Методические указания к выполнению домашнего задания по курсу общей физики (851469), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Это подтверждается результатами расчетов, которые находятся в согласии с положением, что вне магнетика магнитные поля обоих токов намагничивания компенсируют друг друга.183. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ3.1. Основные теоретические сведенияЯвление электромагнитной индукции, открытое английским физиком М. Фарадеем в 1831 г.,описывается следующим законом (закон Фарадея): в замкнутом проводящем контуре C приизменении во времени магнитного потока Ф, охватываемого этим контуром, возникает электрический (индукционный) ток. Поток вектора магнитной индукции B через произвольную поверхность S, ограниченную контуром C, равен по определению Φ = ∫ ( B, d s ), где под знакомSинтеграла записано скалярное произведение вектора магнитной индукции B = B ( x, y, z , t ) и вектора элементарной площадки рассматриваемой поверхности d s = nds , n — единичный векторнормали к площадке ds.
Появление индукционного тока I обусловлено возникновением ЭДСиндукции — скалярной величины, которая пропорциональна скорости изменения магнитногопотока Ф сквозь поверхность S, натянутую на контур C:Ei = −dΦ.dt(3.1)ЭДС электромагнитной индукции не зависит от того, чем именно вызвано изменение магнитного потока — деформацией контура, его перемещением в магнитном поле, изменением самого поля с течением времени или совокупностью перечисленных факторов. Обратим внимание на то, что полная производная в законе (3.1) автоматически учитывает все перечисленныевыше независимые друг от друга причины, которые приводят к появлению ЭДС индукции [4,5].
Выявление физического смысла знака алгебраической величины ЭДС индукции в законе(3.1) требует особого обсуждения.Профессор Петербургского университета Э.Х. Ленц исследовал связь между направлениеминдукционного тока и характером вызвавшего его изменения магнитного потока. В 1833 г. онустановил следующий закон: при всяком изменении магнитного потока Ф сквозь поверхность,натянутую на замкнутый проводящий контур, в последнем возникает индукционный ток такогонаправления, что его магнитное поле противодействует изменению магнитного потока (правило Ленца).
Поэтому знак «минус» в правой части уравнения (3.1) соответствует правилу Ленца.Таким образом, соотношение (3.1), объединяющее в себе закон Фарадея и правило Ленца, является математическим выражением основного закона электромагнитной индукции.В физике принята правая система координат. Поэтому при практическом использовании закона электромагнитной индукции направление обхода контура при вычислении Ei и направление нормали n при вычислении магнитного потока Ф, сцепленного с контуром, должны бытьсогласованы по правилу правого винта: из конца вектора n обход контура должен быть виденпроисходящим против хода часовой стрелки.
Поэтому, выбирая (произвольно) определенноеположительное направление нормали, мы определяем и положительное направление обходаконтура, что дает возможность определить как знак потока вектора магнитной индукции (скалярное произведение векторов), так и ЭДС индукции в контуре, что позволяет выразить ЭДСиндукции и по модулю, и по знаку соотношением (3.1).Представляет интерес максвелловская трактовка явления электромагнитной индукции.Дж.К. Максвелл исследовал вопрос возникновения ЭДС индукции и, как следствие, появлениеиндукционного тока I в неподвижном проводящем контуре, находящемся в переменном магнитном поле.
Вопрос состоял в том, какая же сила возбуждает индукционный ток в этом случае? Ответ был найден Максвеллом. Согласно Максвеллу, всякое переменное магнитное полевозбуждает в окружающем пространстве электрическое поле. Последнее и является причинойвозникновения индукционного тока в проводящем контуре. Максвеллу принадлежит следующая углубленная формулировка закона электромагнитной индукции: всякое изменениемагнитного поля во времени возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле; циркуляция вектора напряженности E этого поля по любому неподвижному замкнутому контуруC определяется выражением ∂Φ(EC∫ , d l ) = − ∂ t ,(3.2)где Ф — магнитный поток через поверхность, натянутую на контур С.
Для обозначения скорости изменения магнитного потока в соотношении (3.2) использован знак частной, а не полнойпроизводной, и этим подчеркивается тот факт, что контур должен быть неподвижным.Между максвелловским и фарадеевским пониманием явления электромагнитной индукцииимеется существенное различие. Согласно Фарадею, электромагнитная индукция состоит в возбуждении электрического тока. Для ее наблюдения необходимо наличие замкнутого проводника.По Максвеллу сущность электромагнитной индукции состоит прежде всего в возбуждении электрического поля, а не тока.
Электромагнитная индукция может наблюдаться и тогда, когда в пространстве вообще нет никаких проводников. Появление индукционного тока в замкнутом проводнике при внесении последнего в переменное магнитное поле — лишь одно из проявленийэлектрического поля E , возникшего в результате изменения поля магнитного.
Но поле E можетпроизводить и другие действия, например, вызывать поляризацию диэлектрика и пробой конденсатора, ускорять и тормозить заряженные частицы и т. п. Оно может вызывать электрический токи в незамкнутом проводнике [4].Формулировка закона электромагнитной индукции, данная Максвеллом, более общая, чемформулировка Фарадея. Она принадлежит к числу наиболее важных обобщений электродинамики. Математически закон индукции в понимании Максвелла выражается формулой (3.2), гдеC — произвольный замкнутый контур, который может быть проведен и в диэлектрике (а не обязательно в проводнике, как было у Фарадея). Магнитный поток Ф определяется интегралом Φ = ∫ ( B, d s ),(3.3)Sвзятым по произвольной поверхности S, натянутой на контур C. Поэтому соотношение (3.2)можно представить в виде ∂B ∂C∫ ( E ,d l ) = − ∂ t ∫S ( B, d s ) = − ∫S ∂t , d s .(3.4)Математическая структура уравнения (3.4) такова, что оно может быть преобразовано вдифференциальную форму.
В результате такого преобразования получим∂Brot E = − .∂t(3.5)Это дифференциальная форма закона электромагнитной индукции. Уравнение (3.4) или эквивалентное ему уравнение (3.5) — одно из основных соотношений теории электромагнитного поля. Оно входит в систему уравнений Максвелла.В электростатике источниками электрического поля являются неподвижные электрическиезаряды. Для такого поля интеграл (E∫ , d l ) обращается в нуль по любому замкнутому контуру.CПо этой причине одно только электростатическое поле не может обеспечить непрерывное течение электричества вдоль замкнутых проводов.
Напротив, электрическое поле, возбуждаемоемагнитным полем, меняющимся во времени, — не потенциальное, а вихревое. Ротор напряженности электрического поля E и его циркуляция, вообще говоря, отличны от нуля. Благодаряэтому вихревое электрическое поле без каких бы то ни было добавочных сил может вызватьнепрерывное течение электрического заряда по замкнутым проводам. Это течение и наблюдается в виде индукционных токов [2].Явление электромагнитной индукции наблюдается во всех случаях, когда изменяется магнитный поток, пронизывающий натянутую на контур поверхность. В частности, этот поток может создаваться током, протекающим по рассматриваемому контуру.
Поэтому при любом изменении силы тока в каком-либо контуре в нем возникает ЭДС индукции, которая вызываетдополнительный ток в контуре. Это явление называется самоиндукцией, а возникающая ЭДСE si — электродвижущей силой самоиндукции.Выясним, от чего зависит ЭДС самоиндукции. Пусть жесткий контур находится в вакуумеили в среде, магнитные свойства которой не зависят от магнитного поля. Магнитная индукция(по закону Био — Савара — Лапласа, который сохраняет силу в квазистационарных процессах,когда частота колебаний электромагнитного поля достаточно мала), а значит, и полный магнит-ный поток Ф поля B через поверхность, ограниченную контуром С, будут пропорциональнысиле тока I:Φ = LI .(3.6)Коэффициент пропорциональности в соотношении (3.6) между током I контура и магнитным потоком Ф, создаваемым собственным магнитным полем, называется индуктивностью Lконтура.
Индуктивность L какого-либо контура зависит от его формы и размеров, а также отсвойств окружающей среды.Применяя к явлению самоиндукции основной закон электромагнитной индукции, получаемдля ЭДС самоиндукции выражениеE si = −dΦd= − ( LI ).dtdt(3.7)Если контур жесткий и находится в вакууме или в среде, магнитные свойства которой не зависят от магнитного поля, то при изменении силы тока I в контуре индуктивность L остаетсяпостоянной, и тогда выражение для ЭДС самоиндукции принимает видE si = − LdI.dt(3.8)В противном случае, когда последнее условие не имеет места (например, пространство, вкотором расположен контур, содержит ферромагнетики), индуктивность контура зависит от силы тока, генерирующего магнитное поле, и при меняющемся токе изменяется со временем. Вэтом случае ЭДС самоиндукции равнаdL dIE si = − L+ I.dt dt(3.9)Знак минус в уравнении (3.9) показывает, что ЭДС E si всегда направлена так, чтобы препятствовать изменению силы тока — в соответствии с правилом Ленца.
Эта ЭДС стремится сохранитьток неизменным: когда ток уменьшается, она его поддерживает, а когда увеличивается — она емупротиводействует.3.2. Методические рекомендации к решению задачпо теме «Электромагнитная индукция»Решения предлагаемых задач сводятся к расчету разветвленных цепей, содержащих элементы сопротивления, емкости и индуктивности. Если в задаче содержится всего один контур, то принципиально это не влияет на методику ее решения. Сам расчет цепей состоит изнахождения токов в отдельных ее ветвях, зарядов конденсаторов и их полярности, скоростидвижения подвижной перемычки, входящей в состав рассматриваемой цепи. Для этого необходимо, в частности, воспользоваться двумя законами Кирхгофа и вторым законом динамикиНьютона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
