Методические указания к выполнению домашнего задания по курсу общей физики (851469), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Пусть для определенности заданы следующие зависимости:µ = µ(r ) =Rn + r n,2RnR0 3= .R 2n = 2, (2.7)(2.8)Преобразуем зависимость для магнитной проницаемости µ(r ) с учетом заданного соотношения (2.8):µ=1r2+.2 2R2(2.9)Рис. 2.2Найдем вектор напряженности H магнитного поля внутри трубки. По условию задачи векторобъемной плотности тока проводимости j параллелен оси трубки (рис. 2.2).

Из симметрии задачи следует, что силовые линии вектора H в рассматриваемом случае должны иметь вид окруж-ностей с центром на оси трубки, лежащих в плоскости поперечного сечения трубки [1]. Модульвектора H должен быть одинаков во всех точках на одинаковом расстоянии r от оси трубки. Дляопределения напряженности поля H внутри трубки воспользуемся теоремой о циркуляции вектора H (2.4): (H∫ , d l ) = ∫ ( j , d s ).LSВ качестве контура интегрирования L выбираем одну из описанных выше окружностей радиусом rа ∈ ( R ; R0 ) , в каждой точке которой вектор H касателен к ней.

Направления вектора j ивектора единичной нормали n к плоскости, ограниченной контуром L, совпадают, причем на13правление n связано с направлением обхода по контуру (на рис. 2.2 показано дугой со стрелкой) правилом правого винта. По теореме о циркуляции вектора H для контура L получаем:H 2πra = j (πra 2 − πR 2 ) ,откуда, опуская индекс a (так как радиус ra выбран произвольно, последнее соотношение справедливо для любого значения радиуса R < r < R0 ), для напряженности магнитного поля H получаемH=j (r 2 − R 2 ),2rR < r < R0 .(2.10)Заметим, что магнитное поле внутри трубки при r < R отсутствует, а снаружи при r > R0напряженность магнитного поля H определяется зависимостьюH=5 jR 2,8rr > R0 ,(2.11)что также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора H .

Отметим, что при переходе через границу r = R0 напряженность магнитного поля H не испытывает скачка: по условию задачи на боковых поверхностях трубки поверхностные токи проводимости отсутствуют.Определим модуль вектора магнитной индукции B по соотношению (2.5) с учетом зависимостей (2.10) для H и (2.7) для магнитной проницаемости µ(r ) магнетика:µ 0 j(r 4 − R 4 )B = µµ 0 H =,4R 2rR < r < R0 .(2.12)В рассматриваемой задаче магнетик неоднородный, но линейный и изотропный, поэтомусоотношение J = χ H , где χ — магнитная восприимчивость вещества, остается справедливым.Итак, значение магнитной индукции B внутри трубки при R < r < R0 определяется соотношением (2.12), а снаружи при r > R0 зависимость магнитной индукции от радиальной координатыB (r ) принимает видB = µ0 H =5µ0 jR 2.8rНайдем модуль вектора намагниченности J при R < r < R0 по соотношению (2.6):J = χH = (µ − 1) H =j (r 2 − R 2 ) 2.4R2r(2.13)Намагниченность J снаружи трубки при r > R0 равна нулю, так как в этой области магнетикотсутствует и χ = 0 .

Внутри трубки при r < R намагниченность J равна нулю по той же причине. Ориентация векторов H , B и J в пространстве показана на рис. 2.2.14Таким образом, полевые характеристики магнитного поля внутри трубки при R < r < R0 иснаружи при r > R0 определены, а при r < R магнитное поле отсутствует.Плотность тока намагничивания j ′ , распределенного по объему магнетика, найдем, используя дифференциальную форму теоремы о циркуляции вектора намагниченности J (2.3):rot J = j′,а выражение для оператора rot применительно к цилиндрическим координатам выпишем изприложения:∂ ( rJ )   ∂J r ∂J z  1  ∂ ( rJ ϕ ) ∂J r−− er +  eϕ + ∂r r  ∂r∂ϕ ∂zϕrot J = 1  ∂J z −r  ∂ϕ∂zНесложно заметить, что в рассматриваемом примере J r = J z = 0 и ez .∂J ϕ∂z(2.14)= 0 , поэтому в пра-вой части формулы (2.14) только в составляющей по оси Оz остается первое слагаемое1 ∂ ( rJ ϕ )(rot J ) z = ( j ′) z =.r ∂rПодставляя в последнее соотношение зависимость проекции вектора намагниченности среды J ϕ от радиальной координаты по формуле (2.13) и выполняя соответствующие операции,для проекции вектора плотности тока намагничивания ( j′) z получим:1 ∂  j (r 2 − R 2 ) 2   r 2( j′) z =r =  2 − 1  j.2r dr 4R r   R(2.15)Следует заметить, что правая часть (2.15) в области R < r < R0 является величиной положительной и для рассматриваемого случая, если J ↑↑ H (для парамагнетика), векторы плотноститока проводимости j и объемной плотности тока намагничивания j ′ совпадают по направлению.Для определения линейной плотности поверхностных токов намагничивания воспользуемсятеоремой о циркуляции вектора намагниченности J (2.2):∫ ( J , dl ) = I ′.L15Рис.

2.3Примéним теорему о циркуляции вектора J к бесконечно малому контуру ABCD (рис. 2.3),плоскость которого перпендикулярна оси Oz, т. е. контур лежит в плоскости поперечного сечения цилиндрической поверхности. Криволинейные отрезки контура AB и CD представляют собой дуги окружностей с радиусами R0+ и R0− , а прямолинейные отрезки BC и DA контура пренебрежимо малы по сравнению с отрезками AB и CD. Тогда в правой части соотношения (2.2)при вычислении тока намагничивания I′, который пронизывает элементарную площадку, ограниченную этим контуром, можно не учитывать ток, распределенный по объему магнетика, поскольку его вклад в I′ пренебрежимо мал, а рассматривать только поверхностный ток намагни′ .

По этой же причинечивания, вектор линейной плотности которого обозначим iпов(в общем случае) можно пренебречь вкладом в циркуляцию вектора J по боковым сторонам BC и DA (а в условиях нашей конкретной задачиBC ∫ ( J , dl ) = ∫ ( J , dl ) = 0— еще и по причине ор-DAтогональности векторов J и dl в каждой точке отрезков BC и DA контура).Учитывая значимость данного вопроса, целесообразно подробно проанализировать ориентацию единичных векторов нормали и касательных направлений на поверхности раздела магнетиков для описываемой задачи (см.

рис. 2.3). На рисунке введены следующие обозначения: N— единичный вектор нормали к элементу поверхности раздела двух магнетиков (в рассматриваемой задаче это поверхность раздела «магнетик — вакуум») в окрестности точки наблюденияМ, t — единичный вектор, лежащий в касательной плоскости к поверхности раздела в точке16наблюдения; единичный вектор ν также лежит в этой касательной плоскости и является ортогональным к вектору нормали N и выбранному касательному направлению — вектору t . Легко заметить, что в условиях рассматриваемой задачи вектор ν перпендикулярен плоскости элементарного контура ABCD и обусловливает положительноенаправление обхода этого контура, циркуляция вектора намагниченности J по которомулежит в основе вывода локального соотношения для касательных компонент вектора J на границе раздела двух магнетиков.

Это соотношение выполняется в каждой точке поверхности раздела S.Итак, в рассматриваемом приближении циркуляция вектора намагниченности J по бесконечно малому контуру ABCD∫ ( J , d l ) = ( J 2t − J1t )l.(2.16)ABCDКак было показано выше, правая часть теоремы о циркуляции вектора J представляет со′ , где линейная плотность поверхностногобой только поверхностный ток намагниченности I пов′ в условиях рассматриваемой задачи определена соотношениемтока намагничивания iпов ′ = (iпов′ , ν)dl = (iпов′ )ν dl.dI пов′ поверхностных токов намагничиванияОтсюда следует, что под линейной плотностью iповпонимается количество электричества, протекающего в единицу времени через единицу длиныотрезка, расположенного на поверхности, по которой течет ток намагничивания, и перпендику′ получаемлярного направлению тока [3].

Тогда для поверхностного тока намагничивания I повследующее соотношение:l′ = ∫ ( iпов′ ) ν dl .I пов(2.17)0Предельным переходом из соотношения (2.17) с учетом равенства (2.16) получаем граничное условие, которому в данной задаче должен удовлетворять вектор намагниченности J награнице раздела двух магнетиков:где J 1t и J 2t′ )ν ,J 2t − J1t = (iпов— касательные компоненты вектора J в первой и второй средах.(2.18)Итак, локальное условие (2.18) является прямым следствием теоремы о циркуляции векторанамагниченности J .

Заметим, что в правой части соотношения (2.18) индекс ν может быть заменен индексом z, так как в условиях рассматриваемой задачи направление, задаваемое ортомν , и направление оси Oz совпадают.17Применительно к нашей задаче рассмотрим внешнюю цилиндрическую поверхность S раз32дела радиусом R0 = R. Здесь среда1 — это область пространства, заполненного магнетиком, а среда2 — вакуум. В первой среде в каждой точке поверхности раздела касательная компонентаJ 1t вектора намагниченности J определяется зависимостью (2.13), во второй среде J 2 t = 0, таккак J 2 = χH , а магнитная восприимчивость χ для вакуума равна нулю.

Тогда из локального соотношения (2.18) с учетом зависимости (2.13) имеем:25(i′пов ) z = − Rj.96(2.19)Можно показать, что на внутренней поверхности трубки, также являющейся поверхностьюраздела «магнетик — вакуум», поверхностный ток намагничивания отсутствует. В данномслучае из зависимости (2.13) при r = R следует, что J1t = 0 , а J 2 t = 0 , так как вторая среда —вакуум. Поэтому из локального соотношения (2.18) на поверхности раздела двух сред следует, что поверхностный ток намагничивания на внутренней поверхности трубки отсутствует.′ линейной плотности поверхноПолученные результаты позволяют записать для вектора iповстных токов намагничивания в условиях рассматриваемой задачи равенство′ = ( iпов′ ) z ν,iповт.

е. ток намагничивания на внешней поверхности трубки направлен противоположно току на′ и J взаимномагничивания, распределенного по объему магнетика. Заметим, что векторы iповперпендикулярны.Выполним проверку полученных результатов. Найдем суммарный ток намагничивания, используя при этом найденные зависимости (2.15) и (2.19). Итак,2 π R0∫I′ =0 r225′ dl + ∫  2 − 1  j 2 π r dr = −iповπR 2 j + 2 π32RSR0 r4r2 j 2 −  =02 R 4R(2.20)где первое слагаемое в правой части соотношения (2.20) представляет собой поверхностный токнамагничивания, текущий в отрицательном направлении оси Oz, а второе — ток намагничивания, распределенный по объему магнетика и текущий в противоположном направлении.′ линейной плотности поверхностных токов намагничивания в расОтметим, что вектор iповсматриваемой задаче имеет только одну составляющую — по оси Oz.

Характеристики

Список файлов книги