Поверхностные интегралы (852154), страница 5
Текст из файла (страница 5)
главы 5 получаем:⎛ g1 ( x, y )⎞R(x,y,z)∂R ( x, y, z )∂dz ⎟ dxdy =∫∫∫ ∂z dxdydz = ∫∫ ⎜⎜ ∫⎟∂zVD ⎝ g2 ( x, y )⎠()= ∫∫ R ( x, y, g1 ( x, y ) ) − R ( x, y, g 2 ( x, y ) ) dxdy =(2)D=∫∫+ R ( M ) dxdy + ∫∫+ R ( M ) dxdy.Ω1Ω2Последнее равенство в (2) основано на формуле (9) п.7.3, поскольку поверхность Ω1+ – это внешняя сторона поверхности Ω1, а поверхность Ω +2 – внешняя сторона поверхности Ω2 (рис. 21).
Из формул (1) и (2) следует формулаОстроградского:∂R ( x, y, z )∫∫∫ ∂z dxdydz = ô+ R ( M ) dxdy.Ω(3)VАналогично выводятся формулы:∂P ( x, y, z )∫∫∫ ∂x dxdydz = ô+ P ( M ) dydzΩ(4)∂Q ( x, y, z )∫∫∫ ∂y dxdydz = ô+Q ( M ) dxdz.Ω(5)VиVФормулы (3) – (5), доказанные для «цилиндрических» тел, можно обобщить и на случай, когда тело V ограничено произвольной кусочно-гладкой поверхностью Ω. Требования, накладываемые при этом на функции P ( x , y , z ),Q ( x , y , z ) и R ( x , y , z ) несколько ужесточаются. Поскольку при доказательствеформул (3) – (5) для общего случая тело V пришлось бы разбивать на «цилиндрические» части, выступающие за пределы поверхности Ω, то приходится тре158бовать, чтобы непрерывность функций P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z ) и их частных производных ∂P ( x , y , z )/∂x, ∂Q ( x , y , z )/∂y и ∂R ( x , y , z )/∂z имела место нетолько во всех точках тела V, но также и в некоторой его окрестности.Складывая формулы (3)–(5), приходим к общей формуле Остроградского:⎛ ∂P ( x, y, z ) ∂Q ( x, y, z ) ∂R ( x, y, z ) ⎞∫∫∫ ⎜⎝ ∂x + ∂y + ∂z ⎟⎠ dxdydz =V= ô P ( M ) dydz + Q ( M ) dxdz + R ( M ) dxdy.(6)Ω+Замечание 1.
Выражение∂P( x, y, z ) ∂Q( x, y, z ) ∂R( x, y, z )называет++∂x∂y∂zся дивергенцией вектор-функции F ( x, y, z ) = ( P ( x, y , z ) , Q ( x, y , z ) , R ( x, y, z ) ) :divF ( x, y, z ) =∂P( x, y, z ) ∂Q( x, y, z ) ∂R( x, y, z )++.∂x∂y∂zИспользуя это обозначение и формулу (7) п.7.3, можно переписать формулу Остроградского (6) в виде:ô ( F ( M ) ⋅ n ( M ) ) d Ω = ∫∫∫ divF ( M ) dxdydz.Ω+(7)V(Здесь n ( M ) – внешняя нормаль к поверхности Ω).Замечание 2. На основе формулы Остроградского можно получитьряд формул для вычисления объема области V:V = ∫∫∫ dxdydz == ô z dxdy = ô y dxdz = ô xdydz =VΩ+Ω+Ω+1= ô z dxdy + y dxdz + xdydz.3 Ω+159ПРИМЕР 1.
Вычислить поток вектора F = x 2 ⋅ i + y 2 ⋅ j + z 2 ⋅ k черезвнешнюю сторону замкнутой поверхности Ω, составленной из верхней половины сферы x 2 + y 2 + z 2 = R 2 и круга x 2 + y 2 = R 2 в плоскости z = 0.Здесь область V– верхняя половина шара x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 , z ≥ 0. Используя формулу Остроградского (6) и переходя к сферическим координатам (см.п.5.3 главы 5) получаем:ô x 2 ⋅ dydz + y 2 ⋅ dxdz + z 2 ⋅ dxdy = 2 ∫∫∫ ( x + y + z ) dxdydz =Ω+V= 2 ∫∫∫ ( r cos θ cos ϕ + r cos θ sin ϕ + r sin θ ) ⋅ r 2 cos θ ⋅ drdθ dϕ =V2π= 2 ∫ dϕ0π /2R∫ ( cosθ cos ϕ + cosθ sin ϕ + sin θ ) ⋅ cosθ dθ ∫ r03dr =π R402.ZRRYRXРис.22.К примеру 1.ПРИМЕР 2.
С помощью формулы Остроградского решить пример 3 п.7.4.Дивергенция вектора r равна divr =∂x ∂y ∂z+ + = 3 . Применяя формулу∂x ∂y ∂z(7) и используя формулу для объема цилиндра, получаем (рис.20):∫∫ ( r ⋅ n ) d Ω =3∫∫∫ dxdydz = 3π RΩV1602h. ПРИМЕР 3. Вычислить поток вектора F = x 2 ⋅ i + y 2 ⋅ j + z 2 ⋅ k черезвнешнюю поверхность куба 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a, 0 ≤ z ≤ a.Пусть Ω – поверхность куба V , а n – внешняя нормаль к его поверхности(рис.23). По формуле Остроградского получаем:∫∫ ( F ⋅ n )d Ω =2∫∫∫ ( x + y + z ) dxdydz =ΩVaaa000= 2∫ dx ∫ dy ∫ ( x + y + z ) dz = 3a 4 . ZaOaYaXРис.23.К примеру 3.7.6. Формула Стокса.Формула Стокса обобщает формулу Грина на случай пространственнойкривой. Она устанавливает связь между поверхностным интегралом по поверхности Ω и криволинейным интегралом II-го рода по ее границе.Пусть поверхность Ω, задана параметрически на ограниченной области ∆в плоскости переменных (u, v) соотношениями (3) из п.7.2:x = ϕ ( u, v ) ,y = ψ ( u, v ) , z = χ ( u, v ) ,причем для этих функций справедливы условия гладкости, сформулированныев примере 3 п.7.2.161+Выберем определенную сторону поверхности Ω, например, сторону Ω ,на которой положительное направление обхода границы Г(Ω) поверхности Ωотвечает на плоскости переменных (u, v) положительному обходу границы Г(∆)области ∆ (т.е.
при движении точки по границе поверхности Ω в положительном направлении, ее проекция на границу области ∆ движется против часовойстрелки). Границы областей с выбранными на них положительными направле++ниями обхода будем обозначать через Г(Ω) и Г(∆) .Пусть на поверхности Ω (вместе с некоторой ее окрестностью) функцияP ( x , y , z ) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные.Рассмотрим криволинейный интеграл II-го рода от этой функции по кривой+Г(Ω) .
Используя соотношения (3) п.7.2. и формулу для дифференциала сложной функции, получим:òΓ (Ω)+P ( x, y, z ) dx=⎛ ∂ϕ ( u , v )∂ϕ ( u , v ) ⎞= ò P (ϕ ( u , v ) ,ψ ( u , v ) , χ ( u , v ) ) ⋅ ⎜du +d v ⎟.∂∂vu+⎝⎠Γ(Δ )(1)+Кривая Г(∆) и ограниченная ею область ∆ лежат в плоскости (u, v), поэтому к интегралам (1) можно применить формулу Грина:ò [P ⋅Γ( Δ )+∂ϕ ( u , v )∂udu + P ⋅∂ϕ ( u , v )∂vd v] =⎧ ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎫= ∫∫ ⎨ ⎜ P ⋅⎟− ⎜P⋅⎟ ⎬ dud v =uu∂∂∂∂vv⎝⎠⎝⎠⎭Δ⎩⎧⎪ ∂P ∂ϕ∂ 2ϕ ∂P ∂ϕ∂ 2ϕ ⎫⎪= ∫∫ ⎨ ⋅+ P⋅−⋅− P⋅⎬ dud v = Ivvvvuuuu∂∂∂∂∂∂∂∂⎪⎭⎩Δ⎪162(2)При условиях, наложенных на функции ϕ ( u , v ) , ψ ( u , v ) , χ ( u , v ) , спра-∂ 2ϕ ( u , v )ведливо равенство:∂u∂v=∂ 2ϕ ( u , v )∂v∂u. Тогда из (2) получаем⎧⎛ ∂P ∂ϕ ∂P ∂ψ ∂P ∂χ ⎞ ∂ϕ ⎛ ∂P ∂ϕ ∂P ∂ψ ∂P ∂χ ⎞ ∂ϕ ⎫I = ∫∫ ⎨⎜⋅+⋅+⋅⎟ ⋅ ∂v − ⎜ ∂x ⋅ ∂v + ∂y ⋅ ∂v + ∂z ⋅ ∂v ⎟ ⋅ ∂u ⎬ dud v =xuyuzu∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎭Δ⎩⎧ ∂P ⎛ ∂ψ ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ⎞ ∂P ⎛ ∂χ ∂ϕ ∂χ ∂ϕ ⎞ ⎫= ∫∫ ⎨ ⋅ ⎜⋅−⋅⋅⎜⋅−⋅⎟+⎟ ⎬dud v =yuuzuu∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂vvvv⎝⎠⎝⎠⎭Δ⎩где B = −ϕu′ϕ v′χu′ϕ ′ ψ u′, C= u.χ v′ϕ v′ ψ v′⎧ ∂P∂P ⎫= ∫∫ ⎨ ⋅ B −⋅ C ⎬dud v,∂z∂y ⎭⎩ΔТеперь по формулам (10) и (7) из п.7.3 окончательно получаемI= òΓ( Ω )+P ( x, y, z ) dx =⎛ ∂P⎞∂P∂P∂P= ∫∫dxdz −dxdy = ∫∫ ⎜⋅ cos β −⋅ cos γ ⎟ d Ω.∂y∂y⎝ ∂z⎠+ ∂z(3)ΩΩАналогично можно получить равенства:òΓ( Ω )òΓ( Ω )+Q ( x, y, z ) dy =∂Q∂Q∂Q⎛ ∂Q⎞dxdy −dydz = ∫∫ ⎜= ∫∫⋅ cos γ −⋅ cos α ⎟ d Ω.∂z∂z⎝ ∂x⎠+ ∂xΩΩ+(4)R ( x, y, z ) dz ==∂R⎛ ∂R∂R∂R⎞(5)∫∫+ ∂y dydz − ∂x dxdz = ∫∫ ⎜⎝ ∂y ⋅ cos α − ∂x ⋅ cos β ⎟⎠ d Ω.ΩΩ(В равенствах (3) – (5) величины cos α , cos β , cos γ есть направляющие косину+сы вектора нормали к поверхности Ω ).163Складывая соотношения (3) – (5) получаем формулу Стокса:òΓ( Ω )+P ( x, y, z ) dx + Q ( x, y, z ) dy + R ( x, y, z ) dz =⎛ ∂Q ∂P ⎞⎛ ∂R ∂Q ⎞⎛ ∂P ∂R ⎞dxdydydz= ∫∫ ⎜−+−+−⎜⎟ dxdz.⎟⎜⎟∂y ⎠∂y ∂z ⎠⎝ ∂z ∂x ⎠⎝+ ⎝ ∂xΩ(6)Формулу Стокса можно записать и через поверхностный интеграл I-го рода:òΓ( Ω )+P ( x, y, z ) dx + Q ( x, y, z ) dy + R ( x, y, z ) dz =⎛ ⎛ ∂Q ∂P ⎞⎞⎛ ∂R ∂Q ⎞⎛ ∂P ∂R ⎞= ∫∫ ⎜ ⎜−⋅+−⋅+−⋅γαβcoscoscos⎟ d Ω.⎜⎟⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂xyyzzx⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎠Ω⎝(7)⎛ ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ⎞Замечание 1.
Вектор rot F = ⎜,,−−−⎟ называет⎝ ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ⎠сяротором,иливекторнойвихремфункцииF ( x, y , z ) == ( P ( x, y, z ), Q ( x, y, z ), R( x, y, z ) ) . Компоненты ротора удобно выразить с помощью определителя:i∂rot F =∂xPj∂∂yQk∂.∂zRС использованием понятия ротора формула Стокса записывается короче:òΓ( Ω )+()F ⋅ dr = ∫∫ rot F ⋅ n d Ω,Ω(8)и выражает циркуляцию вектора через поверхностный интеграл от его ротора.ПРИМЕР 1. Вычислить циркуляцию вектора F = yi − x j + zk вдоль ли-нии γ пересечения сферы x 2 + y 2 + z 2 = R 2 и конуса x 2 + y 2 = z 2 , z > 0.Для точек, лежащих на кривой γ, справедливы равенства:x2 + y 2 = z 2 = R2 − z 2 .164Тогда координаты точек, лежащих на кривой γ, удовлетворяют соотношениям:z 2 = R 2 / 2, x 2 + y 2 = R 2 / 2, т.е.
кривая γ – это окружность радиуса2 , ле-жащая в плоскости z = R / 2 .Применим формулу Стокса. В качестве поверхности Ω возьмем круг радиуса2 , лежащий в плоскости z = R / 2 . Кривая γ является границей этогокруга, т.е. γ = Г(Ω). Положительным направлением обхода контура будем считать направление против часовой стрелки, если смотреть со стороны положительной части оси OZ (рис. 24). Вектор n = k является вектором нормали к Ω,соответствующим выбранному положительному направлению обхода контура.На поверхности Ω имеем: dΩ = dxdy. Ротор вектора F = yi − x j + zk равен:ijkrot F = ∂ / ∂x ∂ / ∂y ∂ / ∂z = 0 ⋅ i − 0 ⋅ j − 2 ⋅ k .y−xzПроекция поверхности Ω на плоскость OXY представляет собой круг Dрадиуса2 . По формуле (8) получаем:⎛ R ⎞ò F ⋅ d r = ∫∫ rot F ⋅ n d Ω = −2∫∫ dxdy = − 2 ⋅ π ⋅ ⎜ ⎟ = −π R 2 .
⎝ 2⎠γ+ΩDZ nγR(2)Ω2RD2XRYРис.24.К примеру 1.165DПРИМЕР 2. Вычислить циркуляцию вектор-функцииF = ( 3 x + 2 z ) ⋅ i + ( xy − z ) ⋅ j − xyz ⋅ kвдоль линии γ пересечения параболоида z = g ( x, y ) = 1 − x 2 − y 2 = 0 (рис. 25) скоординатными плоскостями ( x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 ) .Воспользуемся формулой Стокса. В качестве поверхности Ω с границей γпримемчастьпараболоида,лежащуювпервомоктанте,т.е.приx ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 . Таким образом, γ = Г(Ω). Положительным направлением обхода контура будем считать движение против часовой стрелки, если смотретьсосторонывнешнейнормаликпараболоиду:n = grad ( z − g ( x, y )) == 2 xi + 2 yj + k .На поверхности Ω имеем22d Ω = 1 + g ′x2 + g ′y2 dxdy = 1 + ( −2 x ) + ( −2 y ) dxdy == 1 + 4 x 2 + 4 y 2 ⋅ dxdy.Найдем теперь ротор вектора F = ( 3 x + 2 z ) ⋅ i + ( xy − z ) ⋅ j − xyz ⋅ k :irot F = ∂ / ∂x3x + 2 zjk∂ / ∂y ∂ / ∂z = (1 − xz ) ⋅ i + ( yz + 2 ) ⋅ j + y ⋅ k .xy − z − xyzПроекция поверхности Ω на плоскость OXY представляет собой четвертькруга D: x 2 + y 2 = 1, x ≥ 0, y ≥ 0.На поверхности Ω в цилиндрических координатах (r, φ, z) выполнено равенство z = 1 − ( x 2 + y 2 ) = 1 − r 2 .
Тогда по формуле Стокса (8) получимò F ⋅ dr = ∫∫ ( rot F ⋅ n ) d Ω =γ+Ω= ∫∫ ( 2 x (1 − xz ) + 2 y ( yz + 2 ) + y ) ⋅ 1 + 4 x 2 + 4 y 2 dxdy =D166()= ∫∫ 2 x − 2 x 2 z + 2 y 2 z + 5 y ⋅ 1 + 4 x 2 + 4 y 2 dxdy =Dπ /2=∫01()dϕ ∫ 2r cos ϕ − 2r 2 cos 2 ϕ ⋅ z + 2r 2 sin 2 ϕ ⋅ z + 5r sin ϕ ⋅ 1 + 4r 2 rdr =012= ∫ 1 + 4r rdr0π /2∫01( r ( 2 cosϕ + 5sin ϕ ) − 2r= 7 ∫ r 2 1 + 4r 2 dr =02))(cos 2ϕ ⋅ 1 − r 2 ⋅ dϕ =()718 5 − ln(2 + 5) .64(Последний интеграл может быть вычислен с помощью замены переменных2r = sh t ).
Z1ΩγγOD1XγРис.25.К примеру 2.1671YТеоретические вопросы к главе 7.1. Как определяется ориентация на поверхности? Что такое сторона поверхности? Как определяется положительное направление обхода замкнутого контура на поверхности?2. Чем отличаются друг от друга поверхностные интегралы I-го и II-го рода?Чем отличается поверхностный интеграл II-го рода от двойного интеграла?3. Как свести поверхностный интеграл I-го рода к двойному интегралу в случае, если поверхность задана: a) уравнением z = g(x, y); b) параметрически?4.
Как свести поверхностный интеграл II-го рода к двойному интегралу в случае, если поверхность задана: a) уравнением z = g(x, y); b) параметрически?5. Как связаны друг с другом поверхностные интегралы I-го и II-го рода?6. Как задать нормаль к поверхности в случае, если поверхность задана:a) уравнением F (x, y, z) = 0; b) уравнением z = g(x, y); с) параметрически?7. Что такое дивергенция? Что такое ротор вектора? Как с помощью этих понятий можно записать формулу Остроградского и формулу Стокса?8. Как с помощью поверхностного интеграла найти: a) площадь поверхности;b) объем области, ограниченной замкнутой поверхностью?9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
