1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (926526), страница 19
Текст из файла (страница 19)
а аз где г=~/аз+ в'„Р— Ь, <р=агс12(в 1/а). 12.32(12.34). Точка М движется по винтовой линии. Уравнения движения ее в цилиндрической системе координат имеют вид г=а, ар=31, а=тй Найти проекции ускорения точки на оси цилиндрической системы координат, касательную и нормальную составляющие ускорения и радиус кривизны винтовой линии. Ответ: 1) и, = — аяз, ие =О, и,=О; 2) и, =О, и„айз; 3) р =(аззз+ тз)/(аьз). 12.33(12.33).
Точка М движется по линии пересечения сферы х'+ у'+ гз = !«з и цилиндра (х — )«/2)з+ уз = Яз/4. Уравнения движения точки в сферических координатах имеют вид (см. задачу 10.21) г = Р, «р = И/2, 6 = й!/2. Найти проекции и модуль ускорения точки в сферических координатах. ра2 !!аз Ответ и~ 4 (1 + «оз 8) и~ з 3!и 6 !«е« Ле« = — ы в е, = — ~Г4«..~ е. е 4 12.34(12.36). Корабль движется под постоянным курсовым углом а к географическому меридиану, описывая при этом лок- содромию (см. задачу 11.13).
Считая, что модуль скорости о ко- рабля не изменяется, определить проекции ускорения корабля на оси сферических координат г, Х н «р (Х вЂ долго, «р †широ места плавания), модуль ускорения и радиус кривизны локсо- дромии. е« Ответ: и„= — —, из= — — з!пасоза!п«р, К' и = — — з 1п а 1а «р, и = — «/1 + айп а 1пз «р, е« 2 Р= з/1+ маза«азе е мп а где !« — радиус Земли, «р=«рз+ — !.
Я 12.35(12.37). Выразить декартовы координаты точки через то- роидальные координаты г = СМ,«р и «р н определить коэффициенты Ляме. Ответ: . 1) х =(а + г соз «р) соз «Р, у =(а + г соз «р) зйп «Р, г = = ге!п«р; 2) Н, =1, Нэ — — а+ г сов «р, Н = г. 12.36(12.38). Движение точки задано в тороидальной системе координат г, «р и «р.
Найти проекции скорости и ускорения точки на оси этой системы отсчета. Ответ: !) о, = г, о, =(а+ гсоз «р)«р, о„= г«р; 2) и, = Р†(а + г соз«р)сов «р«р' — г«рз, и =(а + г соз «р) «р + 2 соз «рг«р — 2г з!п «р«р«р, ие = г«р + 2пр + (а + г соз «р) з!п «р«Рз. 12.37(12.39). Точка движется по винтовой линии, намотанной на тор, по закону г=)г=сопз1, ф=Ы, ф=й1. Определить проекции скорости и ускорения точки в тороидаль- ной системе координат (е = сопз1, й = сопз1). Е Ответ: о, =О, ич — — (а+ )г'созф)ез, о,з = )чемд, гвз = — [(а + )г соз ф) соз фезд + 1Щ, Ф гв, = — 2Дзйяп ф, гве — — 222(а + )г соз ф) яп ф.
12.38. Механизм робота-манипуля.г тора состоит из поворотного устрой- К задачам З2.22 — ~222 ства 1, колонны для вертикального перемещения 2 и выдвигающейся руки со охватом 3. Найти скорость и ускорение центра схвата при за- данных зр(1), я(1), г(1). о: — чззчд~чч з' 2в = 4(г' — гф2)2+ (гф+ 21ф)2+ 22.
12.39. Вертикальная колонна, несущая руку робота-манипуля- тора, может поворачиваться на угол ф. Рука со схватом поворачи- К задаче З2.32 К задаче Зздн К задаче 12АО вается на угол Ю и выдвигается на расстояние г. Найти скорость и ускорение центра охвата. Ответ: о = ч/г2+гзоз+г'япзбфд, 2в = [(р — гфа — гф' я па 6)2 + (гЬ + 2гф — гфз 2(и б соз 9) 2 + +(гф з!п9+ 2гф яп 6+ 2гффсозб)2[ь. 12АО. Механизм робота-манипулятора состоит из поворотного устройства с вертикальной осью (угол поворота — ф) и двух звеньев, расположенных в вертикальной плоскости (углы поворота 10е звеньев — 0~ и бр).
Найти скорость пеитра схвата при переносе груза. Ответ: в = [16,' + Я (О, + 6)' + 21 ! 0(Ю, + 6 ) соз О + + (1, з!п О, + 1, з!п (О, + 6,))' ф')'*. ГЛАВА 1Н ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА $13. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси 13.1(13.1). Определить угловую скорость: 1) секундной стрелки часов, 2) минутном стрелки часов, 3) часовой стрелки часов, 4) вращения Земли вокруг своей осн, считая, что Земля делает один оборот за 24 часа, 5) паровой турбины Лаваля, делающей 15 000 об/мин. Ответ: 1) со = я/30 рад/с = 0,1047 рад/с.
2) ы = я/1 800 рад/с = 0,001745 рад/с. 3) ы = я/21 600 рад/с = 0,0001455 рад/с. 4) ы = я/43200 рад/с = 0,0000727 рад/с. 5) в = 1 571 рад/с. 13.2(13.2). Написать уравнение вращения диска паровой турбины при пуске в ход, если известно, что угол поворота пропорционален кубу времени и при 1 = 3 с угловая скорость диска равна в = 27я рад/с. Ответ: ф = яг' рад. 13.3(13.3). Маятник центробежного регулятора, вращающийся вокруг вертикальной оси АВ, делает 120 об/мин.
В начальный момент угол поворота был равен я/6 рад. Найти угол поворота и угловое перемещение маятника за время ! = 1/2 с. !з Ответ: ф= — я рад; Аф= 2я рад. 13.4(13.4). Тело, начиная вращаться равноускоренно из состояния покоя, делает 3600 оборотов в первые 2 минуты. Определить угловое ускорение.
Ответ: з = я рад/с~. 13.5(13.5). Вал начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя; в первые 5 с он совершает 12,5 оборота. Какова его угловая скорость по истечении этих 5 с? Ответ:в = 1Оя рад/с. 13.6(13.6). Маховое колесо начинает вращаться из состояния покоя равноускоренно; через 10 мин после начала движения оно имеет угловую скорость, равную 4я рад/с. Сколько оборотов сделало колесо за эти 10 мин? Ответ: 600 оборотов. 13.7(13.7). Колесо, имеющее неподвижную ось, получило начальную угловую скорость 2я рад/с; сделав 1О оборотов, оно вслед- 107 стане трения в подшипниках остановилось.
Определить угловое ускорение е колеса, считая его постоянным. Ответ: б = 0,1я рад/с', вращение замедленное. 13.8(13.8). С момента выключения мотора пропеллер самолета, вращавшийся с угловой скоростью, равной 40п рад/с, сделал до остановки 80 оборотов. Сколько времени прошло с момента выключения мотора до остановки, если считать вращение пропеллера равнозамедленным? Ответ: 8 с.
13.9(13.9). Тело совершает колебания около неподвижной оси, причем угол поворота выражается уравнением <р = 20' ейп ф, где угол 9 выражен в угловых градусах зависимостью ф =(21)', причем 1 обозначает секунды. Определить угловую скорость тела в момент г = О, ближайшие моменты 11 и гм в которые изменяется направление вращения, и период колебания Т.
1 Ответ: е = — пе рад/с, Г~ — — 45 с, ге = 135 с, Т = 180 с. 13.10(13.10). Часовой балансир совершает крутильные гармонические колебания с периодом Т= 1/2 с. Наибольший угол отклонения точки обода балансира от положения равновесия а = и/2 рад. Найти ! угловую скорость и угловое ускорение баланса через 2 с после момента, когда 'в балансир проходит положение равновесия.
Ответ: е = 2пе рад/с, е = О. ! 13.11(13.11). Маятник колеблется в вертикальной плоскости около неподвижной горизонтальной оси О. Выйдя в начальный момент из положения равновесия, он достигает наибольшего отклонения а = и/16 рад через 2/3 с. 1) Написать закон колебаний маятника, считая, что он совершает гармонические колебания. 2) В каком положении маятник будет иметь наибольшую угловую скорость и чему она равна? и .
3 Ответ: 1) ф= — ейп — пГ рад. Чб ч 2) В отвесном положении; в,„= ~-яе рад~се. =3 13.12(13.12). Определить скорость в и ускорение гв точки, находящейся на поверхности Земли в Ленинграде, принимая во внимание только вращение Земли вокруг своей оси; широта Ленинграда 60', радиус Земли 6370 км. Ответ: и = 232 м/с, гв =0,0169 м/сз, 103 13.13(13.13).
Маховое колесо радиуса 0,5 м вращается равномерно вокруг своей оси; скорость точек, лежащих на его ободе, равна 2 м/с. Сколько оборотов в минуту делает колесо? Ответ: и = 38,2 об/мин. 13.14(13.14). Точка А шкива, лежащая на его ободе, движется со скоростью 50 см/с, а некоторая точка В, взятая на одном радиусе с точкой А, движется со скоростью 10 ем/с; расстояние АВ = 20 см. Определить угловую скорость а и диаметр шкива.
в' Ответ: в =2 рад/с, д = 50 см, вд % 13.15(13.15). Маховое колесо радиуса Я = 2 м вращается равноускоренио из состояния покоя; через 1= 10 с точки, лежащие на ободе, обладают линейной скоростью в = 100 м/с. Найти ! е~ скорость, нормальное и касательное ускорения к задаче!хм точек обода колеса для момента 1 =! 5 с. Ответ: в =150 м/с, ш„=11250 м/с', ш, =10 м/с'.
13:16(13Л6). Найти горизонтальную скорость в, которую нужно сообщить телу, находящемуся на экваторе, для того чтобы оно, двигаясь равномерно вокруг Земли по экватору в особых направляющих, имело ускорение свободного падения. Определить также время Т, по истечении которого тело вернется в первоначальное положение. Радиус Земли Я = 637.10е см, а ускорение силы тяжести на экваторе д = 978 см/сэ.
Ответ: о = 7,9 км/с, Т = г,4 ч. 13.17(13.17). Угол наклона полного ускорения точки обода махового колеса к радиусу равен 60'. Касательное ускорение ее в данный момент в,=10 1/3 м/с~. Найти нормальное ускорение точки, отстоящей от оси вращения на 19 расстоянии г=0,5 м. Радиус махового колеса )г =1 м. Ответ: ш„= 5 м/с'. 13.18(13.18). Вал радиуса )г =10 см приводится во вращение гирей Р, привешенной к нему на нити, Движение гири выражается уравнением х = 100Р, где х — расстояние гири от места Р схода нити с поверхности вала, выраженное в сантиметрах, 1 †вре в секундах. Определить угловую скорость в и угловое ускорение е вала, а также полное ускорение ш точки на поверхности вала в момент й Ответ: е = 201 рад/с, а = 20 рад/сэ.
ш = 200 ~/1 + 4001' см/сэ. 13.19(13.19). Решить предыдущую задачу в общем виде, выразив ускорение точек обода колеса через пройденное гирей расстояние х, радиус колеса В и ускорение гири х = гее = сопз1. Ответ: ш = пь 1/1 + 4хэ/Ж 13.20(13.20). Стрелка гальванометра длины 3 см колеблется вокруг неподвижной оси по закону ~р = ~ра з1п И. Определить ускоре- 109 ние конца стрелки в ее среднем и крайних положениях, а также моменты времени, при которых угловая скорость !о и угловое ускорение е обращаются в нуль, если период колебаний равен 0,4 с, а угловая амплитуда аро — — я/30. Ответ: 1) В среднем положении стрелки и! = 8,1 см/со. 2) В крайних положениях стрелки !е = 77,5 см/со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
