XVI.Теория вероятности (наш учебник) (932345), страница 37
Текст из файла (страница 37)
6.27. 6.31. Двумерная случайная величина (Х1, Хз) распределена равномерно в прямоугольнике с вершинами в точках А1 (1; — 1), Аз( — 1; 1), Аз(0; 2) и А4(2; О). Найдите совместную функцию распределения случайных величин У1 = (Х1 — Хз) и Уг = =х,+х,. 285 Воаросы и задача Ответ: Й;,ь"з(рьуг) = 6.32. Двумерная случайная величина (Хь Хз) имеет совместную плотность распределения / О, (хь хг)(сР; где Р— треугольник с вершинами в точках Аз(0; О), Аз(1; 1) и Аз(2; 0). Найдите совместную плотность распределения слу- Ъ вели Н1;=Хз/(Хз+1) иУ2=Х1+Х,. Ответ: О, (уь рз) ФР', РЪд Ъз(у1зуз) (уз+2)(уз+1)(1 Ю) 2(зз+1) з 1 Ер~ (р, +1)з где Р' — область, ограниченная линиями р1 = О, уз = 0 и (уз + 2)(уз — 1) = -2.
6.33. Двумерная случайная величина (Хь Хз) распределена равномерно в параллелограмме с вершинами в точках Аз( — 1; — 1), Аз( — 1; 3), Аз(4; 5) и А4(4; 1). Найдите плотность распределения случайных величин Уз = 2Х1 + Хз — 1 и 1~з = =х,-зх,+г. Ответ: / О, (уь р,) ФР', 1/140 (уз уз) 6 Р' где Р' — параллелограмм, ограниченный прямыми Зуз + уз— — 27=0 Зу1+уз+8=0 уз+12рз+96=0 и у1+12уг — 44=0 о, рзз/рз/4, ,ф7/2, р,(г, 1, рз(0 или рз(0; 0 < уз < 4 и 0 < уз (~ 2; 0<уз <4 и рз>2; уз >4 и 0<уз<2; р1>4 пуз>2 286 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 6.34. Пусть Х = (Хм Хз, Хз) — трехмерный случайный вектор, распределенный по нормальному закону с вектором средних значений шХ = (1, 2, 1) и матрицей ковариаций ЕХ= 1 4 -1 Найдите вектор средних значений шр и матрицу ковариаций ЕУ- случайного вектора У = ХВ+ с, где 1 -1 В= 1 1 и с=(1 3).
0 1 Ответ: т- =(2, -1), Е- = ~ /7 41 14 6,~' 6.35. Пусть Х = (Х1, Хз) — двумерный случайный вектор, распределенный по нормальному закону с вектором средних /2 11 значений йХ = (1, 3) и матрицей ковариаций ЕХ = ~ ~1 3,~ Найдите вектор с и матрицу В линейного преобразования У = ХВ + с, переводящего вектор Х в вектор У, имеющий стандартное нормальное распределение. Одним из возможных ответов является: 1 Л5/5 0 ~ -~~5/15 ~/3/3 / 6.36.
'11эехмерный случайный вектор Х=(Х1, Хз, Хз) имеет нормальное распределение с вектором средних значений т = = (10, 5, 3) и матрицей ковариаций 0,01 0,0042 — 0,0024 Ех = 0 0042 0 0036 0 00288 -0,0024 0,00288 0,0064 Вопросы я эадвчя 287 Воспользовавшись методом линеаризации, найдите параметры нормального закона, приближенно описывающего распределение величины У = (ЗХ~~+ 1)/(Х~~+ 2Хзз). Ответ: тву=7, оум0,26.
6.87. Независимые случайные величины Х~ н Хз распределены по нормальному закону с математическими ожиданиями шх, = шх~ = 900 и средними квадратическими отклонениями ах, = ох, = 3. Воспользовавшись методом линеаризации, найдите приближенное распределение случайного вектора У = = (У~, Уз), где У~ = Х~Хз/(Х~+Хз) и Уз = Х~~/(Хг+ 100). Ответ: Случайный вектор У имеет распределение, близкое к нормальному закону с вектором средних значений тр —— = (450, 810) и матрицей ковариаций (1,125 0,405 1 ~ 0,405 16,544) ' 7. 'ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУ"ЧАЙНЫХ ВЕЛИ'ЧИН Из результатов предыдущих глав следует, что вероятности любых событий, связанных с каждой случабкоб величиной (в том числе многомеркой), полностью определяются ее законом распределения, причем закон распределения дискретной случайной величины удобно задавать в виде ряда раснределениц а непрерывной — в виде плотности распределения.
Однако при решении многих задач нет необходимости указывать закон распределения случайной величины, а достаточно характеризовать ее лишь некоторыми (неслучайными) числами. Такие числа (в теории вероятностей их называют числовыми характеристиками случайной величины) будут рассмотрены в настоящей главе. Отметим, что основную роль на практике играют математическое ожидание, задающее „центральное" значение случайной величины, и дисперсия, характеризующая „разброс" значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.
В математической статистике [ХЧ??] для построения доверительных интервалов и проверки статистических гипотез широко используются квактили. 7.1. Математическое ожидание случайной величины Как уже отмечалось выше, наиболее употребляемой на практике числовой характеристикой является математическое ожидание, или, по-другому, среднее значение случайной величикы. Роль математического ожидания более подробно будет выяснена ниже (см. 9). 7л. вчвтемачичесхое ожидание счучейиой вевичииы 289 Определение 7.1.
Матпеманчическим ожиданием (средним значением) МХ дискретной случайной величикы Х называют сумму произведений значений х, случайной величины и вероятностей р; = Р1Х = х;), с которыми случайная величина принимает эти значения: МХ = ~;х;р;. При этом, если множество возможных значений случайной величины Х счетно, предполагается, что ~х;~р; (+ос, т.е. ряд, опредеапощий математическое ожидание, сходится абсолютно (1Х]; в противном случае говорят, что математическое ожидание случайной величины Х не существует.
Математическое ожидание дискретной случайной величины имеет аналог в теоретической механике. Пусть на прямой расположена система материальных точек с массами р; ( ~,р, = = 1) и пусть х; — координата е-й точки. Тогда центр масс системы будет иметь координату 2,'хР; 2 хР; Х= ' = ' ='„Е;хара '>,'р, в 1 совпадающую с математическим ожиданием МХ случайной величины Х.
Пример 7.1. Пусть Х вЂ” число угаданных номеров в „Спортлото 6 из 49" (см. пример 6.4). В соответствии с рядом распределения в табл. 6.3 имеем МХ = 0 рв+1 р1+3 рз+4 ре+5.рв+ +6 рв-0 ° 0,436+1 0,413+2 О,'1324+3 0,0176+ +4 0,00097+5 1,8 10 ~+6 7.10 в 0,735. Таким образом, среднее число угаданных номеров равно 0,735. Ю вЂ” ! 0047 7.к матеиатачееаое оиилаиие еаучайиой аеаичииы 291 Пример Т.Ь.
Положительная целочисленная случайнал величина Х имеет закон распределения, задаваемый выражением р;=Р(Х=1) =, 1=1,2,... 1 1(1+1) ' Тогда 00 00 ° СО и, значит, математическое ожидание случайной величины Х не существует. Определение Т.2.
Мапаемапаическим оэкиданнем (средним значением) МХ непрерывной случайной величины называют интеграл МХ = хр(х) дх. При этом предполагается, что +оо ~х~р(х) Их < +со, т.е. несобственный интеграл [ 17Ц, определяющий математическое ожидание, сходится абсолютно. Заметим, что определение 7.2 является естественным обобщением определения 7.1, так как для непрерывной случайной величины с плотностью распределения р(х) Р(х < Х < х+ Ьх) - р(х)дх.
Так же как и в дискретном случае, математическое ожидание непрерывной случайной величины можно интерпретировать как центр масс стержня, плотность массы которого в точке х равна р(х). ни 292 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН П имер 7.6. Найдем математическое ожидание равномерно распределенной на отрезке [а, Ь] случайной величины Х. Поскольку в этом случае р(х) = 0 при х < а и х ) 6, то +00 х 1 1 з з Ь+а МХ= хр(х)ахсО 6 ах= 6 2(Ь вЂ” а ) = Как и следовало ожидать, МХ совпадает с серединои отрезка [а, 6). Пример Т.Т. Найдем математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по нормальному закону с параметрами т и сг: +СО +СО Г * <.,,СД..., МХ= ху, (х)дхсО у — е юХх. СΠ— 00 Делая замену у = (х — т)/о, получаем +00 +00 МХ= ~ е "/за = / — е гг/Сау+ 00 — СО +00 +00 +т — е "/ ду Ос — уе " ~~ду+т со(у)ду.
~/2~г ~/2~г / Первый интеграл равен нулю в силу нечеткости подынтегральной функции, а второй равен единице как интеграл от стандартной нормальной плотности. Таким образом, МХ=т, т.е. параметр т им имеет смысл математического ожидания случайной величины Х (см. 4.6). Т.1. Математическое ои илаиие саучайиой аеличииы 293 Пример 7.8. Пусть Х вЂ” случайная величина, имеющая распределение Вейбрало (см. 4.6). Тогда, поскольку р(х) =О при х<О, то МХ = хр(х) Нх = ссВхле акоех.
Делая замену р = ахр, получаем МХ = ре оа '/др'lд ' Ь = о Г1 '/~ 1 'lре Ч„=са-'IДГ~~ +1 Пример 7.9. Математическое ожидание случайной величины Х, имеющей гамма-распределение, задается выражением Г Лчхч л МХ= / — е *ех. 1 г(7) о Делая замену р = Лх, получаем МХ= — / у "е "Ир= 1 Г Г(7+1) 7 лг(7) / лг(7) л' о что следует из свойства гамма-функции Эйлера: Г(7+1) = 7Г(7).
294 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Пример 7.10. Случайная величина Х имеет распределепие Коши, т.е. распределение с плотностью 1 р(х) = Тогда [х[Их я(1+ хг) поскольку подынтегральная функция эквивалентна 1/(ях) при х + +ос. Поэтому математическое ожидание случайной величины Х не существует. Замечание 7.1. В общем случае математическое ожидание случайной величины задается выражением МХ = хаг (х), где г (х) — фуккцол распреде.юекил случайной величины Х, а интеграл понимают в смысле Римана — Стилтьеса [ХЦ. Поскольку мы рассматриваем только дискретные и непрерывные случайные величины, последнее выражение можно трактовать как обобщенную запись формул для математических ожиданий дискретной и непрерывной случайных величин.
7.2. Математическое ожидание функции от случайной величины. Свойства математического ожидании Прежде чем переходить к описанию свойств матлематвического охсидакил случайной величины, позволяющих, как будет видно иэ примеров, в ряде случаев существенно упростить 7.2. Математическое оиилааие фувкваи от сеучаивой аеаичивы 295 его вычисление, определим математическое ожидание функции случайной величины (случайного вевчаора).
Итак, пусть У=У(Х) рв — Р(Х = хв) и ее математическое ожидание определяется формулой МУ = МУ(Х) = ~~) У(х;)р;. «=1 (7.1) Если же величина Х принимает счетное число значений, то математическое ожидание У определяется формулой МУ = МУ(Х) = ~~) У(х;)р;, (7.2) но при этом для существования математического ожидания требуется абсолютная сходимость соответствующего ряда (1Х], т.е.
выполнение условия ~~> ~У(х;)~р; < +со. в=1 (7.2) Пример 7.11. Определим математическое ожидание выигрыша У в „Спортлото б из 49" (см. пример 6.4). Поскольку является функцией от случайной величины. Для определения МУ = МУ(Х) можно было бы сначала по формулам из 6.2 найти распределение случайной величины У и затем уже, воспользовавшись определением 7.1 или 7.2, вычислить МУ. Однако мы применим другой, более удобный подход. Рассмотрим сначала дискретную случайную величину Х, принимающую значения х~,...,хо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
