теория термех (862808), страница 2
Текст из файла (страница 2)
, в которой для центра масс имеем: ̅̈ = ∑ ̅ , а также подвижную С.К., имеющую начало в центре масс тела и перемещающуюся относительно поступательно,причём плоскости и будем считать совпадающими с плоскостью, в которой движется центр масстела. Тогда теорема об изменении главного кинетического момента в проекции на ось :()()()= ∑ ( ) , = Тогда Д.У. вращения тела относительно оси :() ̈ = ∑ ( )Эти два Д.У. полностью описывают плоское движение твёрдого тела.Д.У.
в проекциях на оси инерциальной системы:()()̈ = ∑ , ̈ = ∑ Д.У. в проекциях на оси естественной системы координат:()̈ = ∑ , ̇2()= ∑ 14. Движение точки под действием центральной силы. Теорема площадей.Центральная сила – сила, линия действия которой проходит через центр во всё время движение точки.Согласно определению центральной силы:̅ (̅ ) = ̅ × ̅ = 0,следовательно,̅= 0 ⟹ ̅ − .В проекциях на оси Д.С.К.: = (̇ − ̇ ) = 1 , = (̇ − ̇ ) = 2 , = (̇ − ̇ ) = 3Умножая первое уравнение на , второе на и третье на и складывая все выражения получим: + + = 1 + 2 + 3 = 0,то есть координаты точки удовлетворяют уравнению плоскости, проходящей через начало координат.Траектория материальной точки, движущейся под действием центральной силы, является плоской кривой,лежащей в плоскости, проходящей через центр силы.Секторная скорость.Рассмотрим положения точки в моменты времени и + ∆ при её движении по траектории.
Площадь ∆̅,1ометаемая радиус-вектором ̅ за время ∆ приближённо равна ∆̅ ≈ 2 (̅ × ∆̅ ). Наряду с векторомскорости вводят понятие секторной скорости ̅ точки:∆̅ 1∆̅1= lim (̅ × ) = (̅ × ̅ )∆→0 ∆2 ∆→0∆2̅ = limДля полярной системы координат:1 = 2 ̇2Выразим кинетический момент точки через секторную скорость:̅ (̅) = ̅ × ̅ = 2̅̅ = Продифференцируем по с учётом теоремы об изменении количества движения:̅̅= 2= ̅ × ̅Теорема площадей:2̅̅ (̅ )=15. Элементарная и полная работа силы. Мощность. Работа равнодействующей силы.Элементарная работа силы:′ (̅ ) = ∙ ∙ cos() = Учитывая, что = |̅ |, можно записать:′ (̅ ) = ∙ ∙ cos() = |̅ ||̅ | cos() = ̅ ∙ ̅Так как ̅ = ̅ , можно записать:′ (̅ ) = ̅ ∙ ̅ = (̅ ) ∙ ̅Полная работа силы:(̅ ) = lim ∑ ′ = ∫ ′ = ∫ = ∫ ̅ ∙ ̅ →∞=1000Мощность:=′ ̅ ∙ ̅ == ̅ ∙ ̅Работа равнодействующей силы:̅ ∗ = ∑ ̅(̅ ∗ ) = ∫ ′ = ∫ ̅ ∗ ∙ ̅ = ∑ ∫ ̅ ∙ ̅ = ∑ 0 0016. Работа силы, приложенной к твердому телу, при его различных движениях.Работа силы при поступательном движении твёрдого тела.
При поступательном движении твёрдого телавекторы скоростей, а также элементарные перемещения всех точек тела одинаковы. Тогда элементарнаяработа силы:′ (̅ ) = ̅ ∙ ̅ = ̅ ∙ ̅ = ̅ ∙ ̅Полная работа на каком-либо перемещении:(̅ ) = ∫ ̅ ∙ ̅0Работа силы при вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси.
Разложим силу ̅ , приложенную впроизвольной точке по естественным осям , , : ̅ = ̅ + ̅ + ̅ . Работы составляющих силы по нормалии бинормали равны нулю, так как они всегда направлены перпендикулярно к вектору скорости точкиприложения силы. Следовательно, элементарная работа силы ̅ совершается только её составляющей ̅ покасательной к траектории, т.е. ′ (̅ ) = . Поскольку = ℎ, то ′ (̅ ) = ℎ, где ℎ – кратчайшеерасстояние от точки приложения силы до оси вращения. Учитывая, что ℎ = (̅ ) – момент силыотносительно оси , получаем:′ (̅ ) = (̅ )(̅ ) = ∫ (̅ )0Работа силы в общем случае движения твёрдого тела.
Скорость точки приложения силы в этом случае:̅ = ̅ + ̅ × ̅ . Тогда:̅ (̅ )′ (̅ ) = ̅ ∙ ̅ = ̅ ∙ ̅ + ̅ ∙ (̅ × ̅ ) = ̅ ∙ ̅ + ̅ ∙ (̅ × ̅ ) = ̅ ∙ ̅ + ̅∙′ (̅ ) = ̅ ∙ ̅ + (̅ )17. Кинетическая энергия точки и механической системы. Теорема Кенига.Кинетическая энергия материальной точки: 22Т=Кинетическая энергия механической системы:Т=∑ 22Введём неподвижную С.К. , а также подвижную С.К. , имеющую начало в центре масс тела иперемещающуюся относительно поступательно. Положение произвольной точки системы поотношению к неподвижному центру : ̅ = ̅ + ̅ и продифференцировав его по времени найдёмабсолютную скорость произвольной точки системы:()̅ = ̅ + ̅11111() 2()() 2Т = ∑ 2 = ∑ ̅2 = ∑ (̅ + ̅ ) = ∑ ̅2 + ∑ ̅ ̅ + ∑ (̅ )22222()∑ ̅ ̅()= ̅ ∑ ̅= ̅ ∑ ̅= ̅ (∑ ̅ ) = 0Теорема Кенига:11() 2Т = 2 + ∑ (̅ )2218.
Теорема об изменении кинетической энергии для точки и системы материальных точек.̅ 2= ̅ ⟹ ̅ = ̅ ⟹ ̅ ̅ = ̅ ̅ ⟹ () = ̅ ̅2Теорема об изменении кинетической энергии для точки:( 2) = ′ (̅ )2Т= ,Т − Т0 = (̅ )Для механической системы:( 2()()) = ′ (̅ ) + ′ (̅ )2 (∑ 2()()) = ∑ ′ (̅ ) + ∑ ′ (̅ )2()()Т = ∑ ′ (̅ ) + ∑ ′ (̅ )19. Потенциальное силовое поле. Силовая функция и потенциальная энергия поля.Силовое поле – часть пространства, в котором на материальную точку действует сила, зависящая откоординат точки и времени: ̅ = ̅ (, , , ).
Если сила не зависит от времени, то силовое поле называетсястационарным.Потенциальное силовое поле – силовое поле, которое можно представить как градиент скалярнойфункции (, , ): ̅ = grad. Функция называется силовой функцией.Свойства стационарного потенциального поля:1) ′ = ̅ ∙ ̅ = + + = + + = ;002) = ∫ ′ = ∫ = (, , ) − (0 , 0 , 0 );3) ∮ ̅ ∙ ̅ = 0;4) Необходимое и достаточное условие потенциальности силового поля: rot̅ = 0.Для потенциального силового поля наряду с силовой функцией используют другую функцию,характеризующую запас энергии в данной точке поля – потенциальную энергию П в этой точке.0П = 0 = ∫ = (0 ) − () = 0 − ,где 0 – точка, условно принимаемая за нулевую.
Продифференцировав это выражение и домножив на получим:П = −20. Вычисление силовых функций однородного поля силы тяжести и линейной силы упругости.Однородное поле силы тяжести. Рассмотрим материальную точку массой , находящуюся в однородномполе силы тяжести. Направим ось вертикально вверх, а оси и произвольно в горизонтальнойплоскости. Проекции силы тяжести ̅ = ̅ на оси координат: = = 0, = −. Элементарнаяработа силы тяжести:′ = + + = − = (−)Поскольку ′ = ̅ ∙ ̅ = , имеем: = − + 1Поле линейной силы упругости.
Линейная сила упругости подчиняется закону Гука: ̅ = −̅ . Элементарнаяработа этой силы:′ = ̅ ∙ ̅ = −̅ ∙ ̅ = (− 2)2Поскольку ′ = ̅ ∙ ̅ = , имеем:=− 2+ 1221. Закон сохранения механической энергии.Пусть все силы, действующие на механическую систему потенциальны, то есть ̅ = grad. Теорема обизменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме:()Т = ∑ ̅ ̅ = ∑(̅()+ ̅ )̅Поскольку ′ = ̅ ∙ ̅ = , имеем:Т = ∑ ̅ ̅ = = −ПТ + П = 0 ⟹ (Т + П) = 0 ⟹ Т + П − .22. Принцип Даламбера для точки и системы материальных точек.В соответствии с аксиомами динамики основное уравнение движения материальной точки:̅ = ̅ + ̅ ,где ̅ – равнодействующая активных сил; ̅ – равнодействующая реакций связи. Это уравнение можнопереписать в виде:̅ + ̅ + (−̅) = 0̅ и называют деламберовой силой инерции. Тогда основное уравнениеСлагаемое (−̅) обозначают Фдинамики материальной точки:̅ =0̅ + ̅ + ФТак как указанные выше силы образуют систему сходящихся сил, то уравнение можно рассматривать какусловие равновесия системы сил.
Этот принцип называется принципом Деламбера для материальнойточки.Рассмотрим механическую систему и применим к каждой точке принцип Деламбера:̅ = 0∑ ̅ + ∑ ̅ + ∑ ФМожно домножить это уравнение слева векторно на ̅ , тогда получим:̅ ) = 0̅ (̅ ) + ∑ ̅ (̅ ) + ∑ ̅ (Ф∑Если разложить силы не на активные и реакции связей, а на внутренние и внешние, получим:̅ = 0, ∑ ̅ ) = 0̅ (̅ () ) + ∑ ̅ (Ф∑ ̅ + ∑ Ф23. Главный вектор и главный момент сил инерции в общем и частных случаях движения твердого тела.Главный вектор сил инерции:̅ = − ∑ ̅ = −̅ин. = ∑ Ф22 ∑ ̅2 ̅(∑̅)=−=−() 2 2 2̅ин. = −̅Главный момент сил инерции:Для некоторого неподвижного центра :̅ ) = ∑ ̅ × Ф̅ = − ∑ ̅ × ̅ (Ф̅ ин. = ∑ ̅ × ̅ ин. = −̅̅= (̅ × ̅ )̅(∑ ̅ × ̅ ) = −̅ = ̅ + ̅ × ̅ , гдеЕсли движение точек рассматривать как сложное, то есть ̅ = ̅ + ̅ , то ̅ = ∑ ̅ × ̅ () .Тогда главный момент сил инерции:̅ ин.
= −̅̅=−− ̅ × ̅При поступательном движении тела:̅ин. = −̅̅ ин. = 0При вращении вокруг неподвижной оси , являющейся главной осью инерции:̅ин. = 0̅ ин. = − ̅24. Возможные перемещения точки и механической системы. Принцип возможных перемещений.Возможное перемещение материальной точки – любое допускаемое связями перемещениематериальной точки из положения, занимаемого ею в данный момент времени, в бесконечно близкоеположение, которое она может занимать в тот же момент времени.̅ = ̅ + ̅ + ̅Возможное перемещение системы – любая совокупность возможность перемещений всех её точек.̅ = ∑̅ Возможная работа силы – работа силы на любом возможном перемещении точки её приложения.(̅ ) = ̅ ∙ ̅Принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа): чтобы данное положение механической системысо стационарными идеальными связями было положением равновесия, необходимо и достаточно, чтобысумма элементарных работ активных сил на любом возможном перемещении системы из этого положениябыла равна нулю.Условие равновесия системы:∑ ̅ ∙ ̅ = 025.
Связи и их классификация.Связи – ограничения, которые накладываются на координаты/скорости точек системы.Механические связи реализуются в виде различных устройств или тел. Аналитически связь описываетсяуравнением вида (̅ , ̅̇ , ) = 0, ∈ ℤ.Идеальные связи – связи, суммарная возможная работа всех реакций которых на любых возможныхперемещениях равна нулю (∑ ̅ ̅ = 0).Голономные связи – связи, которые описываются уравнением вида ( , , , ) = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
