг < 2я р1',гв(У1 Уг) = У1е Так как все значения случайного вектора (ум уг) содержатся в множестве ((У1, Уг): У1 > О, О < Уг < 2к) (см.
пример 6.12), то в остальных случаях руьу,(У1,У2) = О. Таким образом, мы пришли к тому же результату, что и в примере 6.12, но только в терминах плотности распределения. Покажем, как будет выглядеть формула (6.14) в случае линейного преобразования уг(х1,хг) = х1бн+ хгбг + с, 1 = 1,2, или в матричной записи У(У) = УВ+с, )г = (7м 1гг), х = (х1, хг), с= (с1 сг), 250 6.
ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН где В = (ЬИ) — невырожденнзя матрица. Обратное преобразование ф(р) = (р - с)В, р = (рь рг), также будет линейным, причем матрица В=В г является обратной к В, а якобиан,7 равен определителю 1 йегВ = —, бег В' где бег  — определитель матрицы В. Поэтому формула (6.14) принимает вид (6.15) Пример 6.14. Пусть двумерная случайная величина (Хь Хг) имеет равномерное внутри треугольника Р с вершинами в точках (О, 0), (О, 1) и (1, 0) распределение.
Найдем плотность распределения двумерного случайного вектора У = ХВ+ с, где с = (-1, 2), а В = ~ ). Нетрудно видеть, что совместинал плотносшь распределения Рхьхг(хьхг) = 2, если точка (хь хг) принадлежит треугольнику Р, в противном случае Рх,,хг(яьиг) = О. При рассматриваемом линейном преобразовании треугольник Р переходит в треугольник Р' с вершинами в точках ( — 1;2), (2;3) и (О;3), а йегВ = — 2. Поэтому в соответствии с формулой (6.15) Р% У,(рь рг) = 1 б.б. Векториые фуикиии от сзучаввого еекторвого аргумеит а 251 если точка (у1, уг) принадлежит треугольнику Р', в противном случае Ргз,г (рь Рг) = О Ф В заключение приведем простой, но важный для дальнеишего результат, устанавливающий достаточное условие независимости функций от независимых случайных величин.
Лемма 1. Пусть случайные величины Х1 и Хг являются независимыми, а функции У1(хьхг) и Уг(х1,хг) таковы, что У1(х1,хг) = У1(х1), т.е. У1(х1,хг) зависит только от х1, а Уг(хьхг) = 1г(хг), т.е. Уг(х1, хг) зависит только от хг. Тогда случайные величины У1 = У1(Х1,Х2) = У1(Х1) и Уг = Уг(Х1,Хг) = Уг(Х2) также являются независимыми. < Действительно (ограничиваясь кепрерывкыки сарчв((кыезк велкчккаези Х1 и Хг), в соответствии с (6.13) и теоремой 5.3 имеем: й;,гз(рьрг) = Рхьх,(х1,хг)11х11(хг= зз(кьвз)<Ю Гз(вз,аз)<ю Рхз (х1)рхз (х2) Ж1 ззхг = Рхз (х1) ззх1 х зз(кз)<ю Ъз(зз)<91 зз(ез) <тз х Рхз(хг)ззхг = Й'з(У1)гъ~(уг).
1'з(ез) <Ю 252 а Функции От случАЙных Величин Замечание 6.4. Утверждение леммы 1 обобщается на случай и случайных величин Хт, ..., Х„. Пример 6.15. Пусть Хт, ..., Մ— независимые случайные величины, имеющие стпандартпное нормальное распределение. Тогда случайные величины Хтз,..., Хв также являются независимыми и распределены по закону Х~ с одной степенью свободы (см.
пример 6.5), и, как следует из теоремы 6.1, случайная величина У=Х +...+Х имеет распределение Хз с п степенями свободы. Извлекая квадратный корень из У, получаем при п = 2 и и = 3 распределения Релея и Максвелла (см. пример 6.10). Отметим еще раз, что приведенные в настоящей главе результаты сформулированы для векторов размерности и = 2 лишь для краткости и наглядности изложения. Нетрудно показать, что они остаются справедливыми для случайных векторов, имеющих произвольную размерность п > 2. 6.6. Линейные преобразования нормально распределенных случайных величин. Метод линеаризации В силу особой важности для практических применений в этом параграфе мы подробно остановимся на линейных преобразованиях многомерных случат1ных величин, распределенных по нормальному закону. Пусть Х = (Хь ..., Х„) — и-мервый случабкыб ввнтиор, распределенный по нормальному закону с матприцеб новариацит1 Ео и вектпором средних значение тй-.
Рассмотрим новый случайный вектор У = (Ут, ..., У„), полученный из вектора Х' с помощью линейного преобразования (6.16) У =ХВ+с, 6.6. Лииейвые вреобрвзовввив гвуееовьгв величии 253 р (Д р ((р ст)В) -л((д-е)в- Вх)тх((6-е)н-гах) (~/2зг)в(г(е( Ео) е ! г(ей В~ е е(~ у) у(г7 (~Г2гг)в(бе1(В~ЕХВ)) е 1 --(г7-жу)ер(К-игр) ! т ,е е 3 (~/2и)в(йеФЕр) л где В = В г — матрица, обратная к матрице В; Ео = Е ~— матрица, обратная к матрице Е -,; Ер = В'Е~В; (6.17) Ер = Ер~ — матрица, обратная к матрице Ер, (6.18) гйо = гй о В + с. Таким образом, случайный вектор У также распределен по нор- мальному закону с вектором средних значений гй - и матрицей ковариаций Ер, определяемыми формулами (6.18) и (6.17).
Пример 6.16. Предположим, что двумерный случайный вектор Х = (Хг, Хз) имеет нормальное распределение с вектором средних значений гут,7 = (1, 2) и матрицей ковариаций 1-1~ Еу = ). Найдем вектор средних значений гйр и матрицу ковариаций Ер случайного вектора У = ХВ+ с, где В=~ ~ ис=(-1 -3). l1 ), () где  — невырожденнал квадратнал матрица порядка и [111], а с — и-мерный вектор. Тогда в соответствии с формулой (6.15) случайный вектор У имеет плоганосгаь распределения 254 6. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В соответствии с формулами (6.17) и (6.18) имеем: 1 1 -1 2 0 1 0 1 Значит, вектор У имеет двумерное стандартное нормальное распределение.
ф Пусть н-мерный случайный вектор Х имеет многомерное нормальное распределение с матрицей ковариаций Е» и вектором средних значений тй». Формула (6.17) является формулой преобразования матрицы квадратичной формы. Поскольку матрица Е- является положительно определенной, то всегда можно подобрать невырожденное линейное преобразование В таким образом (например, используя метод Лагранжа [1У]), чтобы матрица Ер, определенная формулой (6.17), была единичной. Полагал теперь с = -туь»В, из формулы (6.18) заключаем, что тйр есть нулевой вектор. Таким образом, приходим к выводу, что вектор У имеет многомерное стандартное нормальное распределение. Выражая теперь вектор Х через вектор У по формуле (6.19) Х УВ +т приходим к следующему результату (ср.
с результатом в 5.4): н-мерный случайный вектор Х, распределенный по нормальному закону с произвольными вектором средних значений гй» и матрицей ковариаций Е -,, может быть получен с помощью преобразования (6.19), где вектор У распределен по стандарганому нормальному закону. б.б. Лииейвые иреобразоввиив гауееовых величин 255 Пример 6.1Т. Пусть Х = (Х1, Хо) имеет нормальное распределение с вектором средних значений т = (-2, 4) и матри- /0,04 0,041 цей ковариацш1 ~М 1,0 04 02 (. ~айдем вектор с и ма~ рицу В линейного преобразования, переводящего вектор Х в вектор У, имеющий стандартное нормальное распределение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
