Главная » Просмотр файлов » XVI.Теория вероятности (наш учебник)

XVI.Теория вероятности (наш учебник) (932345), страница 23

Файл №932345 XVI.Теория вероятности (наш учебник) (Учебник по Теории Вероятности) 23 страницаXVI.Теория вероятности (наш учебник) (932345) страница 232013-08-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

166 5. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Множество значений и-мерного случайного вектора можно отждествить с точками и-мерного линейного арифметического пространства Ж" [1У]. Замечание 5.1. Обратим внимание, что в данном выпуске в отличие от предыдущих [1У] вектор пространства й" будем обозначать матрицей-строкой. Приведем примеры случайных векторов. Пример 5.1. Отклонение точки разрыва снаряда от точки прицеливания при стрельбе по плоской цели можно задать двумерной случайной величиной (Х, у), где Х вЂ” отклонение по дальности, а 1' — отклонение в боковом направлении. При стрельбе по воздушной цели необходимо рассматривать трехмерный случайный вектор (Х, У, 2), где Х, У, Я— координаты отклонения точки разрыва зенитного снаряда от точки прицеливания в некоторой пространственной системе координат [П1]. Пример 5.2.

При испытании прибора на надежность совокупность внешних воздействий в некоторый момент времени можно описать случайным вектором [Х, У, Я, ...). Здесь, например, Х вЂ” температура окружающей среды, У вЂ” атмосферное давление, 2 — амплитуда вибрации платформы, на которой установлен прибор и т.д. Размерность этого вектора зависит от количества учитываемых факторов и может быть достаточно большой.

ф Свойства многомерных случайных векторов мы будем в основном изучать на примере двумерного случайного вектора, делая, если это потребуется, пояснения для случайного вектора произвольной размерности. Напомним, что рассмотрение одномерной случайной величины начиналось с обсуждения способа задания ее закова распределения.

В частности, закон распределения одномерной случайной величины можно задать с помощью фрикции распределения. То же можно сказать и по отношению к п-мерному 167 5.1. Совмеетвае фувввве реевРедееевве случайному вектору. Отметим, что в дальнейшем для пересечения событий (Х1 < х1),..., (Х„< х„) вместо записи (Х1 <х1)п...п(Х„<х„) будем использовать запись (Хт < х1,..., Х„< х„). Определение 5.2. Фуннцией распределения (вероятпностпей) Г (Х1 ° ° °,Ха) = ГХ„...,Х„(Х1 ° ° Ха) (и-мерного) случайноео вентпора (Х1, ..., Х„) называют функцию, значение которой в точке (х1, ..., х„) е Й" равно вероятности совместного осуществления (пересечения) событий (Х1 <хт),...,(Х„<х„), т.е.

Р(хт,..., х„) = Рх, ... х„(х1,..., х„) = Р(Х1 < х1,..., Х„< х„). Функцию распределения Р(хт,...,х„) называют также совместпной (и-мерной) фуннт4ией распределения случайных величин Х1,..., Х„. В частности, при п = 1 будем говорить об одномерной, при и = 2— о двумерной функции распреде- вт лен ия. а Значение двумерной функции распределения в точке (а1, аз), согласно определению 5.2, предста- тт х а, х~ вляет собой не что иное, как вероятность попадания точки с координатами (Х1,Хз) в квадрант с вершиной в точке (а1,аз), за- Рве.

5.1 штрихованный на рис. 5.1. Свойства двумерной функции распределения, аналогичные свойствам функции распределения одномерной случайной величины, доказываются в следующей теореме. 168 5. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Теорема 5.1. Двумерная функция распределения удовлетворяет следующим свойствам.

1. О < Р(хд, хг) < 1. 2. Р(хд,хг) — неубывающая функция [Ч] по каждому из аргументов хд и хг. 3. Р(-оо,хг) = Р(хд, — оо) = О 4. Р(+ос,+со) =1. 5. Р(ад < Хд < Ьд, аг < Хг < Ьг) = Р(Ьы Ьг) — Р(Ьд аг) — Р(ад Ьг)+Р(ад, аг). 6. Р(хд, хг) — непрерывнал слева в любой точке (хм хг) Е К~ по каждому из аргументов хд и хг функция. 7. Рх„х (х,+со) = Рх,(х) Рхд,х~(+со,х) = Рх (х). < Утверждения 1 и 2 доказываются точно так же, как и в одномерном случае (см. теорему 4.1). Сооыидил (Хд < -оо) и (Хг < — оо) являются невозможными, а пересечение невозможного события с любым событием, как известно, также невозможное событие, вероятность которого равна нулю. Отсюда с учетом определения 5.2 вытекает утверждение 3. Аналогично из того, что собьипия (Хд <+оо1 и (Хг < +со) так же, как и их пересечение, являются досидовврными, вероятность которых равна единице, вытекает утверждение 4.

Рис. Ь.г Чтобы найти вероятность попадания двумерной случайной величины (Хд, Хг) в прямоугольник (ад <хд <Ьд, аг <хг <Ьг) (на 169 5.1. Созместлае фуллялл раепределелил рис. 5.2 заштрихован), сначала определим вероятность попадания в полуполосу (х1 < а1, аз < хэ < Ьэ) (отмечена двойной штриховкой). Но эта вероятность представляет собой вероятность попадания в квадрант (х1 < Ь1, хэ < Ьэ) за вычетом вероятности попадания в квадрант (х1 < 61, хэ < аэ), т.е. Р(Х1 < ам аз < Хз < Ьэ) = Р(61, Ьэ) — Р(Ьм аз). Теперь осталось заметить, что вероятность попадания в прямоугольник (а1<х1<6м аэ<хэ<Ьэ) совпадает с вероятностью попадания в полуполосу (х1<61, аз~(хэ <62) из которой вычитается вероятность попадания в полуполосу (х1 < а1, аэ < хэ < ~), равная Р(ам 62) — Р(а1, аэ).

Окончательно получим утверждение 5. Подобно одномерному случаю доказываетсл и утверждение 6. Наконец, событие (Хэ < +со) является достоверным, поэтому (Х1 < х1) й (Хэ < +ос) = (Х1 < х1). Аналогично (Х, < +со) й (Хэ < х,) = (Х, < хд).

Отсюда приходим к утверждению 7, которое устанавливает естественную связь между двумерной функцией распределения Рх, и, случайного вектора (Х1, Хэ) и функциями Рх, и Рх„которые называют одномерными (говорят также частными, или маргинальными) фуннииями распределения случайных величин Х1 и Хэ. ~ Пример 5.3.

Некоторое техническое устройство состоит вз двух различных по надежности элементов, причем время безотказной работы первого элемента можно задать случайной величиной Х1, а второго — случайной величиной Хэ. Тогда надежность всего устройства можно описать двумерным случайным вектором (Х1, Хэ), имеющим неотрицательные координаты Х1 и Хэ. 170 б. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Пусть нелестно, что для любых хд > 0 и хя > 0 вероятность события (Хд > хд, Хя ) хя) определяется формулой Р(Х > х Х > х д е лдяъ Лиха лд1дпж1хд яч1 д хд 2. х2) =е 1 где Л; > О, д = 1,2, и Лдя > О.

Найдем совместную функцию распределения Рх,,х, (хд, х2) и одномерные функции распределенддя Рх,(х) и Рх,(х) В силу неотрицательности Хд и Х2 событие (Хд ) х) совпадает с событием (Хд > х, Х2 > О), а событие (Хя ) х)— с событием (Хд ) )О, Х2 > х).

Подставляя 0 вместо хд и х2 в выражение для Р(Хд > хд, Хя > хя), получаем: Р(Хд > х) = Р(Хд ) х, Хя ) О) = е дл'+лд2)* х > 0 Р(Х2 > х) = Р(Хд > О,Х2 > х) = е длд+л'~~*, х > О. Отсюда находим одномерные функции распределения Рх, (х) и Рх,(х): Рх,(х) = 1 — Р(Хд )~ х) = 1 — е дл'+л">*, х > 0; Рх,(х) =1-Р(Хя) х) =1 — е (л'+л")*, х >О. Естественно, поскольку случайные величины Хд и Х2 неотрицательные, то Рх,(х)=Р,(х)=О, х<О.

Так как событие (Хд < хд, Х2 < хя) совпадает с событием й '1 ЯХд > хд) 0 (Х2 ) х2)), то совместнал функция распределения Рх„х,(хд,х2), согласно свойствам 1 и 5 (см. теорему 2.8), при хд,хя > 0 имеет вид Рх,,х,(*мхя) =1 — Р((Х > х ) О(Х > х2)) = = 1 — Р(Хд )~ хд) - Р(Х2 ~ )х2) + Р(Хд ) хд, Хе ) хя) = 1 е-(лд+ли)ю е-(ли+ли)е1 + е-лдю-лзхз-лидпах(хд *21 5.2. Диеиретиые двуиериые саучвйиые величины 171 Очевидно, что значение совместной функции распределения Рх„х, (хт, хз) при хт < 0 или хз < 0 задается равенством гх,х (х1 хз) ж О Полученная функция распределения задает двумерное энсноненцнальное распределенно.

Заметим, что это распределение моделирует простейший случай зависимых отказов, при котором могут одновременно отказать оба элемента. При этом в теории надежности Лт называтот интенсивностью отказа только первого элемента, Лэ — только второго элемента и Лщ — одновременно и первого, и второго элементов. 5.2. Дискретные двумерные случайные величины Определение 5.3. Двумерную случайную велнчнну (Х, У) называют диснретттной, если каждая из случайных величин Х и У являетсл диснретпной.

Как и в одномерном случае, распределение двумерной дискретной случайной величины естественно описать с помощью перечисления всевтяможных пар (х,, р ) значений координат случайного вентпора (Х, У) и соответствующих веролтпностпей с которыми эти пары значений принимают случайные величины Х и У. Для простоты ограничимся конечным множестпвом возможных значений, когда случайная величина Х может принимать только значения хт, ..., х„, У вЂ” значения дт, ..., лет, а координаты двумерного случайного вектора (Х, У) — пары значений (х;, у ), т' = 1, и, т' = 1, тп. Такое перечисление удобно представить в виде таблицы (табл. 5.1).

В этой таблице в верхней стРоке пеРечислены все возможные значениЯ 1тт, ..., Ртч ..., утп случайной величины У, а в левом столбце — значения хт, ..., х,, ..., х„случайной величины Х. На пересечении столбца ау~ е со строкой „х;" находится вероятность рту — — Р(Х = х;, У = уу) совместного осуществления событий (Х = хт) и (У = рй).

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
2,89 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6556
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее