теория термех (862808)
Текст из файла
Теоретические сведения по курсу “Теоретическая механика”, 3 семестрПод редакцией Д.А. Волошина1. Аксиомы динамики. Инерциальная система отсчета.1) Существуют системы отсчёта, называемые инерциальными, по отношению к которым материальнаяточка, не испытывающая действия или находящаяся под действием уравновешенной системы сил,сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.2) Ускорение материальной точки относительно инерциальной системы отсчёта пропорциональноприложенной к точке силе и совпадает с ней по направлению (̅ = ̅ ).3) Силы взаимодействия двух материальных точек направлены по прямой, соединяющей эти точки, впротивоположные стороны и равны по модулю (̅1 = −̅2 ).4) Ускорение, полученное точкой под действием системы сил, равно векторной сумме ускорений отдействия отдельных сил (̅ = ∑ ̅ , где ̅ = ̅ /).Инерциальные системы отсчёта являются воображаемыми и могут быть введены с той или иной степеньюприближения.2.
Дифференциальные уравнения движения точки в векторной форме и в проекциях на декартовы иестественные оси координат.Векторное дифференциальное уравнение движения точки:2 ̅̅= ̅ (, ̅ , )2В проекциях на декартовы оси:̈ = (, , , , ̇ , ̇ , ̇ )̈= (, , , , ̇ , ̇ , ̇ ){̈ = (, , , , ̇ , ̇ , ̇ )В проекциях на естественные оси (базис ̅, ̅, ̅):2 = 22= { = 0где = | | = |/|, а – радиус кривизны траектории.
Третье уравнение является условиемравновесия для проекций сил на бинормаль.3. Дифференциальные уравнения движения точки в неинерциальной системе координат. Принципотносительности Галилея-Ньютона.Неинерциальной называется система отсчёта, которая движется с ускорением относительно другой,инерциальной системы отсчёта.̅ = ̅ + ̅ + ̅̅ + Ф̅̅ = ̅ + Ф̅ = ̅ + (−̅ ) + (−̅ ),Дифференциальные уравнения движения точки в НСО:̈ = + Ф + Ф̈= + Ф + Ф{̈ = + Ф + ФПринцип относительности Галилея-Ньютона: невозможно отличить одну инерциальную систему от другойпутём наблюдения за механическим движением тел.4. Центр масс системы материальных точек.
Теорема о движении центра масс.Центр масс характеризует распределение масс материальных точек в системе. Центр масс – этогеометрическая точка , положение которой определяется радиус-вектором ̅ :̅ =∑ ̅Спроецировав на оси ДСК можно получить выражения для координат центра масс: =∑ ∑ ∑ , =, =,где ∑ = , ∑ = , ∑ = – статические моменты массы системы относительнокоординатных плоскостей. Для сплошных однородных тел суммирование можно заменитьинтегрированием по .Теорема о движении центра масс: произведение массы системы на ускорение её центра масс равногеометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.Доказательство: дважды продифференцируем векторное уравнение для радиус-вектора центра масс:̅ =∑ ̅∑ ̅| 2 ⟹ ̅ =Разделим все силы, действующие на материальные точки на две категории: внешние и внутренние.Равнодействующая сил, действующих на -ю точку – ̅ .
Сила, с которой на -ю точку действует -я точка –̅ . Тогда ̅ = ̅ + ∑ ,̅ , ∑ ̅ = ∑ ̅ + ∑ ∑ ,̅ . Сумма внутренних сил равна нулю (согласно 3,й аксиоме динамики), поэтому ∑ ̅ = ∑ ̅ . Тогда:̅ =∑ ̅ ∑ ̅=∎5. Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела.При поступательном движении тела его угловая скорость и, следовательно, главный момент количествадвижения относительно центра масс тождественно равны нулю.Д.У.
поступательного движения твёрдого тела в векторном виде:()̅ = ∑ ̅,где ̅ – ускорение центра масс тела.Д.У. поступательного движения твёрдого тела в проекциях на оси ДСК:()()()̈ = ∑ , ̈ = ∑ , ̈ = ∑ Д.У. поступательного движения твёрдого тела в проекциях на естественные оси:̇ 2()()()̈ = ∑ , = ∑ , 0 = ∑ 6.
Теорема об изменении количества движений точки и системы материальных точек вдифференциальной и интегральной формах.Количеством движения материальной точки называют вектор:̅ = ̅Количеством движения механической системы называют вектор:̅ = ∑ ̅ = ∑ ̅ = ̅Элементарный импульс силы ̅ , действующий в течение времени : ̅(̅ ) = ̅ . Полный импульс силы̅ , действующий на материальную точку в течение времени : ̅(̅ ) = ∫ ̅ .0Теорема об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме:(̅ ) ̅== ̅Домножив обе части уравнения на и проинтегрировав от 0 до получим теорему в интегральнойформе:̅ − ̅0 = ̅(̅ ),Где ̅(̅ ) – полный импульс равнодействующей за время .Теорема об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме:(̅ ) ̅()== ∑ ̅Домножив обе части уравнения на и проинтегрировав от 0 до получим теорему в интегральнойформе:()̅ − ̅0 = ∑ ̅7.
Движение точки переменной массы. Уравнение Мещерского. I-я задача Циолковского.Для вывода уравнения движения точки переменной массы воспользуемся теоремой об измененииколичества движения механической системы. Для этого рассмотрим механическую систему, состоящую изчастиц постоянной массы, которые в момент времени составляют материальную точку ℳ (с массой и(1)(1)скоростью ̅ ) и за время ∆ присоединятся к материальной точке ℳ (обозначим их массы 1 , … , 1 ,(1)(1)(2)(2)скорости в момент времени – ̅1 , … , ̅1 ). Пусть 1 , … , 1 – массы тех частиц, которые за время ∆(2)(2)отделятся от точки ℳ, а ̅1 , … , ̅1 – их абсолютные скорости в момент времени + ∆.Введём также обозначения:∑ (1) ̅(1)∑ (2) ̅(2)̅1 =, ̅2 =,∆1∆2(1)(2)где ∆1 = ∑ , ∆2 = ∑ .Запишем количество движения этой механической системы в моменты времени и + ∆:̅ () = ̅ + ∆1 ̅1̅ ( + ∆) = ( + ∆1 − ∆2 )(̅ + ∆̅ ) + ∆2 ̅2∆̅ () = ̅ ( + ∆) − ̅ () = ∆̅ + ∆1 (̅ − ̅1 ) − ∆2 (̅ − ̅2 ) + (∆1 − ∆2 )∆̅̅∆̅ ()̅12= lim=+ (̅ − ̅1 )− (̅ − ̅2 ) ∆→0 ∆Запишем теорему об изменении количества движения системы̅()= ∑ ̅и получим обобщённоеуравнение Мещерского:̅12= ̅ + (̅1 − ̅ )− (̅2 − ̅ )Первая задача Циолковского.Пусть ТПМ движется в безвоздушном пространстве вне силового поля, причём имеет место лишь процессотделения частиц.
Движение такой точки моделирует движение ракеты в космосе (учитывая различныепренебрежения). Тогда ̅ = 0 и из уравнения Мещерского получим векторное уравнение движенияракеты:̅= ̅,где ̅ – относительная скорость отделения продуктов сгорания топлива. Полагая, что ̅ постоянна повеличине и направлена противоположно скорости ̅ ракеты, найдём скорость и закон движения ракеты.Направим ось вдоль вектора скорости ̅ ракеты.
В проекции на ось уравнение Мещерского с учётом,что = , = − , имеет вид: = − Разделяя переменные и интегрируя найдём:0 = 0 + ln ()()Так как 0 = к + т , где к – масса корпуса ракеты, т – масса топлива в начальный момент времени,из полученной формулы можно найти предельную скорость, которую получит ракета, когда всё топливобудет израсходовано:к = 0 + ln (1 +т)кПуть, пройденный ракетой, зависит от закона сгорания топлива.
Полагая (0) = 0 получим:0() = 0 + ∫ ln () ()08. Кинетический момент точки и системы материальных точек относительно центра и оси.Кинетический момент (момент количества движения) точки относительно центра :̅ (̅) = ̅ × ̅ = ̅ × ̅̅ = Проекции ̅ на оси равны кинетическим моментам относительно соответствующих осей: = (̇ − ̇ ), = (̇ − ̇ ), = (̇ − ̇ )Кинетический момент механической системы относительно центра :̅ = ∑ ̅ = ∑ ̅ (̅ ) = ∑ ̅ × ̅̅ на оси равны главным кинетическим моментам относительно соответствующих осей:Проекции = ∑ ( ̇ − ̇ ) , = ∑ ( ̇ − ̇ ) , = ∑ ( ̇ − ̇ )Главный кинетический момент относительно оси вращения при вращательном движении твёрдого тела: = ∑ ( ̅ ) = ∑ ℎ = ∑ ℎ2 = ∑ ℎ2 = 9.
Теорема об изменении кинетического момента для точки и системы материальных точек.Уравнение движения материальной точки:̅= ̅Домножим его слева векторно на ̅ :̅ × ̅= ̅ × ̅Преобразуем левую часть:̅ × ̅ (̅ × ̅ ) ̅(̅ × ̅ )(̅ × ̅ )=−× ̅ =− ̅ × ̅ =(̅ × ̅ ) (̅ )̅ (̅ )== ̅ × ̅ = Теорема об изменении кинетического момента для точки:(̅ )̅ (̅ )=Для механической системы запишем сумму теорем об изменении кинетического момента для всех точек:∑(̅ × ̅ )()= ∑ ̅ × ̅Преобразуем левую часть:∑̅(̅ × ̅ ) = (∑ ̅ × ̅ ) =()()∑ ̅ × ̅ = ̅Теорема об изменении кинетического момента для механической системы:̅()= ̅10. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.Теорема об изменении главного кинетического момента механической системы относительно осивращения :()= ∑ (̅ )̅ = = ̇ , тогда имеем Д.У.
вращения твёрдого тела вокруг оси :Для твёрдого тела () ̈ = ∑ (̅ )11. Формула для кинетического момента механической системы при сложном движении (теоремаКенига).Введём подвижную С.К. , которая движется поступательно по отношению к инерциальной С.О. и начало которой связано с центром масс системы. Запишем уравнение радиус-вектора точки внеподвижной С.К.: ̅ = ̅ + ̅ и продифференцируем его по времени:̅ ̅ ̅=+()̅ = ̅ + ̅Главный момент количеств движения механической системы относительно неподвижного центра O дляабсолютного движения системы:̅ = ∑ ̅ × ̅ = ∑(̅ + ̅ ) × (̅ + ̅() )()= ̅ × ̅ ∑ + ̅ ∑ ̅∑ ̅ = ̅ = 0,()+ ∑ ̅ × ̅ + ∑ ̅ × ̅()∑ ̅=(∑ ̅ ) = 0̅ = ̅ × ̅ + ̅() = ̅ (̅ ) + ̅()12.
Теорема об изменении кинетического момента системы в относительном движении по отношению кцентру масс (относительно осей Кенига).̅()̅ = ̅ × ̅ + ̅()= ∑ ̅ × ̅ , ̅ = ̅ + ̅ , ̅()̅̅ ()()̅̅̅(̅ × + ) =× + ̅+= ∑(̅ + ̅ ) × ̅̅̅()× ̅ = ̅ × ̅ = 0,= ∑ ̅̅()̅()()= ̅ × (∑ ̅ −) + ∑ ̅ × ̅̅()()()= ∑ ̅ × ̅ = ̅13. Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела.()Введём неподвижную С.К.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
