Поверхностные интегралы (852154), страница 2
Текст из файла (страница 2)
7).OD5/2Рис.7. К примеру 4.1305XПереходя к полярным координатам, получаем:π /2Ω = 2⋅∫dϕ0π /2= −10 ⋅5cos ϕ∫0π /25rdr25 − r2= −10 ⋅∫25 − r25cos ϕ⋅ dϕ =00π⎛⎞ϕϕ5sin5d501−=⋅−()⎜⎟. ∫2⎝⎠0Замечание. В пункте 4.4 главы 4 отмечалось, что если поверхность Ωзадана на ограниченной области ∆ в плоскости переменных (u, v) параметрическими соотношениями:x = ϕ ( u, v ) ,y = ψ ( u, v ) , z = χ ( u, v ) ,то ее площадь может быть найдена по формуле:| Ω |= ∫∫ ЕG − F 2 dud v ,Δгде E = ϕu′ 2 + ψ u′ 2 + χu′ 2 , G = ϕ v′ 2 + ψ v′ 2 + χ v′ 2 , F = ϕu′ ϕ v′ + ψ u′ψ v′ + χu′ χ v′ − гауссовские коэффициенты поверхности Ω.Используя этот факт, можно получить формулу для вычисления поверхностного интеграла I-го рода и в случае параметрического задания поверхности.Соответствующее утверждение доказывается аналогично теореме 2:Теорема 3. Пусть Ω – гладкая поверхность, заданная уравнениями:x = ϕ ( u , v ) , y = ψ ( u , v ) , z = χ ( u , v ) , где (u, v)∈∆, причем соответствие междуобластями Ω и ∆ взаимно-однозначно.
Тогда если функция f (M) определена инепрерывна на поверхности Ω, то справедливо равенство:∫∫ f ( x, y, z ) d Ω = ∫∫ f (ϕ ( u, v ) ,ψ ( u, v ) , χ ( u, v ) ) ⋅ΩEG − F 2 dud v.(7)Δ222ПРИМЕР 5. Пусть по поверхности Ω сферы x + y + z = Rделена масса с плотностью ρ = ρ ( x, y , z ) =1312распре-x 2 + y 2 . Найти массу сферы Ω.Разобьем поверхность Ω на части Ωk столь мелкие, что в пределах каждой из них плотность можно считать постоянной. Выберем в каждой части Ωkпо произвольной точке Mk.
Тогда масса поверхности приближенно равна значениюm (Ω ) ≈n∑ ρ ( M k ) ⋅ Ωkk =1= ST ,и представляет собой интегральную сумму поверхностного интеграла I-го родаот функции ρ (M) по поверхности Ω. Чем меньше части разбиения, тем точнееполучается формула. В пределе для массы поверхности получаем:m(Ω) = limn∑ ρ ( M k ) ⋅ Ωk = ∫∫ ρ ( M ) d Ω .dT →0 k =1ΩВведем сферические координаты:x = R cos θ cos ϕ , y = R cos θ sin ϕ , z = R sin θ .Тогдаxθ′ = − R sin θ cos ϕ ,xϕ′ = − R cos θ sin ϕ ,yθ′ = − R sin θ sin ϕ ,yϕ′ = R cos θ cos ϕ ,zθ′ = R cos θ ,zϕ′ = 0.Найдем гауссовские коэффициенты поверхности Ω:E = R 2 sin 2 θ cos 2 ϕ + R 2 sin 2 θ sin 2 ϕ + R 2 cos 2 θ = R 2 ,G = R 2 cos 2 θ cos 2 ϕ + R 2 cos 2 θ sin 2 ϕ = R 2 cos 2 θ ,F = R 2 cos θ sin θ cos ϕ sin ϕ − R 2 cos θ sin θ cos ϕ sin ϕ + R cos θ ⋅ 0 = 0.Тогда по формуле (7) получаем искомую массу поверхности сферы:m ( Ω ) = ∫∫ x + y d Ω =222ππ /20−π / 2Ω3= 2π R ⋅π /2∫∫ dϕ ∫R cos θ ⋅ R 2 ⋅ R 2 cos 2 θ − 0 dθ =cos 2θ dθ = π 2 R3 .
−π / 21327.2. Ориентация поверхности.Односторонние и двусторонние поверхности.Сторона поверхности.Рассмотрим полоску бумаги ABCD (рис.8а). Пусть одна сторона этой полосы – белая, а другая – заштрихована. Стороны AB и CD можно склеить двумяспособами: так, чтобы точка A совпала с точкой D, а точка B с точкой C (приэтом получается кольцо, рис.8б) или же так, чтобы точка A совпала с точкой C,а точка B – с точкой D (при этом получается так называемый «лист Мёбиуса»,изображенный на рис.8в).Точку, лежащую на внешней (заштрихованной) стороне кольца (рис.8б)нельзя соединить с точкой, лежащей на внутренней (белой) стороне непрерывной кривой, не пересекающей границу кольца (граница кольца получилась изотрезков BC и AD полосы бумаги).
Можно сказать иначе: если мы будем закрашивать, допустим, внешнюю сторону кольца в красный цвет, двигаясь отлинии склейки AB – CD вправо кистью толщиной, равной ширине полосы бумаги, то мы вернемся к линии склейки, полностью закрасив внешнюю сторонукольца. Продолжив движение, мы станем покрывать эту же сторону вторымслоем краски, а внутренняя, белая сторона кольца в красный цвет не окрасится.а)BAб)СDв)MB–CNB–DA–DA–СРис.8.(a)полоса бумаги; (б)склеенное из нее кольцо;(в) лист Мёбиуса.Иначе обстоит дело с листом Мёбиуса.
Взяв произвольную точку N на белой стороне листа, мы можем соединить ее с произвольной точкой M на за-133штрихованной стороне непрерывной кривой, не пересекающей границы(рис.8с). Если же мы будем окрашивать лист Мёбиуса, двигаясь от линиисклейки вправо, мы окрасим его весь – и белая, и заштрихованная сторона станут красными. (Попробуйте склеить лист Мёбиуса и убедитесь в этом сами).Рассмотренная задача о склейке бумажной полосы позволяет сделать вывод: бывают поверхности односторонние (как лист Мёбиуса) и двусторонние(как кольцо). Для двусторонних поверхностей естественно связать сторону поверхности с направлением нормали к этой поверхности.
В каждой точке поверхности (например, сферы) нормаль, проведенная к поверхности, имеет дванаправления. Выбрав одно из них, мы выберем и соответствующую сторонуповерхности. Например, для сферы: с нормалью, направленной к центру сферы,мы свяжем внутреннюю сторону сферы, а с нормалью, направленной от центра, свяжем внешнюю сторону.Дадим теперь строгие определения. Гладкую поверхность будем называтьдвусторонней, если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности и не имеющему общих точек с ее границей, не меняет направлениянормали к поверхности.
Поверхность называется односторонней, если существует замкнутый контур с указанными свойствами, при движении по которому нормаль меняет направление (на рис. 8c при движении по средней линииполосы из точки N в точку N нормаль из внешней становится внутренней).Пусть точка M лежит на двусторонней поверхности.
Выберем направление вектора нормали в этой точке. Пусть N – любая другая точка той же поверхности. Соединим точки M и N гладкой кривой γ и переместим вектор нормали из точки M в точку N вдоль кривой γ так, чтобы во время движения оноставался перпендикулярным поверхности, а его направление менялось непрерывно.
В результате будет задано направление нормали в точке N. Двигаясьот точки M к точке N по любой другой кривой γ, нельзя получить иное направления нормали в точке N. Действительно, в противном случае при движе-134нии от точки M к точке N по кривой γ и обратно по кривой γ', мы получили бызамкнутый контур, при движении вдоль которого нормаль меняет направление,что невозможно в силу предположения о двусторонности поверхности.
Такимобразом, можно считать, что всем точкам двусторонней поверхности приписаноопределенное направление нормали.Определение 1. Совокупность всех точек поверхности с приписаннымик ним нормалями, непрерывно изменяющимися от точки к точке, называетсяопределенной стороной поверхности. Если изменить направления нормалей вовсех точках на противоположные, и приписать каждой точке это новое направление нормали, будет получена вторая сторона поверхности.ПРИМЕР 1. Пусть функция F(x, y, z) имеет непрерывные частные производные, а поверхность Ω задается уравнением: F(x, y, z) = 0. Тогда вектор⎛ ∂F ∂F ∂F ⎞grad F = ⎜,,⎟xy∂∂∂z ⎠⎝(1)задает нормаль к поверхности. Эта поверхность имеет две стороны, и сторонаповерхности определяется либо самим вектором grad F, либо противоположным ему вектором (– grad F).
ПРИМЕР2.ПустьповерхностьΩзаданауравнением:f ( x, y , z ) = z − g ( x, y ) = 0 , причем функция g(x, y) определена на ограниченнойобласти D плоскости OXY, непрерывна на ней и имеет непрерывные частныепроизводные первого порядка. Если при этом соответствие между точками области D и точками поверхности Ω взаимно однозначно, то поверхность Ω бу-дет являться двусторонней. Одна из сторон поверхности будет иметь нормальс направляющими косинусами:cos α =∂f / ∂x( ∂f / ∂x )22+ ( ∂f / ∂y ) + 1135=−∂g / ∂x( ∂g / ∂x )22+ ( ∂g / ∂y ) + 1,cos β =cos γ =∂f / ∂y( ∂f / ∂x )22+ ( ∂f / ∂y ) + 11( ∂f / ∂x )22+ ( ∂f / ∂y ) + 1−∂g / ∂y=( ∂g / ∂x )22+ ( ∂g / ∂y ) + 11=( ∂g / ∂x )22+ ( ∂g / ∂y ) + 1,(2).Другая сторона поверхности имеет нормаль с направляющими косинусами противоположного знака. ПРИМЕР 3.
Рассмотрим гладкую поверхность Ω, заданную параметрически на ограниченной области ∆ в плоскости переменных (u, v) соотношениями:x = ϕ ( u, v ) ,y = ψ ( u, v ) , z = χ ( u, v ) .(3)Предположим, что эти функции непрерывны вместе со своими частными производными до второго порядка включительно и задают взаимно-однозначноесоответствие между точками области ∆ и поверхности Ω, а ранг матрицы⎛ ϕu′ ψ u′⎜ϕ′ ψ ′v⎝ vχu′ ⎞равен 2 .χ v′ ⎟⎠В этом случае поверхность Ω также двусторонняя. Одна из ее сторон задается нормалью с направляющими косинусами:cos α =A22A + B +C2, cos β =B22A + B +C2, cos γ =C22A + B +C2, (4)гдеA=ψ u′ψ v′χu′ϕ′, B=− uχ v′ϕ v′χu′ϕ ′ ψ u′, C= u.χ v′ϕ v′ ψ v′(5)Положительное направление обхода замкнутого контура.Ориентация поверхности.Рассмотрим замкнутый контур, лежащий на выбранной стороне некоторойдвусторонней поверхности.
Зададим на этом контуре положительное направле-136ние обхода по следующему правилу. Будем считать, что наблюдатель, находящийся на выбранной стороне поверхности (это означает, что нормаль к поверхности направлена от его ног к голове) движется по контуру в положительномнаправлении, если он движется против часовой стрелки, т.е. область, ограниченная контуром, остается от него слева (рис. 9).Рис.9. К определению положительного направленияобхода на замкнутом контуре.Отметим, что для замкнутой (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
