теория термех (862808), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Они накладываютограничение на координаты точек, то есть на положение системы в пространстве, поэтому их называютгеометрическими.Неголономные связи – связи, которые описываются уравнением вида ( , , , ̇ , ̇ , ̇ , ) = 0. Онинакладывают ограничение на координаты точек и на скорости точек, поэтому их называюткинематическими.Стационарные связи – связи, не зависящие от времени в явном виде.Нестационарные связи – связи, зависящие от времени в явном виде.Удерживающая (двухсторонняя) связь – связь, которая описывается равенством.Неудерживающая (односторонняя) связь – связь, которая описывается неравенством.26.
Общее уравнение динамики.Умножим скалярно уравнение принципа Деламбера для -й материальной точки на ̅ :̅ ) ∙ ̅ = 0(̅ + ̅ + ФПросуммировав получим основное уравнение динамики:̅ ) ∙ ̅ = 0∑(̅ + ̅ + ФЭто уравнение является условием совместного со связями движения системы под действием заданныхактивных сил.27.
Обобщенные силы. Способы вычисления обобщенных сил.Возможная работа сил, приложенных к точкам системы:∑ (̅ ) = ∑ ̅ ∙ ̅Если механическая система при наложенных на неё голономных удерживающих связях имеет степенейсвободы, то положение этой системы определяется обобщёнными координатами. Возможноеперемещение -й точки:̅ = ∑̅ Подставив эту формулу в выражение для возможной работы получим:∑ (̅ ) = ∑ ̅ ∙ (∑̅̅) = ∑ (∑ ̅ ∙) Скалярную величину∑ ̅ ∙̅= называют обобщённой силой, соответствующей -й обобщённой координате.Способы вычисления обобщённых сил:1) Аналитический (по определению): = ∑ ̅ ∙̅= ∑ (+ + )2) По возможной работе: =(∑ (̅ ))3) По потенциальной энергии:̅ = grad = ∑ (++)=, = −П + = −П28.
Условия равновесия системы, выраженные в обобщенных силах.Возможное перемещение -й точки:̅ = ∑̅ Согласно принципу возможных перемещений, система будет находиться в состоянии равновесия, если:∑ ̅ ∙ ̅ = 0Подставим в условие равновесия уравнение возможного перемещения -й точки:∑ ̅ ∙ (∑̅̅ ) = 0, ∑ (∑ ̅ ) = 0, ∑ = 0 ⟹ Условие равновесия механической системы: = 0Если силы, приложенные к точкам механической системы, потенциальные, то: =П=−Тогда условия равновесия системы:=0П=029. Уравнения Лагранжа II-го рода (вывод).Уравнения Лагранжа второго рода – Д.У.
движения несвободной механической системы, составленные вобобщённых координатах.Рассмотрим систему из материальных точек с наложенными идеальными голономнымиудерживающими связями. Общее уравнение динамики для такой системы:∑(̅ − ̅̈ ) ∙ ̅ = 0Пусть система имеет степеней свободы и её положение определяется n обобщёнными координатами.Тогда возможное перемещение -й точки:̅ = ∑̅ Подставим выражение для возможного перемещения в основное уравнение динамики:∑(̅ − ̅̈ ) ∙ ∑̅ = 0 ∑ (∑(̅ − ̅̈ )∑ (∑ ̅̅ ) = 0 ̅̅̇ ̅− ∑ ( )) = 0 ̅̇ ̅̅ ̅( ) = (̅̇ ∙) − ̅̇ ∙ ( ) ̅∑ ̅= ,Получим первое тождество Лагранжа:̅̇ = ∑̅̅̇ +⟹̅̇̅=̇ ̅̅̇ ̅̇ 2̇̇(̅ ∙) = (̅ ∙)= (( )) ̇ ̇ 2̅ ̅̇ 2 Т̇∑ (̅ ∙)= ((∑)) = ( ) ̇ 2 ̇ Рассмотрим ̅( ).
Так как ̅ = (1 , 2 , … , , ), то̅– функция обобщённых координат и времени,поэтому: ̅ 2 ̅ 2 ̅ 2 ̅ 2 ̅( )=̇ 1 +̇ 2 + ⋯ +̇ + 1 2 В то же время:̅̇ = ∑̅̅̇ +̅̇ 2 ̅ 2 ̅ 2 ̅ 2 ̅=̇ 1 +̇ 2 + ⋯ +̇ + 1 2 ⟹Получим второе тождество Лагранжа: ̅̅̇( )= ∑ ̅̇ ̅̅̇ ̅̇ 2Т( ) = ∑ ̅̇=(∑)= 2Учитывая два тождества Лагранжа и выражение обобщённой силы, перепишем основное уравнениединамики и получим уравнения Лагранжа второго рода:∑ ( − ТТ( )+) = 0 ̇ ТТ( )−= , ∈ ℤ ̇ 30. Устойчивость положения равновесия. Теорема Лагранжа-Дирихле об устойчивости равновесияконсервативной системы (без док-ва).Устойчивое положение равновесия – положение системы, в котором при достаточно малом отклонениисистемы от положения равновесия, она стремится вернуться назад.При устойчивом положении равновесия система после достаточно малого начального возмущениясовершает колебания около положения равновесия или возвращается в это положение без колебаний.Неустойчивое положение равновесия – положение системы, в котором при достаточно малом отклонениисистемы от положения равновесия, она удаляется от положения равновесия.При неустойчивом положении равновесия система после любого начального возмущения при дальнейшемдвижении все более удаляется от положения равновесия.Безразличное положение равновесия – положение системы, в котором при достаточно малом отклонениисистемы от положения равновесия, она остаётся в отклонённом положении.Если при устойчивом положении равновесия lim→∞ () = 0 и lim→∞ ̇ () = 0, то это положениеравновесия называется асимптотически устойчивым.Достаточное условие устойчивости положения равновесия консервативной системы определяетсятеоремой Лагранжа-Дирихле: достаточным условием устойчивости положения равновесияконсервативной системы является наличие нём локального минимума потенциальной энергии.31.
Дифференциальные уравнения малых колебаний механической системы с одной степенью свободыв общем случае.Рассмотрим механическую систему, состоящую из материальных точек и имеющую одну степеньсвободы, на которую наложены голономные, стационарные и неосвобождающие связи. Предположим, чтосистема имеет устойчивое положение равновесия, от которого будем отсчитывать обобщённую координату.В соответствии с предположением о малости колебаний обобщённую координату, её скорость и ускорениеполагаем величинами первого порядка малости.
В Д.У. будем учитывать величины первого порядкамалости, а в выражениях для кинетической энергии, потенциальной энергии и диссипативной функцииРэлея – величины до второго порядка малости (так как использование уравнения Лагранжа второго родаприводит к понижению порядка малости на единицу).В общем случае сила, действующая на -ю точку системы может быть функцией от положения точки, еёскорости и времени: ̅ = (̅ , ̅ , ). С учётом малости колебаний представим ̅ в виде:̅ = ̅′ (̅ ) + ̅′′ (̅ ) + ̅ (),где силы ̅′ (̅ ) – потенциальные, ̅′′ (̅ ) – диссипативные и линейно зависящие от скорости:̅′′ (̅ ) = −ℎ ̅Кинетическая энергия системы:1Т = ∑ ̅22В силу стационарности наложенных связей радиус-векторы точек зависят только от обобщённойкоординаты: ̅ = ().
Тогда:̅ ̅̅ ==̇1̅ 2 2 1Т = ∑ ( ) ̇ = ()̇ 222Разложим () в окрестности положения равновесия ( = 0):() = (0) + (2 2) + ( 2)+⋯ 0 0 2В силу малости колебаний в выражении для кинетической энергии будем учитывать величины не вышевторого порядка малости. Поскольку в этом выражении есть величина второго порядка малости – ̇ 2 , то вразложении учитываем только первый член.
Он называется обобщённый коэффициент инерции: = (0)Тогда имеем:1Т = ̇ 22Представим обобщённую силу в виде: = П + Д + (),где П – составляющая обобщённой силы от потенциальных сил, Д – составляющая обобщённой силы отдиссипативных сил, () – составляющая обобщённой силы от внешних сил, зависящих от времени.Составляющая обобщённой силы от потенциальных сил:П = −П,где П() – потенциальная энергия системы, отсчитываемая от положения равновесия.
Так как обобщённаякоордината также отсчитывается от положения равновесия, то П(0) = 0. Разложим потенциальнуюэнергию в окрестности положения равновесия ( = 0):П() = П(0) + (П2П 2) + ( 2)+⋯ 0 0 2Первый и второй члены равны нулю (так как в положении равновесия П имеет экстремум), четвёртый ипоследующие члены отбрасываем, так как в силу предположения о малости колебаний потенциальнаяэнергия должна содержать члены не выше второго порядка малости. Тогда:П() = (2П 2) 2 0 2Обозначим коэффициент при 2 ⁄2 через и назовём его обобщённым коэффициентом упругости:2П( 2) = 0Тогда1П() = 22Составляющая обобщённой силы от диссипативных сил:Д = ∑ ̅′′̅̅̅= − ∑ ℎ ̅= − ∑ ℎ ̅̇Учитывая 1-е тождество Лагранжа, получим:Д = − ∑ ℎ ̅̇2̅̇ℎ ̅̇ℎ ̅2ℎ 2=− ∑=− ∑=− ∑̇̇2̇2̇2Введём функцию, называемую диссипативной функцией Рэлея:1Ф = ∑ ℎ 22ТогдаД = −Ф̇Подставим в диссипативную функцию Рэлея выражение для скорости:11̅ 2 2 12Ф = ∑ ℎ ̅ = ∑ ℎ ( ) ̇ = ()̇ 2222По аналогии с коэффициентом в выражении кинетической энергии введём обобщённый диссипативныйкоэффициент: = (0)Тогда1Ф = ̇ 22Составляющая обобщённой силы от внешних сил:() =∑ Учитывая полученные выражения, запишем уравнение Лагранжа 2-го рода: ТТ( )−= ̇ ТТ( )−= П + Д + () ̇̈ + ̇ + = ()Разделив стороны Д.У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
