Поверхностные интегралы (852154), страница 4
Текст из файла (страница 4)
угол между нормалью и положительным направлением оси OZ прямой,имеем cos γ (x, y, z) = 0. Следовательно, по формуле (6) получаем∫∫+ f ( x, y, z )dxdy = ∫∫ f ( x, y, z ) ⋅ cos γ ( x, y, z ) d Ω =ΩΩ= ∫∫ f ( x, y, z ) ⋅ 0 ⋅d Ω = 0. ΩZΩnMYОXРис.14. К примеру 1.Замечание.Интеграл(3)носитназваниепотокавектораF ( M ) = ( P ( M ), Q ( M ), R( M ) ) через поверхность Ω в сторону единичного вектором нормали n ( M ) . Такое название связано со следующей гидродинамической задачей.Пусть пространство заполнено жидкостью, скорость которой в точке Mзадается вектором F ( M ) = ( P ( M ), Q ( M ), R ( M ) ) .
Вычислим количество Qжидкости, протекающей за единицу времени через ориентированную поверхность Ω в заданном направлении (рис. 15).145x2 + y 2 = 1n(M k )MkΩРис.15. К определению потока жидкости через поверхность.Зададим разбиение T поверхности Ω с помощью множества произвольных кусочно-гладких кривых на элементарные части Ω1, Ω2, …, Ωn (рис.
15) ивыберем по точке Mk, ( k = 1, 2,… , n ) в каждой из этих частей.Проекция вектора скорости на единичную нормаль к поверхности равноскалярному произведению F ( M ) ⋅ n ( M ) . Тогда количество жидкости, протекающее за единицу времени через площадку Ωk, определяется выражением()Qk = F ( M ) ⋅ n ( M ) ⋅ Ω k (рис.
15) . Суммируя количество протекающей жидкости по всем площадкам Ωk, получаем интегральную сумму для интеграла (3):Q=nnk =1k =1∑ Qk = ∑ ( F ( M k ) ⋅ n ( M k ) ) ⋅ Ωk .Переходя теперь к пределу при dT → 0 получаем, что количество жидкости, проходящее за единицу времени через всю поверхность определяется интегралом:()()Q = ∫∫ F ( x, y, z ) ⋅ n ( x, y, z ) d Ω = ∫∫ F ( M ) ⋅ n ( M ) d Ω .Ω146ΩВыражение поверхностного интеграла II-го родачерез двойной интеграл.Пусть поверхность Ω задается уравнением z = g(x, y), где функция g(x, y)удовлетворяет условиям, сформулированным в примере 2 п.7.2, т.е. определенана ограниченной области D плоскости OXY, непрерывна на ней и имеет непрерывные частные производные первого порядка.
Зададим, как и выше, разбиениеT поверхности Ω, а проекции частей Ωk на плоскость OXY обозначим через Dk.Запишем интегральную сумму для поверхностного интеграла II-го рода отфункции f(M), заданной на поверхности. Для верхней стороны поверхности интегральная сумма имеет вид:ST =nn∑ f ( M k ) ⋅ Dk = ∑ f (ξk ,ηk , ζ k ) ⋅ Dk .k =1(8)k =1Учитывая, что точка Mk лежит на поверхности, т.е. ζ k = g (ξ k ,ηk ) , равенство (8) можно переписать в виде:ST =nnk =1k =1∑ f ( M k ) ⋅ Dk = ∑ f (ξk ,ηk , g (ξk ,ηk ) ) ⋅ Dk ,что представляет собой интегральную сумму для двойного интеграла:∫∫ f ( x, y, g ( x, y ) )dxdy .
Переходя к пределу приdT → 0, получаем:D∫∫+ f ( x, y, z ) dxdy =∫∫ f ( x, y, g ( x, y ) )dxdy .(9)DΩДля нижней стороны поверхности в силу формулы (2') получаем:∫∫− f ( x, y, z ) dxdy = − ∫∫ f ( x, y, g ( x, y ) ) dxdy .DΩАналогичныеформулымогутбыть∫∫+ f ( x, y, z ) dxdz и ∫∫+ f ( x, y, z ) dydz .Ω(9')Ω147записаныидляинтеграловПРИМЕР 2 . Найти поверхностный интеграл II-го рода∫∫− zdxdyпоΩ222внутренней стороне верхней полусферы ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 .Поверхность Ω (рис. 16) проектируется в круг D, задаваемый на плоско-( x − a )2 + ( y − b )2 ≤ R 2 .сти OXY неравенствомНормаль к внутренней частиполусферы образует с положительным направлением оси OZ тупой угол, по–этому поверхность интегрирования обозначается через Ω .
Используя формулы(3) и (9), получаем:ZΩ–сnО(a, b)DRXYРис.16. К примеру 2.∫∫− zdxdy = −∫∫Ω22R 2 − ( x − a ) − ( y − b ) dxdy =D=−2πR00∫ dϕ ∫2R 2 − r 2 rdr = − π R3 .3(В последнем преобразовании была выполнена замена переменныхx − a = r cos ϕ , y − b = r sin ϕ ). 148Пусть теперь поверхность Ω задана параметрически на ограниченной области ∆ в плоскости переменных (u, v) функциями:x = ϕ ( u, v ) ,y = ψ ( u, v ) , z = χ ( u, v ) ,причем эти функции удовлетворяют условиям из примера 3 п.7.2.+Обозначим через Ω сторону поверхности, определяемую нормалью с направляющими косинусами (см.
формулы (4) и (5) из п.7.2)cos α =где A =ψ u′ψ v′A22A + B +C2χu′ϕ′, B=− uχ v′ϕ v′, cos β =B22A + B +C2, cos γ =C22A + B +C2,χu′ϕ ′ ψ u′, C= u.χ v′ϕ v′ ψ v′Можно доказать, что в этом случае поверхностный интеграл (7) выражается через двойной интеграл следующим образом:∫∫+ P ( x, y, z ) dydz + Q ( x, y, z ) dzdx + R ( x, y, z ) dxdy =Ω= ∫∫ ( PA + QB + RC ) dud v,(10)Δа для противоположной стороны поверхности Ω−∫∫− P ( x, y, z ) dydz + Q ( x, y, z ) dzdx + R ( x, y, z ) dxdy =Ω= − ∫∫ ( PA + QB + RC ) dud v.(10')ΔПРИМЕР 3.
Найти поток вектора r = xi + yj + zk через внешнюю сторо-ну поверхности, заданной параметрически:x = a cos u cos v + b sin u sin v, y = a cos u sin v − b sin u cos v, z = c sin u ,где 0 < c < b < a, 0 ≤ u ≤π2, 0 ≤ v ≤ 2π (рис. 17).149Zx2 + y 2 = b2cΩnYx2 + y 2 = a2XРис.17. К примеру 3.Поверхность Ω ограничена снизу окружностью x 2 + y 2 = a 2 в плоскостиOXY, а сверху – окружностью x 2 + y 2 = b 2 , лежащей в плоскости z = с.
Нормаль к поверхности образует с положительным направлением оси OZ острыйугол, т.е. cos γ > 0 . Вычислим коэффициенты A, B, C, представляющие собойминоры матрицы⎛ xu′⎜ x′⎝ vyu′yv′zu′ ⎞=zv′ ⎟⎠⎛ − a sin u cos v + b cos u sin v − a sin u sin v − b cos u cos v c cos u ⎞=⎜.0 ⎟⎠⎝ − a cos u sin v + b sin u cos v a cos u cos v + b sin u sin v()Тогда A = −c cos u ⋅ x(u , v), B = −c cos u ⋅ y (u , v), C = b 2 − a 2 ⋅ c cos u ⋅ sin u .Заметим, что поскольку значение С < 0, то для внешней стороны поверхности поток вектора находится по формуле (10'):∫∫ xdydz + y dzdx + z dxdy =Ω= − ∫∫ ( xA + yB + zC ) dud v =Δ150( ()())= − ∫∫ −c x 2 + y 2 cos u + b 2 − a 2 sin u cos u ⋅ z dud v =Δ2π /2=a c∫2πcos u du0∫ d v = 2π a2c. 07.4.
Свойства поверхностных интегралов I и II рода.Свойства поверхностных интегралов практически идентичны свойствам,сформулированным в главе 6 для криволинейных интегралов.Теорема. Для поверхностных интегралов I-го и II-го рода справедливыследующие свойства:n. Линейность.1а )∫∫ ( c1 f1 ( M ) + c2 f2 ( M ) )d Ω = c1 ∫∫ f1 ( M ) d Ω + c2 ∫∫ f2 ( M ) d Ω ,Ω1б )ΩΩ∫∫ ( c1F1 ( M ) + c2 F2 ( M ) )⋅ n ( M ) d Ω =Ω()()= c1 ∫∫ F1 ( M ) ⋅ n ( M ) d Ω + c2 ∫∫ F2 ( M ) ⋅ n ( M ) d Ω,Ω1в )Ω∫∫± ( c1 f1 ( M ) + c2 f2 ( M ) ) dxdy =Ω= c1 ∫∫ f1 ( M ) dxdy + c2 ∫∫ f 2 ( M ) dxdy,Ω±Ω±где с1 и с2 – постоянные.o. Аддитивность.
Если поверхность Ω составлена из нескольких непересекающихся частей, т.е. Ω = Ω1 ∪ Ω 2 ∪ … ∪ Ω A и Ωi ∩ Ω j = ∅, (i ≠ j ) , тоA2а )∫∫ f ( M ) d Ω = ∑ ∫∫ f ( M ) d Ω,Ωk =1 Ω k1512б )∫∫ (F (M ) ⋅ n (M ) dΩ =)∫∫±f ( M ) dxdy =ΩA∑ ∫∫ ( F ( M ) ⋅ n ( M )) d Ω,k =1 Ω kи2в )A∑ ∫∫ f ( M ) dxdy .±k =1 ΩΩkПРИМЕР 1. Вычислить поверхностный интеграл I рода:∫∫ ( xΩ2)+ y2 d Ω ,где поверхность Ω состоит из боковой поверхности Ω1 и основания Ω2 конусаx 2 + y 2 ≤ z ≤ 1 (рис. 18).Zx2 + y 2 = 11z = x2 + y 2YODXРис.18. К примеру 1.Имеем по свойству аддитивности поверхностного интеграла I-го рода:∫∫ ( xΩ2)+ y2 d Ω =∫∫ ( xΩ12)+ y2 d Ω +152∫∫ ( xΩ22)+ y 2 d Ω.Для основания конуса d Ω = dxdy .
Пусть D – круг с границей x 2 + y 2 = 1на плоскости OXY , в который проектируется конус. Тогда, переходя к полярным координатам, получаем∫∫ ( x2Ω2+y2) d Ω = ∫∫ ( x2+y2D2π100) dxdy = ∫ dϕ ∫ r3dr = π2 ,На боковой поверхности конуса имеем2⎛x22d Ω = 1 + z ′x + z ′y dxdy = 1 + ⎜⎜ x2 + y 2⎝поэтому∫∫ ( x2Ω1)(⎞ ⎛y⎟ +⎜⎟ ⎜ x2 + y 2⎠ ⎝)+ y 2 d Ω = 2 ⋅ ∫∫ x 2 + y 2 dxdy =DСкладывая два интеграла, получаем:∫∫ ( x2π2.)+ y2 d Ω =Ω2⎞⎟ dxdy = 2 ⋅ dxdy,⎟⎠π2()⋅ 1+ 2 .
ПРИМЕР 2. Вычислить поток вектора r = xi + yj + zk через внешнююсторону сферы x 2 + y 2 + z 2 = R 2 .Используя линейность и аддитивность поверхностного интеграла, можнозаписать:∫∫ ( r ⋅ n ) d Ω = ∫∫ ( r ⋅ n ) d Ω + ∫∫ ( r ⋅ n ) d Ω =ΩΩ1=Ω2∫∫+ xdydz + ∫∫+ ydxdz + ∫∫+ zdxdy + ∫∫− xdydz + ∫∫− ydxdz + ∫∫− zdxdy,Ω1Ω1Ω1Ω2Ω2Ω2где n – внешняя нормаль к поверхности интегрирования, Ω – поверхность сфе+ры, Ω1 – верхняя полусфера, Ω2 – нижняя полусфера, Ω1 – внешняя сторона–верхней полусферы, Ω2 – внешняя сторона нижней полусферы.
(Нормаль квнешней стороне верхней полусферы образует с положительным направлением153оси OZ острый угол, а нормаль к внешней стороне нижней полусферы образует– тупой угол).Заметим также, что в верхней строке этого равенства стоят поверхностные интегралы I рода, а во второй – поверхностные интегралы II-го рода.ZΩ1nDYОΩ2nXРис.19. К примеру 2.Пусть D – проекция сферы на плоскость OXY.
На поверхности Ω1 справедливо соотношение z = R 2 − x 2 − y 2 , а на поверхности Ω1 – соотношение:z = − R 2 − x 2 − y 2 . Тогда воспользовавшись формулами (3) и (9), можно записать:∫∫+ zdxdy + ∫∫− zdxdy = 2∫∫Ω1R 2 − x 2 − y 2 dxdy =DΩ22πR004= 2 ∫ dϕ ∫ R 2 − r 2 rdr = π R3 .3Остальные интегралы вычисляются аналогично. Окончательно получаемискомый поток:∫∫ ( r , n )d Ω = 4π R3.Ω154ПРИМЕР 3. Вычислить поток вектора r = xi + yj + zk через внешнююсторону поверхности цилиндра x 2 + y 2 = R 2 , ограниченного плоскостями z = hи z = 0.Пусть Ω1 – верхнее основание цилиндра, Ω2 – нижнее основание, Ω3 –боковая поверхность, и, наконец, Ω – вся поверхность, ограничивающая цилиндр. Обозначим через n1 , n2 и n3 внешние нормали к соответствующим поверхностям.На поверхности Ω1 справедливо соотношение n1 = k , следовательно, радиус-вектор r = xi + yj + hk точки на поверхности Ω1 обладает свойствомr ⋅ n1 = r ⋅ k = прOZ r = h .На поверхности Ω2 вектор нормали n2 = − k , и для радиус-вектораr = xi + yj + 0 ⋅ k на поверхности Ω2 имеем r ⋅ n2 = − r ⋅ k = − прOZ r = 0 .На поверхности Ω3 вектор нормали n3 параллелен плоскости OXY, и длярадиус-вектора r = xi + yj + zkлюбой точки Ω3 справедливо равенствоr ⋅ n3 = прn3 r = R .ZΩ1n1hx2 + y 2 = R2Ω3n3RОΩ2Rn2XРис.20.
К примеру 3.155YТогда, используя аддитивность поверхностного интеграла, легко найтиискомый поток:∫∫ ( r ⋅ n ) d Ω = ∫∫ ( r ⋅ n1 ) d Ω + ∫∫ ( r ⋅ n2 ) d Ω + ∫∫ ( r ⋅ n3 ) d Ω =ΩΩ1Ω2Ω3= h ∫∫ d Ω + 0 + R ∫∫ d Ω = h ⋅ π R 2 + R ⋅ 2π Rh = 3π R 2 h.Ω1Ω3(В последней строке использованы известные формулы для площади круга радиуса R и площади поверхности прямого кругового цилиндра радиуса R и высоты h ).
7.5. Формула Остроградского.Формула Остроградского (или, формула Гаусса – Остроградского) является аналогом формулы Грина для случая поверхностных интегралов. ФормулаГрина связывает криволинейный интеграл по замкнутому контуру с двойныминтегралом по области, ограниченной контуром. Аналогично, формула Остроградского связывает поверхностный интеграл по замкнутой поверхности стройным интегралом по телу, ограниченному данной поверхностью.Рассмотрим сначала случай тела V специального вида, а именно будемсчитать, что тело ограничено сбоку – цилиндрической поверхностью Ω3 с образующей, параллельной оси OZ, и направляющей – кусочно-гладкой границейограниченной области D плоскости OXY; сверху – поверхностью Ω1, задаваемой уравнением z = g1(x, y); снизу тело V ограничено поверхностью Ω2 с уравнением z = g2(x, y), (рис.21).
Пусть функции g1(x, y) и g2(x, y) достаточно гладкие, т.е. удовлетворяют условиям, сформулированным в примере 2 п.7.2. ТогдаΩ = Ω1» Ω2 » Ω3 представляет собой замкнутую поверхность, внешнюю сто+рону которой обозначим через Ω .156Zz = g1 ( x, y )Ω1Ω3z = g 2 ( x, y )Ω2ОYDXРис.21. К выводу формулы Остроградского.Пусть функция R ( x , y , z ) задана в области V и непрерывна на ее замыкании (т.е. непрерывна в точках области V и в точках ее границы Ω) вместе сосвоей частной производной ∂R ( x , y , z ) / ∂z.Из аддитивности поверхностного интеграла (свойство 2 п.7.4) имеем:ô R ( M ) dxdy =Ω+∫∫+ R ( M ) dxdy + ∫∫+ R ( M ) dxdy + ∫∫+ R ( M ) dxdy =Ω1=Ω2Ω3∫∫+ R ( M ) dxdy + ∫∫+ R ( M ) dxdy.Ω1(1)Ω2Последнее равенство справедливо, поскольку∫∫+ R ( x, y, z )dxdy = 0 (при-Ω3мер 1 п.7.3). Обозначение ô R ( M )dxdy для поверхностного интеграла испольΩ+зуется вместо обозначения∫∫+ R(M )dxdy для случая интегрирования по замкну-Ωтой поверхности.157Для дальнейшего нам понадобится вычислить тройной интеграл по области V от функции ∂R ( x , y , z )/∂z.Используя формулу (4) из п.5.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
