XVI.Теория вероятности (наш учебник) (932345), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Это же свойство верно и для всех остальных возможных пар значений случайных величин Х и У. Поэтому случайные величины Х и У являются независимыми согласно теореме 5.4. Пример 5.21. Проверим, являются ли случайные величины Х и У иэ примера 5.15 независимыми. Поскольку вероятность события (Х = 3, У = 31 не равна произведению вероятностей событий (Х = 3) и (У = 3), то, согласно теореме 5.3, случайные величины Х и У являются зависимыми. Пример 5.22. Проверим, являются ли случайные величины Х и У иэ примера 5.17 независимыми. 206 5. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Из результатов примера 5.17 видно, что совместная плотность распределения р(х, у) случайного вектора (Х, У) не равна тождественно произведению частных плотностей распределения р г (х) и ру(у) случайных величин Х и У.
Поэтому, согласно теореме 5.3, случайные величины Х и У являютсл зависимыми. Пример 5.23. Проверим, являются ли случайные величины Х и У иэ примера 5.18 независимыми. В данном случае совместная плотность распределения р(х, у) случайного вектора (Х, У) тождественно равна произведению частных плотностей распределения рх(х) и ру(у) случайных величин Х и У. Значит, согласно теореме 5.4, случайные величины Х и У являются независимыми.
Пример 5.24. Известно, что рост Х1 и вес Хз взрослого мужчины (и женщины), проживающего в одном регионе, достаточно хорошо описывается двумерным нормальным законом раснределенив. В частности, рост (в сантиметрах) и вес (в килограммах) мужчин некоторой страны Нормзлии подчинены нормальному закону с вектпором средних значений ~74 = (172, 74) /45 28 1 и машриией ковариаиий Е = ~ Найдем вероятности следующих событий: а) рост случайно встретившегося нормзльца больше среднего;.
б) его вес меньше среднего; в) его рост больше среднего, а вес меньше среднего. а. Одномерное распределение случайной величины Х4 является нормальным со средним значением гн1 = 172 и дисперсией о~~ = 45. Поэтому вероятность того, что рост случайно встретившегося нормавьца будет больше среднего, равна: Р(Х1 > 172) = 1 — Ф17з,(4вв(172) = 1 — Фв(0) = 0,5. б. Действуя, как и в предыдущем пункте, приходим к следующему результату: вероятность того, что вес случайно встретившегося нормзльца будет меньше среднего, также равна 0,5.
207 б.б. Репзеппе типовых примеров р= = ° 0,66, (712 28 зЯ~~2 ~45 40 имеем -~2 Я(х1-1722хз — 74) 2 2(42 42 (2 — 0,66 ( где Я(х1 — 172, хг — 74) = 1 (х1 — 172) г 2 0,66(х1-172) (хг — 74) (хг -74)2 1Г 40 1 — 0,662 45 45 40 Тогда Р(Х1 > 172,Х2 < 74) = 2т хз>172 хз <74 Проводя замену , — 172 = 46~/1 — 0,66Ъ 0, — 74= '40072-0,66 Ы0, вычисляя яззобоан (з(П] дх1 дх1 =445 40 (1 — 0,66 )г дхз дхз де д(р в.
Для того чтобы найти вероятность Р(Х1 > 172, Хг < 74) того, что рост случайно встретившегося нормальца будет больше среднего, а его вес меньше среднего, выпишем совместную плотность распределения случайных величин Х и У. Вычислив коэффициент корреляции 208 3. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ и учитывая, что область интегрирования (хт > 172, х2 < 741 при этом переходит в область (г > О, Зх/2 < тр < 2тг), получаем 1-0,66 Р1,>166, 414т= 2тг 2Р +044 х йр гехр~ — — (т сов тр-2 О,ббт' совтрвштр+г вш 4р) туг= 2 2 2 ° 2 2 2 ЗР/2 0 20 >44-0,66' Г 2тг 1 1-2 О,ббсовтрвштр 346 т'2 тх 0,66 = — 1--~16 ' 0,11.
6 '16 ! — 0,66 / Таким образом, искомая вероятность равна примерно 0,11. Отметим, что если бы рост и вес были независимыми величинами, то эта вероятность равнялась бы 0,5 0,5 = 0,25, т.е. была бы в два с лишним раза больше. Пример 5.25. 1рехмерньтйсзучвйньтйвектор Х=(Х21 Х2, Хз) распределен по нормазьному закону с вектором средних значений тй = (2,5, 1, 2) и матрицей ковариаций Найдем: а) совместную плотность распределения случайного вектора Х; б) одномерные плотности распределения случайных величин Хт1 Х2 и Хз.
Б.о. Ретеиие типовых примеров а. Вычислим определитель матрицы Е и матрицу Е, обратную к матрице Е (11)( 2 1 йеЗЕ = без 1 3 0,5 2 0,5 2 = 13,25, 4 -3 0,5 7,75 — 3,5 -35 5 1 8 Е=Е ~ = — -3 13,25 0 5 1 Тогда (х - оз)Е(х - т) = (х( — 2,5 хз — 1 хз — 2) х х — -3 7,75 -3,5 хз — 1 1 = — [8(хз — 2,5) — 6(х1 — 2,5) (хз — 1) + 7,75(хз — 1) + + (х( — 2,5)(хз — 2) — 7(хз — 1)(хз — 2) + 5(хз — 2)~~ > 1 Рх(х) (,/2я)з ДУ25 х ехр — — ~8(х( -2,5) -6(х(-2,5)(хз-1) +7,75(хз-1) + 3 1 <-( ~-2 5(( ~-2( — 7( г — 1(( г — 2(<-5(щ — 2(~)]. б.
Случайные величины Хм Хз и Хз распределены по нормальному закону с параметрами гп1 = 2,5 и сг1 = Л, пзг = 1 и совместнал плотность распределения случайного вектора Х, согласно (5.5), имеет вид 210 6. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ и <тз = ~ГЗ, тз = 2 и пз = ~Г2. Поэтому Рх,(х) = е-(х-з,6)'/4 Рх (х) = — е 1я 1) ~е, 1 Р,(х) е-(*-з)'/з 1 2~/2тг Пример 5.26. Двумерная случайная величина (Х1, Хз), представляющая собой координаты падения случайной точки на плоскость, распределена по нормальному закону с вектором средних значений тХ = (1, 2) и матрицей ковариаций Е у = 36 -2 5 Найдем: а) оси рассеивания двумерной случайной величины (Х1, Хз); б) вероятность попадания случайной величины Х1 в интервал (1/3, 1); в) вероятность попадания двумерной случайной величины (Х1, Хз) в область Р, ограниченную эллипсом [1?1], 5х1+ 4х1хз + Зхз — 18х1 — Збхз + 41 = О.
а. Направление осей рассеивания совпадает с направлением собственных векторов матрицы [1У] 2 Собственные значения матрицы Еу определим из уравнения бес(Е~ — Л1) = Йе1 = Л вЂ” 13Л+ Зб = О. 2 8-Л/ Они равны Л1 — — 4, Лз = 9. Решая систему '1,2 8/ 211 Б.б. Решение типовых аримероа находим нормированные собственные векторы Поскольку оси рассеивания проходят через точку О'(1;2), то уравнения осей рассеивания имеют вид х1 — 1 хг — 2 х1 — 1 хг — 2 и 2 -1 1 2 В частности, в системе координат х~10'х~г с центром в точке О' и базисными векторами Щ е1' и ег' координаты (Х',;Хг) случайной точки имеют нормальное распределение с вектором средних йг о, = (О; 0) и матрицей ковариаций х* 0 1УЛг 0 1У9 ег' ( 1 2 ~ГЛг г~ ~Г45 5~/45 5~ е1' ( 1 1 ~/Х~ ~ Л' ~/200) ' то в этой последней системе координаты (1~~,Уг) случайной точки будут иметь стандартпное нормальное распределение.
б. Случайная величина Хг имеет нормальное распределение со средним значением гпх, = 1 и средним квадратичным оп~- нлонениен сто, = ~(2/3. Паьтому Р(- <Х1 <1) =Ф д(1) — Ф, д(-) = =Ф( — '') — Ф('~~ ') =Ф(0)-Ф(-~/2) =0,42. в. Матрица квадратичной формы 5х1г + 4х1хг + 8хг, которая представляет собой многочлен второй степени, определяющий Наконец, если ввести систему координат у10'уг с центром в той же точке О' и бззисными векторами 212 5.
МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ рассматриваемый эллипс, совпадает с матрицей ЕЕ. Поэтому оси симметрии эллипса параллельны осям рассеивания случаиной величины (Х1, Х2). Более того, проводя вычисления, получаем, что центр эллипса совпадает с центром рассеивания О'. Значит в системе координат, образованной осями рас- 1 Ф сеивания, т.е. в системе координат с центром в точке О и базисными векторами е1' и е2', эллипс имеет каноническое уравнение.
Поскольку матрица квадратичной формы в уравнении рассматриваемого эллипса совпадает с матрицей Еу, видим, что этот эллипс является одновременно эллипсом рассевванил, и в системе координат у10у2 он превращается в окружность р2+ р2 = 4. Поэтому вероятность попадания двумерной случай- 1 2 ной величины (Х1, Х2) в область 12 равна вероятности попадз ния двумерной случайной величины (1~~, Ъ'2), распределенной по стандартному нормальному закону, в круг радиуса 2 и определяется формулой гг 1 я+22 Р((Х1, Х2) Е Щ = Р(Ъ'~~+1г2~ (41 = Д вЂ” е 2 Ир1Ыу2.
22+22 <4 Переходя к полярным координатам, получаем 2т 2 2 Р((Х1,Х2) ЕВ)= байр '4 — е 2 рйр=1 — е 0,14. ,/ 2я 0 О Таким образом, искомая вероятность приближенно равна 0,14. Вопросы и задачи 5.1. Что называют и-мерной случайной величиной (п-мерным случайным вектором)? 5.2. Дайте определение совместной функции распределения (вероятностей) и-мерной случайной величины (и-мерного случайного вектора). Вопросы и задачи 213 5.3. Какими свойствами обладает функция распределения и-мерного случайного вектора? 5.4.
Как найти вероятность попадания двумерной случайной величины (Х, У) в прямоугольник (а~ < х < аз, 6~ ( (у < Ьз) с помощью совместной функции распределения Рху (я, у)? 5.5. Какую двумерную случайную величину называют дискретной? 5.6. Каким образом можно задать распределение двумерной случайной величины? 5.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
