Методические указания к выполнению домашнего задания по курсу общей физики (851469), страница 5
Текст из файла (страница 5)
При составлении уравнения движения перемычки с током в магнитном поле необходимо учесть действующую на нее помимо других сил силу Ампера.Согласно первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле цепи,равна нулю:∑Ik= 0.(3.10)kФизический смысл первого закона Кирхгофа заключается в следующем: узел электрическойцепи по определению не обладает электрической емкостью, т. е.
способностью накапливатьэлектрический заряд, поэтому весь поступающий в узел электрический заряд должен его покинуть.При составлении уравнений согласно первому закону Кирхгофа сначала произвольно выбирают направления токов во всех узлах цепи, при этом следует считать, что токи, идущие к узлу, итоки, исходящие из узла, имеют разные знаки, например: первые — положительны, вторые —отрицательны или наоборот. Затем, непосредственно следуя соотношению (3.10), записываютсамо уравнение.Второй закон Кирхгофа справедлив для любого выделяемого в цепи замкнутого контура: алгебраическая сумма произведений сил токов на отдельных участках произвольного замкнутогоконтура и их сопротивлений соответственно плюс алгебраическая сумма падений напряженийна конденсаторах, находящихся на отдельных участках цепи рассматриваемого замкнутого контура, равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре:∑E = ∑IiijjRj + ∑mqm.Cm(3.11)Здесь под Ei понимаются все возможные ЭДС, обусловленные различными источниками сторонних сил (химическими реакциями, силами Лоренца, вихревым электрическим полем и т.
д.).Следует заметить, что при практическом использовании соотношения (3.10) нужно сначала выбрать положительное направление обхода по контуру, что определяет знаки слагаемых в обеихчастях этого уравнения. Кроме того, если возникает необходимость использовать величинуd Φ / dt , то в этом случае надо согласовывать направление обхода по контуру с выбранным ранее направлением нормали n к плоскости, ограниченной контуром. Когда направление обходаконтура и направление нормали n связаны правилом правого винта, то Ei в левую часть соотношения (3.11) входит со знаком плюс и в свою очередь определяется законом E si = −d Φ / dt.Отдельно подробнее рассмотрим влияние на электрическую цепь ЭДС самоиндукции катушки индуктивности E si = − L dI / dt , где L — индуктивность катушки как элемента цепи.
Еслиэлектрическая цепь в задаче домашнего задания содержит катушку индуктивности L, то длясхемы, как правило, неизвестно направление намотки витков катушки относительно выбран-ного ранее положительного направления обхода контура (правое или левое), тем более чтодля одной и той же катушки, рассматриваемой как элемент одного или другого контура, этонаправление может быть различным. Последнее представляет определенные трудности прииспользовании закона E si = − L dI / dt в левой части соотношения (3.11).Рассмотрим правило использования данного закона в двух возможных случаях сочетаниявыбранного ранее направления тока на участке цепи с индуктивностью L и положительногонаправления обхода по рассматриваемому контуру.
Первый случай (рис. 3.1): направление токаI и положительное направление обхода по контуру совпадают. Тогда ЭДС самоиндукции E siвходит в левую часть соотношения (3.11) со знаком плюс: (+ E si ), а последняя определяется законом E si = − L dI / dt , следовательно, +E si = − L dI / dt.Рис. 3.1Второй случай (рис. 3.2): направление тока I и положительное направление обхода по контуру противоположны. Здесь ЭДС самоиндукции E si входит в левую часть соотношения (3.11)со знаком минус ( −E si ), следовательно, −E si = − ( − L dI / dt ) .Рис. 3.2Формально в идее этого правила можно увидеть некоторую аналогию с правилом знаков дляпервого слагаемого∑IjR j в соотношении (3.11): если направление тока на участке цепи с R j иjположительное направление обхода совпадают, то произведение I j R j считается положительным,а если нет, то отрицательным.
Итак, сумма ЭДС по замкнутому контуру включает в себя и ЭДСсамоиндукции, определенную законом E si = − L dI / dt , а учет последнего в левой части соотношения (3.11) должен быть выполнен в соответствии с описанным выше правилом. После окончательного решения задачи выясняется истинное направление тока на рассматриваемом участке иистинное направление ЭДС самоиндукции.Уравнения (3.10), (3.11) составляют при выполнении следующих условий, являющихсяследствием законов Кирхгофа и позволяющих получить систему линейно независимых уравнений для определения токов на всех участках цепи:– если в разветвленной цепи имеется N узлов, то независимые уравнения типа (3.10) можносоставить лишь для N – 1 узлов;– если в разветвленной цепи можно выделить несколько замкнутых контуров, то независимые уравнения типа (3.11) можно составить только для тех контуров, в которых присутствуетхотя бы один новый элемент (сопротивление, емкость, ЭДС любого типа), не встречающийся вуже рассмотренных контурах;– если предположительное направление тока в цепи совпадает с выбранным направлением обхода, то соответствующее слагаемое I j R j в уравнении (3.11) нужно брать со знакомплюс, если эти направления противоположные, то со знаком минус;– в свою очередь, слагаемое вида qm / Cm в (3.11) формируется следующим образом.
Пустьвыбрано направление обхода. Тогда, если конфигурация, состоящая из заряда пластин конденсатора qm и направления обхода, совпадает с конфигурацией, указанной на рис. 3.3, то соответствующее слагаемое имеет вид qm / Cm , а если с конфигурацией, указанной на рис. 3.4, то( − qm / Cm ).В нестационарных процессах на обкладках конденсаторов, входящих в тот или иной контурэлектрической цепи, с течением времени изменяются значения электрических зарядов. Ток,протекающий по участку контура, в котором находится конденсатор, либо заряжает, либо разряжает его (рис. 3.5 и 3.6).Рис. 3.3Рис. 3.4Рис. 3.5Рис. 3.6В первом случае уравнение «сохранения» электрического заряда имеет видdq m = Idt ,поскольку такой ток увеличивает положительный заряд на соответствующей обкладке конденсатора, а во втором случаеdqm = − Idt ,поскольку при этом положительный заряд «уходит» с соответствующей обкладки конденсатора.Динамическое уравнение, описывающее движение подвижной перемычки, и представленные выше уравнения, основанные на законах Кирхгофа, образуют замкнутую систему с заданными начальными условиями.
При составлении динамического уравнения практически во всехзадачах необходимо знать силу Ампера, действующую на подвижную часть контура (например,в декартовой системе координат):i Fa = I [ l × B ] = I l xBxjlyByklz .Bz(3.12)Здесь I — ток, протекающий по перемычке; l — вектор, длина которого совпадает с длинойподвижной перемычки, а направление — с выбранным направлением протекания тока. Следуетотметить, что зависимость (3.12) справедлива, если выполнены следующие условия:I = const, Bx , By , Bz постоянны и угол между векторами l и B одинаков вдоль всего подвижногоучастка цепи.3.2.
Примеры выполнения домашнего заданияпо теме «Электромагнитная индукция»Задача 3.1. По двум гладким медным шинам, установленным вертикально, в однородноммагнитном поле B , которое не изменяется с течением времени, под действием силы тяжестивдоль оси Oy скользит без трения прямолинейная металлическая перемычка массой m. Во времядвижения перемычка остается параллельной самой себе и перпендикулярной направляющимшинам.
В цепи содержится источник тока с ЭДС E и ключ К, который при его включении замыкает электрическую цепь. Вектор индукции B магнитного поля перпендикулярен плоскостирисунка. Параметры электрической цепи приведены на рис. 3.7. Расстояние между шинамиравно постоянной величине l. Сопротивление шин, перемычки и скользящих контактов, а такжесамоиндукция контура пренебрежимо малы. Внутренним сопротивлением источника тока и сопротивлением катушки пренебречь.Найти закон изменения скорости движения перемычки при условии, что скорость движенияперемычки и ток через перемычку в начальный момент времени равны нулю. Перемычка приходит в движение с одновременным замыканием ключа К.Решение. Для определения потока Ф вектора магнитной индукции B через плоскую поверхность, ограниченную рассматриваемой цепью, выберем из соображений удобства расчетовнаправление вектора нормали n к плоскости рисунка так, чтобы оно совпадало с направлениемвектора индукции магнитного поля n ↑↑ B (тогда поток вектора B будет положительным).Рис.
3.7Рассмотрим два независимых контура аСба и аLба (рис. 3.8). Потоки вектора B через пло-ские поверхности, ограниченные этими контурами, будут соответственно равны Φ1 = ( B, n )l ( y − y0 ), Φ 2 = ( B, n ) l y.Единственной величиной в этих выражениях, изменяющейся с течением времени, являетсявертикальная координата y = y(t). ЭДС индукции, обусловленные изменениями этих потоков, всоответствии с законом Фарадея равныE i1 = −d Φ1dy= − Bl= − Blυ y ,dtdt(3.13)Ei2 = −dΦ2dy= − Bl= − Blυ y ,dtdt(3.14)где υy — проекция скорости перемычки на ось Oy.Рис. 3.8Направления обхода указанных контуров аСба и аLба согласуем с выбранным направлением вектора нормали n правилом правого винта.
Тогда уравнения Кирхгофа (3.11) принимаютвид:для контура аСбаEi1 – E = + q/C;(3.15)Ei2 – E − L dI L / dt = 0.(3.16)для контура аLбаДля токов в контурах, например, для узла А на рис. 3.8, справедливо следующее уравнениебаланса (3.10):I = IC + I L .(3.17)Таким образом, электродинамические уравнения (3.15) – (3.17) с учетом соотношений (3.13)и (3.14), правила записи которых подробно рассмотрены в методических указаниях и теоретической части настоящего пособия, принимают вид:− B l υ y − E = + q/C;− B l υ y − E − L dI L / dt = 0;I = IC + I L .(3.18)Система уравнений (3.18) замыкается уравнением, связывающим ток IC с зарядом пластиныконденсатора q (см. рис. 3.8):I C = dq / dt(3.19)и динамическим уравнением, описывающим движение перемычки, которое в рассматриваемойзадаче имеет видmdυ ydt= mg + Fa y .(3.20)Здесь Fay — проекция на ось Oy силы Ампера (3.12), действующей на перемычку,Fa y = I l B.(3.21)Уравнения (3.18) – (3.20) сведем в систему:− B l υ y − E = + q/C;(3.22)− B l υ y − E − L dI L / dt = 0;(3.23)I = IC + I L ;(3.24)I C = dq / dt ;(3.25)mdυ ydt= mg + Fa y .(3.26)Исключив заряд q из уравнений (3.22) и (3.25), получим фактически зависимость ускоренияперемычки от мгновенного значения силы тока через конденсатор:−B ldυ ydt=+IC.CДалее, дифференцируя по времени t последнее соотношение, находим выражение для производной по времени от силы тока через конденсатор:d υydI C= −B l C 2 .dtdt(3.27)B lυy + EdI L=−.dtL(3.28)2Из уравнения (3.23) определяем dI L / dt :Дифференцируя по t уравнение (3.24) и учитывая уравнения (3.27) и (3.28), получаем:d 2υ y B l υ y + EdI dI C dI L=+= −B l C−.dtdtdtLdt 2(3.29)Дифференцируя по t уравнение (3.26), с учетом уравнения (3.21) для проекции скорости перемычки υ y получаем дифференциальное уравнение второго порядка:md 2υ ydt2=lBdI.dt(3.30)Объединив уравнения (3.29) и (3.30), получим уравнение для нахождения скорости υ y :d 2υ ydt 2+ElBB2l 2.υy = −2 2L (m + B l C )L (m + B 2 l 2 C )(3.31)Заметим, что уравнение (3.31) представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, описывающее некоторый колебательныйпроцесс.Решение уравнения (3.31) имеет видυ y (t ) = C1 cos( ω 0 t ) + C 2 sin( ω 0 t ) +где ω 02 =−E,lB(3.32)B2 l 2— квадрат частоты колебательного процесса перемычки.L (m + B 2 l 2 C )Для определения констант интегрирования C1 и C2 необходимо выписать общее решениесистемы уравнений (3.22) – (3.26), поскольку скорость движения перемычки функциональносвязана с остальными искомыми переменными физическими параметрами системы.
Соотношение (3.32) является частью общего решения системы уравнений (3.22) – (3.26). Для зависимости(3.32) очевидным условием является υy (0) = 0, поскольку движение перемычки начинается изсостояния покоя. Это условие определяет значение константы интегрирования С1:C1 =E,Blпосле чего зависимость скорости перемычки от времени приобретает видυ y (t ) =E( − 1 + cos ω0 t ) + C 2 sin ω0 t .BlИз уравнения (3.22) находим зависимость заряда конденсатора от времени:q = −EC cos ω0 t − BlCC 2 sin ω0 t .В начальный момент времени заряд конденсатора должен быть равен величине ( −EС ). Этотрезультат не должен вызывать удивления: «включение» ЭДС в отсутствие активного сопротивления в цепи конденсатора приводит к «мгновенному» установлению значения заряда последнего. Дифференцированием установленной зависимости по уравнению (3.25) находим выражение для тока IС через конденсатор:I C = ω 0 ( E C sin ω 0 t − BlCC 2 cos ω 0 t ).В начальный момент времени значение тока через конденсатор составляетI C ( 0 ) = − ω 0 B lC C 2 .Обратим внимание на то, что постоянная интегрирования С2 оказывает влияние не только наскорость перемычки, но и на заряд конденсатора и на ток через конденсатор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
