Поверхностные интегралы (852154), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Влияет ли ориентация поверхности на запись формул Остроградского, Стокса, а также формул, сводящих поверхностный интеграл II-го рода к поверхностному интегралу I-го рода или к двойному интегралу? Если влияет,то каким образом?10. Пусть Ω – часть боковой поверхности цилиндра x 2 + y 2 = R 2 , ограниченного поверхностями z = g1(x, y) и z = g2(x, y). Доказать, что поток вектор168функцииFвэтом2π∫∫ ( F ⋅ n ) d Ω = R ∫ dϕΩ0случаеможетg 2 ( R cos ϕ , R sin ϕ )∫g1 ( R cos ϕ , R sin ϕ )бытьнайденпо( r,ϕ , z )– цилиндриче-( F ⋅ n ) dz , гдеформуле:ские координаты.11.
Пусть Ω – часть поверхности сферы x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , ограниченная коническими поверхностями θ = θ1 , θ = θ 2 и полуплоскостями ϕ = ϕ1 , ϕ = ϕ2 .Доказать, что в этом случае поток вектор-функции F выражается формулой:ϕ2θ2ϕ1θ1∫∫ ( F ⋅ n ) d Ω = R ∫ dϕ ∫ ( F ⋅ n ) sin θ dθ , где (r ,ϕ ,θ ) – сферические ко2Ωординаты.Задачи к главе 7.Вычислить поверхностные интегралы I-го рода∫∫ f ( x, y, z ) d Ω :Ω1. f ( x, y, z ) = z ; Ω – часть поверхности цилиндра x 2 + z 2 = 2az , a > 0 ,вырезанная конусом z = x 2 + y 2 .2. f ( x, y , z ) = x + y + z ; Ω – верхняя половина сферы x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .3.
f ( x, y , z ) = z ; Ω – часть поверхности геликоидаx = u cos v, y = u sin v, z = v, где 0 < u < a, 0 < v < 2π .4. f ( x, y, z ) =x2a4+y2b4+z2c4; Ω – эллипсоид169x2a2+y2b2+z2c2= 1.⎡x2 y 2 z 2 ⎤222 3/ 2⎢⎥5. f ( x, y, z ) = x + y + z⋅++444⎢abc ⎥⎦⎣(липсоида)x2a2+y2b2+z2c2−1; Ω – поверхность эл-= 1.6. f ( x, y, z ) = x 2 y 2 + z 2 x 2 + z 2 y 2 ; Ω – часть верхней половины конусаx 2 + y 2 = z 2 , z ≥ 0 , отсекаемая цилиндром x 2 + y 2 − 2ax = 0 .Найти массу поверхности Ω, плотность которой задается функцией ρ ( x, y, z ) .7. ρ ( x, y , z ) = z ; Ω – часть поверхности параболоида x 2 + y 2 = 2 z ,0 ≤ z ≤ 1.8.
ρ ( x, y, z ) = x 2 + y 2 ; Ω – часть сферы x 2 + y 2 + z 2 = R 2 , вырезаннаяконусом z = x 2 + y 2 .Вычислить двумя способами (с помощью и без помощи формулы Остроградского) поток вектор-функции F через ориентированную поверхность Ω :()9. F = x 2 + y 2 ⋅ k ; Ω – нижняя сторона круга x 2 + y 2 = R 2 в плоскостиOXY.10. F = x 2 y 2 z k ; Ω – верхняя сторона нижней полусферыx2 + y 2 + z 2 = R2 , z ≤ 0 .11. F = x3 ⋅ i ; Ω – верхняя сторона половины эллипсоидаx2a2+y2b2+z2c2= 1, z ≥ 0 .12.
F = x 2 ⋅ i + y 2 ⋅ j + z 2 ⋅ k ; Ω – внешняя сторона сферыx2 + y 2 + z 2 = R2 .17013. F = z ⋅ k ; Ω – внешняя сторона эллипсоида14. F =x2a2x2a2+y2b2+z2c2= 1.i j k+ + ; Ω – внешняя сторона эллипсоидаx y z+y2b2+z2c2= 1.На основе формулы Стокса найти циркуляцию вектор-функции F по кривой γ:15. F = y ⋅ i + z ⋅ j + x ⋅ k ; γ – линия пересечения сферы x 2 + y 2 + z 2 = R 2и плоскости x + y + z = 0 . (Против часовой стрелки, если смотреть сположительного направления оси OX ).16. F = ( y − z ) ⋅ i + ( z − x ) ⋅ j + ( x − y ) ⋅ k ; γ – линия пересечения цилиндраx 2 + y 2 = a 2 и плоскостиx z+ = 1 , ( a > 0, h > 0 ) .
(Против часовойa hстрелки, если смотреть с положительного направления оси OX ).() () ()17. F = y 2 + z 2 ⋅ i + x 2 + z 2 ⋅ j + y 2 + x 2 ⋅ k ;γ – линия пересеченияцилиндра x 2 + y 2 = 2ax и сферы x 2 + y 2 + z 2 = 2 Rx . (В направлении,при котором меньшая область, ограниченная кривой на сфере, остаетсяслева).() () ()18. F = y 2 − z 2 ⋅ i + z 2 − x 2 ⋅ j + x 2 − y 2 ⋅ k ;γ – линия пересеченияплоскости x + y + z = 3a / 2 с поверхностью куба 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a ,0 ≤ z ≤ a .
(Против часовой стрелки, если смотреть с положительногонаправления оси OX ).171ГЛОССАРИЙДвойной интеграл (double integral) – обобщение понятия определенногоинтеграла на двумерный случай. Определяется как предел соответствующих интегральных сумм.Диаметр множества (diameter of a set) – наибольшее расстояние междудвумя точками множества.Замыкание области (closure of a domain) – объединение области и ее границы.Криволинейный интеграл (curvilinear integral) – обобщение понятия определенного интеграла, связанное с заменой отрезка интегрирования на дугу кривой линии.Неопределенный интеграл (indefinite integral) – множество всех первообразных подынтегральной функции.Несобственный интеграл (improper definite integral) – интеграл, один изпределов интегрирования которого бесконечен, а также интегралот разрывной функции.Определенный интеграл (definite integral) – предел последовательностиинтегральных сумм при стремлении к нулю диаметра разбиенияотрезка интегрирования.Первообразная (antiderivative) функции f(x) – функция F(x), производнаякоторой равна f(x).Повторный интеграл (iterated integral) – интеграл от функции двух переменных, взятый последовательно по одной переменной, а затемпо другой.Потенциал (потенциальная функция) вектора (potential) – функция трехпеременных, частные производные которой по соответствующимкоординатам совпадают с координатами вектора.Правильная область 1-го типа (regular domain of 1-st type) – область наплоскости, ограниченная прямыми x = a и x = b и кривыми y == φ1(х), у = φ2(х), где функции φ1(х), φ2(х) непрерывны на отрезке [a, b] и φ1 (х) ≤ φ2 (х).Правильная область 2-го типа (regular domain of 2-nd type) – область наплоскости, ограниченная прямыми y = c, y = d и кривыми x == ψ1(у), х = ψ2(у), где функции ψ1(у) и ψ2(у) непрерывны на отрезке [c, d] и ψ1(у) ≤ ψ2(y).172Рациональная дробь (rational fraction) – функция вида f ( x) =P( x), гдеD( x)P(x) и D(x) – многочлены.Сапог Шварца (Schwarz’s boot) – вписанный в цилиндр многогранник,сумма площадей граней которого стремится к бесконечности пристремлении диаметров граней к нулю.Связное множество (connected set) – множество, любые две точки которого можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей этомумножеству.Тройной интеграл (triple integral) – обобщение понятия определенногоинтеграла на трехмерный случай.
Определяется как предел соответствующих интегральных сумм.«Хорошая» кривая (regular curve) – кривая, граница которой составленаиз конечного числа графиков непрерывных функций.Циркуляция вектора (circulation) – криволинейный интеграл II-рода отвекторной функции по замкнутому контуру.Якобиан (Jacobian) – определитель, составленный из частных производных n функций, зависящих от n переменных.Материалы, относящиеся к данному изданию можно найти на сайтекафедры высшей математики РГУ нефти и газа им.
И.М. Губкина:http://kvm.gubkin.ru/index.html173.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
