Поверхностные интегралы (852154), страница 3
Текст из файла (страница 3)
не имеющей границы) поверхности (например, сферы) сформулированное выше правило не работает: в этом случаелюбой замкнутый контур ограничивает сразу две области (экватор Земли, например, ограничивает и северное полушарие, и южное). В подобных случаяхдля задания положительного направления на контуре приходится оговаривать,границей какой именно области будет считаться этот контур.С учетом сделанного уточнения, можно сказать, что, если на двустороннейповерхности выбрана определенная сторона, то положительное направление налюбом замкнутом контуре определяется однозначно.
Легко видеть, что верно иобратное: если для некоторого замкнутого контура на поверхности выбрано положительное направление обхода, то тем самым задана сторона поверхности.Определение 2. Если на двусторонней поверхности выбрана определенная сторона (определяющая положительное направление обхода по замкнутому контуру, лежащему на поверхности), или же задано положительное направление обхода по замкнутому контуру, лежащему на поверхности (и, тем137самым, определена сторона поверхности), то говорят, что на поверхности задана ориентация.Замечание 1.
Выбор в качестве положительного направления обходконтура против часовой стрелки связан с преимущественным использованиемнами правоориентированной системы координат (см. рис. 10, а также главу 5выпуска 2 настоящего пособия, в которой вводилось понятие векторного произведения векторов).Замечание 2. Понятия двусторонней поверхности и ориентации на поверхности определены только для случая гладких поверхностей и не могутбыть использованы, если условия гладкости (см.
п.5.1 главы 5) нарушены.а)Xб)ZZOOYYXРис.10. (a)Правая ориентация; (б)Левая ориентация.Замечание 3. Пусть теперь кусочно-гладкая поверхность Ω состоит изгладких частей Ωk, k = 1, 2, …, n (рис. 11). Границы этих частей есть замкнутые контуры. Пусть каждая из поверхностей Ωk двусторонняя. Выберем ориентацию на поверхности Ω1 и зададим положительное направление обхода наконтуре, ограничивающем Ω1. На всех поверхностях Ωk, граничащих с Ω1, выберем ориентацию таким образом, чтобы определяемое ею положительное направление обхода границы Ωk было противоположно положительному направлению обхода границы области Ω1. Далее аналогично задаем ориентацию на138частях, граничащих с частями Ωk и т.д.
Если возможно задать ориентацию навсех частях Ωk так, что положительные направления обхода общих границсмежных участков поверхности противоположны (рис.11), то говорят, что кусочно-гладкая поверхность является двусторонней и на ней задана ориентация.Ω1Ω2Ω3Рис.11.
Ориентация кусочно-гладкой поверхности.7.3. Поверхностный интеграл II-го рода.Поверхностный интеграл II-го рода определяется только для двусторонних поверхностей с заданной на них ориентацией.Определение поверхностного интеграла II-го рода.Пусть на гладкой двусторонней поверхности Ω выбрана некоторая сторона, в каждой точке M которой определено направление нормали n ( M ) .
Построим разбиение Т поверхности Ω на части Ω1, Ω2, …, Ωn с помощью произвольных кусочно-гладких кривых, как это делалось в п.7.1. В каждой из этихчастей Ωk выберем по произвольной точке Mk с координатами (ξk, ηk, ζk). Привведении поверхностного интеграла I-го рода интегральная сумма определяласькак сумма произведений значений функции f в точке Mk на площади частей Ωk.При определении поверхностного интеграла II-го рода значения функции вточке Mk умножаются не на площадь частей Ωk, а на площади проекций этихчастей на одну из координатных плоскостей, взятые с определенным знаком,зависящим от ориентации поверхности Ω.139Пусть поверхность Ω задается уравнением z = g(x, y), причем функцияz = g(x, y) удовлетворяет условиям, сформулированным в примере 2 п.7.2.Обозначим через Dk проекции частей Ωk на плоскость OXY. В интегральную сумму будем включать площадь│Dk│области Dk со знаком «+», если направление нормали к части Ωk образует с положительным направлением осиOZ острый угол (т.е.
если выбранная сторона поверхности – верхняя), и со знаком «–», если этот угол тупой (т.е. выбранная сторона поверхности – нижняя).Таким образом, для верхней стороны поверхности интегральная суммазаписывается в виде:ST =n∑k =1f ( M k ) ⋅ Dk =n∑ f (ξk ,ηk , ζ k ) ⋅ Dk ,(1)k =1а интегральная сумма для нижней стороны поверхности отличается знаком.+Условимся обозначать верхнюю сторону поверхности Ω символом Ω , а–нижнюю – символом Ω .Определение 1. Пусть существует предел интегральных сумм (1) прибесконечном увеличении количества частей Ωk разбиения поверхности Ω ибесконечном уменьшении диаметров разбиения dT, причем этот предел не зависит ни от способа разбиения поверхности Ω, ни от выбора точек Mk на частяхΩk.
Тогда этот предел называется поверхностным интегралом второго рода отфункции f по верхней стороне поверхности Ω и обозначается:n∑ f (ξk ,ηk , ζ k ) ⋅ Dk∫∫+ f ( M ) dxdy = ∫∫+ f ( x, y, z ) dxdy = dTlim→0Ω. (2)k =1ΩПоверхностный интеграл по нижней стороне поверхности отличаетсязнаком:140∫∫−Ωf ( x, y, z )dxdy = − ∫∫ f ( x, y, z )dxdy = − limn∑ f (ξk ,ηk , ζ k ) ⋅ DkdT →0 k =1Ω+. (2')Здесь символ dxdy под знаком интеграла указывает на то, что проектирование частей Ωk проводилось на плоскость OXY.Аналогичным образом поверхностный интеграл II-го рода определяется идля случая произвольной поверхности (не обязательно задаваемой уравнениемz = g (x, y)).
Интегральные суммы при этом строятся аналогично выражению (1) сединственным отличием – в них могут входить площади с разными знаками(рис. 12). Если некоторая часть Ωk разбиения проектируется в кривую (как, например, цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси OZ,проектируется в свою направляющую), будем считать, что площадь проекции│Dk│равна нулю и соответствующее слагаемое в интегральной сумме отсутствует. Также пренебрежем в интегральных суммах слагаемыми, для которых участи точек поверхностей Ωk нормаль образует острый угол с положительнымнаправлением оси OZ, а у части – тупой.
Это допущение законно, посколькупри предельном переходе вклад таких слагаемых в интегральную сумму мал.ZnΩnОX(+)(0)Y(–)Рис.12. К определению поверхностного интегралаII-го рода.141Если вместо плоскости OXY части разбиения Ωk проектировать на плоскость OXZ или на плоскость OYZ, то возникнут поверхностные интегралы II-города, которые принято обозначать∫∫± f ( x, y, z )dxdzиΩ+∫∫± f ( x, y, z )dydz , соот-Ω–ветственно. Причем использование в интегралах Ω или Ω зависит от выборатой или иной стороны поверхности Ω, которые, в свою очередь, теперь определяются углом между направлением нормали и положительным направлениемоси OY или оси OX .В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех трехвидов:∫∫± P ( x, y, z ) dydz + Q ( x, y, z ) dzdx + R ( x, y, z ) dxdy,(3)Ωгде P (x,y,z ), Q (x,y,z ) и R (x,y,z ) непрерывные функции, заданные на поверхности Ω.Для удобства можно считать, что на поверхности Ω задана векторнаяфункцияF ( x , y , z ) = ( P ( x, y , z ) , Q ( x, y , z ) , R ( x, y , z ) ) .(4)Тогда, как и в случае поверхностных интегралов I-го рода, верна теорема:Теорема 1.
Если Ω – кусочно-гладкая поверхность и векторная функцияF ( x, y, z ) имеет непрерывные на Ω компоненты P(x , y , z) , Q ( x , y , z ) иR ( x , y , z ), то поверхностный интеграл II-го рода (3) существует и определен однозначно.142Выражение поверхностного интеграла II-го рода черезповерхностный интеграл I-го рода.Выразим сначала через поверхностный интеграл I-го рода интеграл (2).Пусть выбранная в точке M нормаль n ( M ) к поверхности имеет направляющие косинусы ( cos α ( M ), cos β ( M ), cos γ ( M ) ) .Рассмотрим часть Ωk поверхности и произвольную точку Mk на ней.Пусть Dk – проекция Ωk на плоскость OXY. Проведем касательную плоскость кповерхности Ω в точке Mk (рис.
13) и рассмотрим площадку ωk, которая вырезается на касательной плоскости цилиндрической поверхностью с образующей,параллельной оси OZ, и направляющей – границей области Dk (при этом иплощадка ωk и часть поверхности Ωk имеют область Dk в качестве своей проекции на плоскость OXY).ZωkMkYΩkXDkРис.13. К выводу формулы (6).В п.4.4 главы 4 было показано, что площади ωk и Dk связаны друг с другом соотношением: Dk = ωk ⋅ cos γ ( M k ) . Подставляя это соотношение в интегральную сумму (1), получаем:143ST =n∑k =1f ( M k ) ⋅ Dk =≈n∑ f ( M k ) ⋅ ωkk =1⋅ cos γ ( M k ) ≈(5)n∑ f ( M k ) ⋅ Ωkk =1⋅ cos γ ( M k ) .(Последнее равенство справедливо при dT →0).Сравнивая интегральную сумму (5) с выражением (1) п.7.1 для интегральной суммы поверхностного интеграла I-го рода, получим при переходе к пределу при dT →0:∫∫+ f ( x, y, z )dxdy = ∫∫ f ( x, y, z ) ⋅ cos γ ( x, y, z ) d Ω .(6)ΩΩАналогичные зависимости можно получить, проектируя поверхность Ωkна плоскости OXZ и OYZ.
Объединяя получаемые при этом формулы, можнозаписать:∫∫+ P ( x, y, z ) dydz + Q ( x, y, z ) dzdx + R ( x, y, z ) dxdy =Ω=∫∫+ P ( x, y, z ) ⋅ cos α ( x, y, z ) d Ω + Q ( x, y, z ) ⋅ cos β ( x, y, z ) d Ω +Ω(+ R ( x, y, z )⋅ cos γ ( x, y, z ) d Ω =)((7))= ∫∫ F ( x, y, z ) ⋅ n ( x, y, z ) d Ω = ∫∫ F ( M ) ⋅ n ( M ) d Ω.ΩΩ(Под знаком последнего интеграла в (7) стоит скалярное произведение векторовF ( M ) = ( P ( M ), Q( M ), R( M ) ) и n ( M ) = ( cos α ( M ), cos β ( M ), cos γ ( M ) ) .ПРИМЕР 1. Найти интеграл∫∫+ f ( x, y, z ) dxdy , где f(M) – произвольнаяΩнепрерывная функция, определенная на поверхности Ω, представляющей собойчасть цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси OZ инаправляющей – некоторой кусочно-гладкой кривой на плоскости OXY .144Поскольку нормаль n ( M ) к поверхности Ω параллельна плоскости OXY,т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
