Методические указания к выполнению домашнего задания по курсу общей физики (851469), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Рассматривая совместно уравнения (3.22) и (3.23), получаем уравнениеdI Lq=,dtLCв котором зависимость q(t ) для любого значения t определена выше, что позволяет проинтегрировать это уравнение:IL =BlC2 cos ω0 t − E sin ω0 t+ C3 .ω0 LОбратим внимание читателя на появление еще одной постоянной интегрирования C3 . Этолегко понять, если заметить, что исходная система уравнений (3.22) – (3.26) содержит три дифференциальных уравнения первого порядка.
В начальный момент времени ток IL через катушкуиндуктивности равенBlC2+ C3 , т. е. определяется значениями двух постоянных интегрироваω0 Lния.Располагая зависимостями от времени для тока через конденсатор и тока через катушку индуктивности, по уравнению (3.24) после необходимых преобразований получаем зависимостьтока через перемычку:I =m ω0B 2l 2( BlC 2 cos ω0 t − E sin ω0 t ) + C3 .Начальное значение тока через перемычку составляетI (0) =mω0C2 + C3.BlТаким образом, все искомые переменные задачи определены в общем виде (с точностью доопределения констант интегрирования). При выводе зависимости скорости перемычки от времени пришлось дифференцировать исходное уравнение (3.26), при этом в окончательном результате исчезла постоянная величина ускорения свободного падения g.
Необходимо убедиться,что полученное решение действительно удовлетворяет дифференциальному уравнению дляскорости перемычки. Проверка этого условия (оно должно выполняться для произвольного момента времени) приводит к соотношениюC3 = −gm.BlИтак, постоянную интегрирования С1 мы определили единственным образом, постояннуюинтегрирования С3 также определили единственным образом. Постоянная интегрирования С2пропорциональна электрическому току через конденсатор в начальный момент времени, она жеучаствует в формировании начального тока через катушку индуктивности и, таким образом, вформировании начального тока через перемычку. Формально ее значение может быть произвольным.
Физически допустимыми являются начальные условия, позволяющие однозначно определить значение постоянной интегрирования С2.По условию задачи известно, что ток через перемычку в начальный момент времени равеннулю. Приравнивая выражение для I(0) нулю, получаемC2 =g.ω0После этого решение задачи приобретает окончательный вид:υ (t ) =gEsin ω0t − (1 − cos ω0t );ω0Bl Blgq(t ) = −C sin ω0t + E cos ω0t ; ω0IC (t ) = C (− Blg cos ω0t + Eω0 sin ω0t );I L (t ) =I (t ) =BlgmgEcos ω0t −sin ω0t −;2Lω0BlLω0 mg(1 − LCω02 ) Blgcos ω0t − E sin ω0t −.Lω0 ω0 BlОсобенностью рассматриваемой задачи является то, что при ее решении потребовалось установить законы изменения во времени заряда конденсатора, тока через конденсатор и тока через катушку индуктивности. Заметим, что в практически интересных случаях задание начальных условий для параметров сложной электрической цепи может представлять определенныетрудности.Задача 3.2.
По двум гладким медным шинам скользит перемычка массой М, закон движениякоторой задан функцией y (t ) = a exp( − nt ) , где а и n — постоянные величины. Сопротивлениеперемычки равно R , поперечное сечение S, концентрация носителей заряда (электронов) в проводнике перемычки равна n0 .Рис. 3.9Сверху шины замкнуты электрической цепью, содержащей индуктивность L в соответствиис рис. 3.9. Расстояние l между шинами является постоянной величиной. Система находится воднородном переменном магнитном поле с индукцией B z (t ) = c exp( − mt ) , перпендикулярномплоскости, в которой перемещается перемычка, а параметры c и m в законе изменения индукции магнитного поля являются постоянными положительными величинами.
Сопротивлениешин, скользящих контактов, а также самоиндукция контура пренебрежимо малы. Ток I черезперемычку в начальный момент времени равен нулю.Найти:– закон изменения электрического тока во времени I (t );– закон изменения напряженности электрического поля E (t ) в перемычке;– силу Fy (t ), действующую на перемычку, необходимую для обеспечения заданного законадвижения;– связь между силой Ампера, действующей на перемычку, и силой Лоренца, действующейна электроны в перемычке.Рис. 3.10Решение.
Выберем направление единичной нормали n так, чтобы n ↑↑ B , тогда поток вектора B будет положительным (рис. 3.10). Поток вектора B сквозь поверхность, натянутую на контур аLба, равен Φ = ( B , n ) ly . ЭДС индукции, обусловленная изменением этого потока, в соответствии с законом ФарадеяEi = −dΦd= − [ B z (t ) y (t ) l ] .dtdt(3.34)Направление обхода рассматриваемого контура аLба согласуем с выбранным направлениемвектора нормали n правилом правого винта. Тогда уравнение Кирхгофа (3.11) применительно кданной задаче примет видEi −LdI= IR.dt(3.35)Следует отметить, что в соотношении (3.35) ток I положительный, поскольку выбран так,что его направление совпадает с направлением обхода контура аLба (см. рис.
3.10). Так как вусловии задачи заданы закон движения перемычки y (t ) = a exp( − nt ) и закон изменения магнитного поля B z (t ) = c exp( − mt ) , значение ЭДС индукции в соответствии с законом (3.1) равноE i = a l c ( m + n) exp[ −( m + n)t ].(3.36)Тогда для тока I (t ) , протекающего в контуре аLба, с учетом выражения (3.36) для Ei получаем неоднородное дифференциальное уравнение с начальным условием I (0) = 0 :LdI+ IR = a l c(m + n) exp[−( m + n)t ].dt(3.37)При решении однородного уравнения (3.37) воспользуемся методом Лагранжа.
Запишем эторешение в форме R I (t ) = A(t ) exp − t . (3.38) L Подставим (3.38) в исходное уравнение (3.37) и найдем значение A(t ) :A (t ) = Ral c ( m + n ) exp − ( m + n ) t + D .R − (m + n) L LТогда общее решение уравнения (3.37) примет вид R a lc ( m + n )I (t ) = D exp − t +exp{[ − ( m + n )]t} . (3.39) L R − ( m + n) LВ этом выражении значение константы D определим из начального условия I (0) = 0 :D=−a lc(m + n).R − ( m + n) LЧастное решение уравнения (3.37) с нулевым начальным условием имеет видI (t ) =alc ( m + n ) R exp [ − ( m + n )t ] − exp − t ( R − (m + n) L ) L (3.40)Динамическое уравнение движения перемычки в проекции на ось Oy (аналог уравнения(3.20)) в рассматриваемом случае выглядит следующим образом:Mdυ ydt= Mg + I l Bz + Fy (t ),(3.41)где I (t ) определяется зависимостью (3.40), а Fy (t ) — проекция на ось Oу управляющей силы,действующей на перемычку.
Из заданного в условиях задачи закона движения перемычки найдем производную по времени от проекции на ось Oy скорости перемычки:dυ ydt= an 2 exp( − nt ) .Тогда проекция управляющей силы Fy (t ) из уравнения (3.41) с учетом последнего соотношениябудет равнаFy (t ) = M a n 2 exp(− nt ) − Mg − I l Bz = M a n 2 exp(− nt ) − Mg − Rc 2 al 2 (m + n) exp [ −(2m + n)t ] − exp − − m t R − ( m + n) L LПлотность тока в перемычке определяется зависимостьюj=I (t ),S(3.42)где S — площадь поперечного сечения проводника.Напряженность электрического поля в перемычке определяем из закона Ома в дифференциальной формеE=j= jρ уд ,σ(3.43)где ρуд — удельное сопротивление медной перемычки (справочное значение, см.
[6]).Среднюю скорость 〈u 〉 направленного движения электрических зарядов, образующих электрический ток, находим из уравненияj = e n0 〈u 〉 ,где e — модуль заряда электрона; n0 — объемная концентрация носителей заряда. В этомслучае справедливо соотношение〈u 〉 =j,e n0(3.44)где плотность тока j в перемычке определена зависимостью (3.42), модуль заряда электронаe = 1, 6 ⋅10−19 Кл. Тогда полная скорость носителей зарядов (электронов)υ = 〈u 〉 + υ п ,где υп — скорость движения перемычки, при этомυп y = dy / dt = −an exp(−nt )— проекция скорости движения перемычки на ось Oy.Сила Лоренца, которая действует на заряд, определяющий электрический ток, имеет вид Fл = e [υ × B ] = e [( 〈 u 〉 + υ п ) × B ] = e [ 〈 u 〉 × B ] + e [υ п × B ](3.45)Отметим, что векторы первого и второго слагаемых в соотношении (3.45) взаимно перпендикулярны.
ТогдаFл = e ([〈u 〉 × B ])2 + ([υп × B ]) 2 .Сила Лоренца, действующая на все носители зарядов,F * = Fл S l n0 = S l n0 e [〈u 〉 × B] 2 + [υп × B]) 2 .Сила Ампера, действующая на перемычку,Fa = I l Bz .(3.46)Отношение этих сил с учетом соотношений I = jS , j = n0 e 〈u〉 после соответствующих преобразований равноFa=F * S l n0 en0 e 〈u 〉 SlBzI l Bz = 2 2 = S l n0 e [〈u 〉 × B ]2 + [υп × B ]2[〈u 〉 × B] + [υп × B ]1υ 1+ п u 2≤1В рассмотренных задачах закон электромагнитной индукции играет существенную роль.Электродинамическое уравнение (второй закон Кирхгофа), полученное с помощью этого закона, входит в общую замкнутую систему дифференциальных уравнений.
Учет начальных условий позволяет найти единственное решение поставленной задачи, обладающее физическимсмыслом.ПРИЛОЖЕНИЕОБЩИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ grad, div, rot, ∇ 2Ортогональная криволинейная система координат ( x1 , x2 , x3 ):gradU =div A =1 ∂U 1 ∂U 1 ∂U e1 +e2 +e3 ,h1 ∂x1h 2 ∂x2h 3 ∂x31 ∂∂∂(h2 h3 Ax1 ) +(h1h3 Ax2 ) +(h1h2 Ax3 ) ,h1h2 h 3 ∂x1∂x2∂x3rot A =1h1h2 h3h1e1∂∂x1h2e2∂∂x2h3e3∂,∂x3h1 Ax1h2 Ax2h3 Ax31 ∂ h2 h3 ∂U ∂ h1h3 ∂U ∂++h1h2 h3 ∂x1 h1 ∂x1 ∂x2 h2 ∂x2 ∂x3Здесь U — скалярная функция; A{ Ax1 , Ax2 , Ax3 } — вектор-функция;∇ 2U =(П.1)(П.2)(П.3) h1h2 ∂U . h3 ∂x3 (П.4) (e1 , e2 , e3 ) — единичные ба-зисные векторы; (h1 , h2 , h3 ) — метрические элементы (коэффициенты Ламе).Прямоугольные координаты:x1 = x, x2 = y, x3 = z; h1 = 1, h2 = 1, h3 = 1; e1 = i ; e2 = j ; e3 = k .(П.5)x1 = r , x2 = ϕ, x3 = z; h1 = 1, h2 = r , h3 = 1; e1 = er ; e2 = eϕ ; e3 = ez .(П.6)Цилиндрические координаты:Связь с прямоугольными координатами:x = R cos ϕ;y = r sin ϕ; z = z.Координатные поверхности:цилиндры r = const, плоскости ϕ = const,плоскости z = const .Сферические координаты:x1 = r , x2 = θ, x3 = ϕ; h1 = 1, h2 = r , h3 = r sin θ; e1 = er ; e2 = eθ ; e3 = eϕ .(П.7)Связь с прямоугольными координатами:x = r sin θ cos ϕ,y = r sin θ sin ϕ,z = r cos θ.Координатные поверхности:концентрические сферы r = const, плоскости ϕ = const,конусы θ = const .ЛИТЕРАТУРА1.
Иродов И.Е. Электромагнетизм. М.: Физматлит, 2000.2. Сивухин Д.В. Общий курс физики: В 5 т. Т. 3: Электричество. М.: Физматлит, 1996.3. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. М.: Высш. шк., 2000.4. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1989.5. Савельев И.В. Курс общей физики: В 5 т.
Т. 4: Электричество. М.: Физматлит, 1998.6. Физические величины: Справ. / Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мелихова. М.: Энергоатомиздат, 1991..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
