теория термех (862808), страница 4
Текст из файла (страница 4)
на получим:̈ + 2̇ + 2 =1(),где = /2, 2 = /.32. Свободные колебания консервативной системы с одной степенью свободы.В случае консервативной системы = 0, поэтому Д.У. примет форму:̈ + 2 = 0Его решение: = 1 cos() + 2 sin()Начальные условия: (0) = 0 , ̇ () = ̇ 0 , отсюда 1 = 0 , 2 = ̇ 0 /.Введём новые постоянные: = √12 + 22 , = arctan(1 /2 )Тогда решение Д.У.: = sin( + )Свободные колебания в консервативной системе с одной степенью свободы являются гармоническими спериодом = 2/.33. Затухающие колебания механической системы при наличии вязкого трения. Декремент илогарифмический декремент.При наличии вязкого трения Д.У.:̈ + 2̇ + 2 = 0,где = /2 – коэффициент затухания.Характеристический полином Д.У.:2 + 2 + 2 = 0Его корни:1,2 = − ± √ 2 − 2Характер движения системы будет существенно зависеть от соотношения между и .
Возможныследующие три случая:1) < – случай малого сопротивления, комплексно-сопряжённые корни;2) = – случай критического сопротивления, кратные корни;3) > – случай большого сопротивления, вещественные отрицательные корни.1. Случай малого сопротивления: < , 1,2 = − ± 1 , 1 = √ 2 − 2Общее решение Д.У.: = − (1 cos(1 ) + 2 sin(1 )) = − sin(1 + )При Н.У.: 1 = 0 , 2 = (̇ 0 + 0 )/1 = √02 + (̇ 0 +0 20 1) , = arctan ()1̇ 0 + 0В этом случае колебания затухающие, они не являются периодическими, но сохраняют некоторые ихсвойства (условно-периодические колебания).Декремент затуханий ∆ – отношение двух последовательных (взятых через условный период 1 = 2/1)максимальных значений обобщённой координаты.∆== 1+1Логарифмический декремент затуханий – натуральный логарифм от декремента затуханий.
= ln(∆) = 134. Апериодические затухающее движение. Критический случай.2. Случай критического сопротивления: = , 1,2 = −Общее решение Д.У.: = 1 − + 2 − = − (1 + 2 )lim = 0→∞Движение не имеет колебательного характера, признаки периодичности отсутствуют. Такое движениеназывается апериодическим, а в случае критического сопротивления – предельно апериодическим.3. Случай большого сопротивления: > , 1,2 = − ± , = √ 2 − 2Общее решение Д.У.: = − (1 + 2 − )Движение в случае сопротивления, большего критического, также имеет апериодический характер.35. Вынужденные колебания.
Интегрирование дифференциального уравнения. Собственные ивынужденные колебания.Д.У. вынужденных колебаний имеет вид:̈ + ̇ + = ()При гармоническом возбуждении:̈ + ̇ + = 0 sin( + )̈ + 2̇ + 2 = 0 sin( + )Решение Д.У. будем искать в виде суммы общего решения ЛОДУ и частного решения НДУ.Общее решение ЛОДУ:.
= − (1 cos(1 ) + 2 sin(1 )) при < . = − (1 + 2 ) при = . = − (1 + 2 − ) при > Для определения частного решения воспользуемся методом комплексных амплитуд. Известно, что0 (+) = 0 cos( + ) + 0 sin( + ). Поэтому 0 sin( + ) = Im0 (+) . Введёмвспомогательное уравнение:̈ + 2̇ + 2 = 0 (+)Найдём его частное решение ч.н и получим ч.н как Imч.н.Задав ч.н в виде ч.н = (+) , где – комплексная амплитуда, и подставив это выражение вовспомогательное Д.У. получим:(2 − 2 + 2) = 0=( 200= ∗ 2− + 2) ∗ = √( 2 − 2 )2 + 4 2 2 , = arctan (2)− 22 = − , ч.н = (+−)=0√( 2 − 2 )2 + 4 2 2ч.н = Imч.н = sin( + − )Общее решение Д.У.: = − (1 cos(1 ) + 2 sin(1 )) + sin( + − ) при < = − (1 + 2 ) + sin( + − ) при = = − (1 + 2 − ) + sin( + − ) при > C течением времени общее решение ЛОДУ стремится к нулю, и в решении неоднородного Д.У.
остаётсятолько частное решение. В этом случае говорят об установившихся вынужденных колебаниях.36. Основные свойства установившихся вынужденных колебаний. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики.Основные свойства установившихся вынужденных колебаний:1)2)3)4)Это незатухающие колебания, они длятся так долго, как долго действует возмущающая сила;Эти колебания не зависят от начальных условий;При гармоническом возбуждении они происходят с частотой возмущающей силы;Эти колебания отстают по фазе от возмущающей силы н величину , изменяющуюся от 0 до .Амплитуда установившихся вынужденных колебаний и сдвиг по фазе зависят от соотношения междучастотами и и от коэффициента затухания . Эти зависимости называются амплитудно-частотной ифазо-частотной характеристикой.Введём безразмерный коэффициент затухания : = 2/Введём коэффициент расстройки : = /Разделив числитель и знаменатель амплитуды на 2 , получим: = ст.
, ст. =01, =2√(1 − )2 + 2 2 – коэффициент динамичности при наличии вязкого сопротивления. Зависимость () – амплитудночастотная характеристика.Разделив числитель и знаменатель аргумента арктангенса в выражении для на 2 , получим:2 = arctan ( 2 2 ) = arctan ()1 − /1 − 2Зависимость () – фазо-частотная характеристика.(0) = 0(1) = /2(∞) = 37. Резонанс при наличии и отсутствии вязкого трения.В случае совпадения частоты возмущающей силы с частотой свободных колебаний (собственной частотой) = возникает резонанс.При отсутствии сил вязкого сопротивления в случае резонанса амплитуда вынужденных колебаний,нарастая во времени, стремится к бесконечности.̈ + 2 = 0 sin( + ) = . + ч.н.
= 1 cos() + 2 sin()ч.н = cos( + ), ̈ ч.н = −2 sin( + ) − 2 cos( + )Подставим в Д.У. с учётом = : −2 sin( + ) − 2 cos( + ) + 2 cos( + ) =0 sin( + ) = −0 /2ч.н = cos( + ) = −0 0 cos( + ) =sin ( + − )222Видно, что условная амплитуда растёт по линейному закону: = 0 ⁄2.При наличии сил вязкого сопротивления в случае резонанса наблюдается экстремум функцииамплитудно-частотной характеристики.=1√(1 − 2 )2 + 2 2При резонансе = ⟹ = 1 ⟹ = 1/ = Д, где Д – добротность системы. Таким образом,лобротность Д представляет собой значение коэффициента динамичности при резонансе.38.
Момент инерции твердого тела относительно оси, проходящей через заданную точку в заданномнаправлении.Пусть ось проходит через данную точку . Выберем прямоугольную ДСК с началом в точке , с осямикоторой ось образует углы , , . Момент инерции механической системы относительно оси : = ∑ ℎ2Из прямоугольного треугольника имеем ℎ = sin(). Запишем векторное произведение:̅̅̅̅0 × ̅ = |cos() cos() cos()| == ̅( cos() − cos()) + ̅( cos() − cos()) + ̅ ( cos() − cos())2|0̅ × ̅ | = (1 ∙ ∙ sin())2 = ℎ2 == ( cos() − cos())2 + ( cos() − cos())2 + ( cos() − cos())2ℎ2 = (2 + 2 ) cos 2() + (2 + 2 ) cos 2() + (2 + 2 ) cos2 () − 2 cos() cos() −− 2 cos() cos() − 2 cos() cos() = cos 2() ∑ (2 + 2 ) + cos 2() ∑ (2 + 2 ) + cos2() ∑ (2 + 2 )− 2 cos() cos() ∑ − 2 cos() cos() ∑ − 2 cos() cos() ∑ = cos 2() + cos 2() + cos 2() − 2 cos() cos() − 2 cos() cos() − 2 cos() cos() , , – центробежные моменты инерции относительно осей , и соответственно.39.
Эллипсоид инерции. Главные оси инерции однородных симметричных тел.Эллипсоид инерции – поверхность второго порядка, построенная в любой точке тела – характеризуетспектр моментов инерции тела относительно осей, проходящих через эту точку. Для построения этойповерхности на каждой оси , проходящей через точку , откладывают от этой точки отрезок = 1/√ .Геометрическое место концов отрезков (точек ) и является эллипсоидом инерции.Подставим выражения cos() = ⁄ = √ , cos() = ⁄ = √ ,выражение для и получим:cos() = ⁄ = √ в 2 + 2 + 2 − 2 − 2 − 2 = 1Получили уравнение центральной поверхности второго порядка. Оси симметрии эллипсоида инерции,построенного в точке твёрдого тела, называются главными осями инерции для данной точки тела.Эллипсоид инерции, построенный в центре масс тела, называется центральным эллипсоидом инерции.Моменты инерции тела относительно главных осей инерции в точке называются главными моментамиинерции для этой точки тела.Если оси координат направить по главным осям эллипсоида инерции (, , ), то его уравнениепримет вид: 2 + 2 + 2 = 1Сравнив это уравнение с каноническим уравнением эллипсоида получим:111=, =, =√√√То есть большей оси эллипсоида инерции соответствует меньший главный момент инерции тела дляданной точки.40.
Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.Твёрдое тело с закреплённой точкой при движении в любой момент времени имеет угловую скорость ̅.Главный момент количеств движения тела относительно неподвижной точки:̅ = ∑ ̅ × ̅ ,где ̅ = ̅ × ̅ . = ∑ ( − ) = ∑ ( ( − ) − ( − )) == ∑ (2 + 2 ) − ∑ − ∑ Аналогично находятся зависимости для и . Заменив суммы на осевые и центробежные моментыинерции получим: = − − = − + − = − − + ̅ = ̅ + ̅ + ̅41. Динамические и кинематические уравнения Эйлера.Линия узлов – линия пересечения координатных плоскостей (неподвижная СК) и (подвижная СК).Углы Эйлера:Угол прецессии – угол между линией узлов и осью (неподвижная ось).
Вращение вокруг (осьпрецессии).Угол нутации – угол между (неподвижная ось) и (подвижна ось). Вращение вокруг линии узлов(ось нутации).Угол собственного вращения – угол между линией узлов и осью (подвижная ось). Вращение вокруг (ось собственного вращения).Кинематические уравнения Эйлера: = ̇ sin() sin() + ̇ cos() = ̇ sin() cos() − ̇ sin() = ̇ cos() + ̇Теорема об изменении главного кинетического момента и теорема об изменении кинетической энергии:̅̇ = ̅ , ̇ = (,)Помимо инерциальной системы отсчёта 0 с осями , , и ортами ̅, ̅, ̅ введём жёстко связанную ствёрдым телом вспомогательную систему координат с началом в точке , осями , , и ортами̅.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
