Методические указания к выполнению домашнего задания по курсу общей физики (851469), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Под действием электрического поля, созданного сторонними зарядамиq и –q, находящимися на обкладках конденсатора, диэлектрик поляризуется, и в результате поляризации на его внутренней и внешней поверхностях появляются связанные заряды. Вопрос овозникновении объемных связанных зарядов рассмотрим ниже.Для определения поверхностной плотности связанных зарядов на внутренней и внешней поверхностях сферического слоя диэлектрика, расположенного между обкладками конденсатора,воспользуемся соотношением (1.13). В рассматриваемой задаче на внутренней поверхности диэлектрика (обозначим ее индексом 1) векторы P1 ( R + ) и n1 в любой точке поверхности направлены противоположно (см. рис.
1.2), и знак поляризационного заряда отрицательный, что естественно согласуется с механизмом поляризации диэлектрика. В этом примере для заданнойзависимости ε(r ) имеем ( P1 ( R + ) )n = 0, откуда следует, что поверхностная плотность связанных1зарядов равна нулю: σ1′ = 0 . На внешней поверхности 2 диэлектрика векторы P1 ( R0− ) и n2 в любой точке поверхности сонаправлены, поэтому знак проекции ( P1 ( R0− ) )n положительный и по2верхностная плотность связанных зарядов отлична от нуля:σ′2 = ( P1 ( R0− ) ) =n220q.729πR 2(1.22)7Для нахождения объемной плотности ρ′ связанных зарядов внутри сферического слоя диэлектрика между пластинами конденсатора воспользуемся теоремой Гаусса (1.4) для поля вектора P в дифференциальной форме:div P = −ρ′,т.
е. дивергенция поля вектора P равна взятой с обратным знаком объемной плотности ρ′ избыточного связанного заряда в той же точке.В рассматриваемой задаче между обкладками конденсатора находится изотропный, но неоднородный диэлектрик, диэлектрическая проницаемость которого изменяется только в радиальном направлении по закону (1.18):ε( r ) =81R 4,82 R 4 − r 4где r — расстояние от центра сфер. Заметим, что вектор поляризованности среды P имеетединственную отличную от нуля компоненту Pr , которая зависит только от радиальной координаты r. В этих условиях естественно ожидать, что и объемная плотность связанного зарядавнутри слоя диэлектрика также будет функцией только радиальной координаты r.Для расчета объемной плотности связанных зарядов ρ′ с помощью теоремы (1.4) воспользуемся выражением (П.2) из приложения для оператора div применительно к сферическим координатам:div P =1 ∂ 21 ∂1 ∂Pϕ(r Pr ) +( Pθ sin θ) +.2r ∂rr sin θ ∂θr sin θ ∂ϕ(1.23)Из соображений симметрии ясно, что поляризованность диэлектрика в данном случае имееттолько одну радиальную компоненту и зависит только от радиальной координаты и не зависитот угловых координат, и это подтверждено результатами расчетов (1.21), поэтому в правой части выражения (1.23) остается только первое слагаемое:div P =1 ∂ 2(r Pr ) .r 2 ∂r(1.24)При вычислении производной в правой части соотношения (1.24) учтем, что Pr (r ) = P(r ), азависимость P(r ) определена соотношением (1.21).
Тогда для дивергенции вектора поляризованности среды имеемdiv P =qr,81π R 4откуда в соответствии с (1.4) для объемной плотности связанных зарядов ρ′ получаемρ′(r ) = −qr.81π R 4(1.25)8Выполним проверку полученных результатов. Для этого найдем суммарный связанный заряд диэлектрика по зависимости (1.14), используя при расчетах найденные соотношения (1.22)и (1.25) для поверхностной σ′(r ) и объемной ρ′(r ) плотностей связанного заряда:R0qr q′ = ∫ −4π r 2 dr + ∫4 81πRR s 20q ds.2 729πR (1.26)В (1.26) первое слагаемое в правой части учитывает суммарный связанный заряд, распределенный по объему диэлектрика, а второе — суммарный связанный заряд, распределенный с постоянной поверхностной плотностью σ′2 по внешней сферической поверхности диэлектрика срадиусом R0 = 3R .
Здесь также учтено, что на внутренней поверхности диэлектрика в даннойзадаче связанный заряд отсутствует.Проведем расчет по формуле (1.26):q (3R )4 R 4 20qq′ = −4π −4π(3R) 2 = 0 .+4 24 729πR 81πR 4Отсюда следует, что зависимости E(r), D(r), P(r), σ1′ (r), σ′2 (r), ρ′(r) найдены верно.Найдем емкость С сферического конденсатора с радиусами обкладок R и R0 . Согласно определению емкости конденсатора ( C = q / U ), задача сводится к определению разности потенциалов U при заданном заряде q:R0U = ϕ( R ) − ϕ( R0 ) = ∫ Er (r )dr.(1.27)RЗдесь предполагается, что внутренняя обкладка имеет заряд q > 0 , а путь интегрирования можетбыть любым, поэтому мы выбираем самый простой и удобный путь — по радиальной координате. Легко заметить, что радиальная проекция вектора напряженности электрического поляEr (r ) = E (r ) является единственной проекцией вектора напряженности электростатического по-ля, а зависимость E (r ) определена соотношением (1.20).
После подстановки зависимости (1.20)для E (r ) в соотношение (1.27) и соответствующего интегрирования находим напряжение между обкладками конденсатора и его емкость:U=23q;162πε0 RC=162πε0 R.23(1.28)Полученное значение емкости С сферического конденсатора определено верно, если оно удовлетворяет соотношению (1.16):CU 2= ∫ wdV ,2Vгде CU 2 / 2 — энергия заряженного конденсатора, а в правой части — эта же величина, запи санная через полевые характеристики: w = ( E , D) / 2 — объемная плотность энергии электроста9тического поля; V — объем, в котором локализовано электростатическое поле в конденсаторе.Итак, проверим, удовлетворяет ли полученное значение C соотношению (1.16). Используя зависимости (1.19) и (1.20) для D (r ) и E (r ) и выполняя соответствующее интегрирование в правойчасти (1.16), получаем:∫ wdV =V3R∫R1 q q(82 R 4 − r 4 )23q 22.4rdrπ=2 4πr 2 324πε 0 R 4 r 2324πε 0 R.Располагая зависимостями (1.28) для разности потенциалов U и емкости C, вычисляем значение CU 2 / 2 и убеждаемся в равенстве правой и левой частей соотношения (1.16).
Отсюдаследует, что зависимость для емкости С сферического конденсатора найдена правильно.2. МАГНИТОСТАТИКА2.1. Основные теоретические сведенияТеорема о циркуляции вектора магнитной индукции B в магнетике: циркуляция вектора B по любому замкнутому контуру L равна произведению алгебраической суммы всех токов(как токов проводимости I, так и токов намагничивания I′), пронизывающих произвольную поверхность, натянутую на контур L, на магнитную постоянную µ0:∫ ( B, d l ) = µ ( I + I ′).(2.1)0LТок считается положительным, если его направление связано с направлением d l обхода поконтуру правилом правого винта; противоположно направленный ток считается отрицательным.Теорема о циркуляции вектора намагниченности J : циркуляция вектора J по любомузамкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов намагничивания I′, пронизывающихпроизвольную поверхность, натянутую на контур L, т.
е. (J∫ , d l ) = I ′.(2.2)LДифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора намагниченности J :rot J = j′,(2.3)т. е. ротор вектора намагниченности J равен объемной плотности тока намагничивания j ′ втой же точке пространства. Общее выражение для оператора rot в ортогональных криволинейных системах координат приведено в приложении (формула (П.3)).Исключив в (2.1) ток I′ с помощью (2.2), сформируем вектор напряженности магнитного поля:10 BH=− J,µ0циркуляция которого по любому замкнутому контуру L зависит только от алгебраической суммы токов проводимости I, пронизывающих произвольную поверхность, натянутую на контур L:∫ ( H , d l ) = I .(2.4)LЗаметим, что воспользоваться соотношениями (2.1) и (2.4) на практике можно только в томслучае, если рассматриваемая физическая ситуация обладает достаточно высокой степенью симметрии.Если магнетик линейный и изотропный (не обязательно однородный), то имеют место зависимости для вектора намагниченности средыJ = χH ,где χ — магнитная восприимчивость вещества (не зависящая от вектора напряженности магнитного поля H ), и вектора магнитной индукции:B = µ 0 (1 + χ) H = µ 0 µH ,(2.5)где µ = χ + 1 — безразмерная величина, называемая магнитной проницаемостью магнетика.Последнее соотношение имеет место только для таких магнетиков, у которых однороднаязависимость между вектором намагниченности J и вектором H имеет линейный характер.Магнитная восприимчивость χ — безразмерная величина, характерная для каждого данногомагнетика.
В отличие от диэлектрической восприимчивости κ, которая всегда положительна,магнитная восприимчивость бывает как положительной, так и отрицательной. Соответственно,магнетики, подчиняющиеся зависимости J = χ H , подразделяют на парамагнетики (χ > 0) идиамагнетики (χ < 0) .У парамагнетиков вектор намагниченности сонаправлен вектору напряженности магнитногополя ( J ↑↑ H ), у диамагнетиков эти векторы направлены в противоположные стороны( J ↑↓ H ).
Кроме пара- и диамагнетиков существуют ферромагнетики, у которых зависимость J ( H ) имеет весьма сложный характер: она нелинейная и, помимо этого, может описывать явле-ние гистерезиса [1].2.2. Методические рекомендации к решению задачпо теме «Магнитостатика»В условиях предлагаемых задач задан ток проводимости I или распределение объемнойплотности j тока проводимости по поперечному сечению устройства, магнитное поле в котором подлежит исследованию. Выбирая в соответствии с видом симметрии конкретной задачиконтур, по которому вычисляется циркуляция, из соотношения (2.4) находим распределение11вектора напряженности магнитного поля H , а по соотношению (2.5) определяем распределениевектора магнитной индукции B по пространственным координатам.
Вектор намагниченностиJ имеет видJ = (µ − 1) H .(2.6)В силу зависимостей (2.5) и (2.6) векторы магнитной индукции B и намагничености средыJ сонаправлены вектору напряженности магнитного поля H . Таким образом, полевые характе-ристики магнитного поля определены.Плотность тока намагничивания j′, распределенного по объему магнетика, находим издифференциальной формы теоремы (2.3) о циркуляции вектора намагниченности J . Плотностьповерхностных токов намагничивания, текущих по поверхности раздела магнетиков, находим спомощью теоремы (2.2) о циркуляции вектора намагниченности J . Особенности примененияэтой теоремы к решению подобных задач будут подробно рассмотрены ниже на конкретномпримере, так как выбор контура интегрирования L зависит от типа симметрии и от условий задачи.2.3. Пример выполнения домашнего заданияпо теме «Магнитостатика»Задача.
Проводник с током, равномерно распределенным по его поперечному сечению сплотностью j , имеет форму трубки круглого поперечного сечения, внешний и внутренний радиусы которого равны R0 и R соответственно (рис. 2.1). Магнитная проницаемость магнетиказадана зависимостью µ = f (r ) , где r — расстояние от оси трубки.Найти зависимости индукции B и напряженности H магнитного поля, а также намагниченности J среды в зависимости от радиальной координаты r ∈ ( R ; R0 ) .Рис. 2.112′ на внутренней и внешнейОпределить плотность поверхностных токов намагничивания iпов′ (r ) .поверхностях трубки и распределение объемной плотности токов намагничивания jобРешение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
