Максимально симметричные разбиения поверхности. Неориентируемый случай (848679), страница 6
Текст из файла (страница 6)
замечание 3.12) ψ ρ (h) = k(kl)n (k 2 )n = k(kl)n ∈ {k, l}.Пусть атом Y не допускает альтернирующей ориентации, значит по условию 4 kl = idH , т.е.k = l.Если Y ориентируем, то отображение можно задать формулами ψ ρ (x) = ψ ρ (y) = ψ ρ (z) = k.Так как четность разложения g однозначно определена сохранением или заменой ориентации,отображение ψ ρ задано корректно.Для неориентируемого атома Y в силу следствия 3.11 это неверно.
Однако из утверждения3.10 следует, что существует нечетное разложение тождественного отображения, следовательно,000idH = ψ ρ (idY ) = k n ln = k n−n (kl)n := k, k = l = idH , так как n + n0 , а значит и n − n0 нечетно,и отображение ψ ρ (w) = idh , w ∈ {x, y, z} задано корректно. Здесь n (соответственно n0 ) — суммастепеней показателей при образующих x и z (соответственно y) в разложении idY .Пусть kl 6= idH , а потому атом допускает альтернирующую ориентацию белых клеток по условию 4.Пусть Y ориентируем, тогда он двудолен по замечанию 2.4.
Рассмотрим граф смежности белыхклеток атома — он очевидно будет двудольным. Любая симметрия g ∈ Aut(Y ) переводит каждуюдолю либо в себя, либо в другую долю. Определим отображение φ : Aut(Y ) → Z2 × Z2 формулойφ(g) := (ζ, η), причем ζ + η = 1, если ориентация меняется, и 0, если сохраняется; ζ = 0, еслисимметрия сохраняет доли, и 1, если меняет.
Очевидно, φ — гомоморфизм, причем φ(x) = φ(z) =(0, 1), φ(y) = (1, 0). Определим отображение I : Z2 × Z2 → Aut(H) формуламиI(1, 0) := k, I(0, 1) := l, I(0, 0) := idH , I(1, 1) := kl,оно является гомоморфизмом в силу условия k 2 = l2 = (kl)2 = idH .Пусть Y неориентируем. В силу замечания 3.6 любая симметрия сохраняет или обращает альтернирующую ориентацию. Определим отображение φ : Aut(Y ) → Z2 формулами φ(g) = 0 в первом15случае и φ(g) = 1 во втором случае. Очевидно, что φ — гомоморфизм, причем φ(x) = φ(z) = 1,φ(y) = 0.Определим отображение I : Z2 → Aut(H) формулой I(0) = l = idH , I(1) = k, оно являетсягомоморфизмом в силу условия k 2 = idH .Для любого атома Y положим ψ ρ := I ◦ φ.
Тогдаψ ρ (x) = ψ ρ (z) = I(φ(x)) = k,ψ ρ (y) = I(φ(y)) = l,ψ ρ (Aut(Y )) = {idH , k, l, kl}.Шаг 2. Для любой белой клетки hi (e) (соотв. черной клетки h0j (e0 )) атома Y фиксируем разложение симметрии hi ∈ P ar(Y ) (соотв. h0j ∈ P ar(Y )) по образующим xy, xz.
Пусть ni (соотв.n0j ) — сумма показателей степеней образующей xy, n̂i (соотв. n̂0j ) - сумма показателей степенейобразующей xz в данном разложении, 1 ≤ i ≤ S, 1 ≤ j ≤ S 0 . Заметим, что ψ ρ (xz) = k 2 = idH ,0следовательно ψ ρ (hi ) = (kl)ni (соотв. ψ ρ (h0j ) = (kl)nj ).Пусть (k, l, m, q, r, c1 , . . . , c2g ) удовлетворяет условиям 2, 4–6 из теоремы 5.10. Тогда выполненыи остальные свойства из этой теоремы. Покажем, что (k, l, q, r, c1 , .
. . , c2g ) удовлетворяет условиям1–5 настоящего утверждения.1) Имеем k 2 = l2 = m2 = idH , kl = lk из свойства 6 теоремы. Так как km = idH , то k = m−1 = m.Из свойства 1 теоремы l(r) = m(r) = r−1 , следовательно k(r) = l(r) = r−1 .5) Из свойства 5 теоремы получаем условие 5 настоящего утверждения.3) По свойству 6 теоремы имеется гомоморфизм ψ ρ : Aut(Y ) → Aut(H) со свойствами ψ ρ (x) = k,ψ ρ (y) = l и ψ ρ (xz) = idH . Пусть ρ̄ : H1 (Y0 ; Z) → H — гомоморфизм, определенный на образующих[h1 ◦ α], . . .
, [hS ◦ α], [h01 ◦ β], . . . , [h0S 0 ◦ β], [γ1 ], . . . , [γ2g ] группы H1 (Y0 ; Z) формулами из свойства 3теоремы. По предположению настоящего утверждения группа H порождена элементами ψ ρ (hi )(q),ψ ρ (h0j )(r), 1 ≤ i ≤ S, 1 ≤ j ≤ S 0 . Из hi , h0j ∈ P ar(Y ) следует, что ψ ρ (hi ) = ψ ρ (h0j )) являютсястепенями элемента ψ ρ (xy) = kl. Вместе с доказанным выше условием 1 это показывает, чтоэлементы q, r, kl(q) ∈ H порождают группу H.4) Предположим, что k(q) = l(q), т.е.
kl(q) = q. Тогда группа H порождена элементами q, r всилу доказанного выше условия 3. Рассмотрим действие kl на образующих: kl(r) = r по свойству 1,kl(q) = q по предположению, следовательно kl = idH . Если атом Y неориентируем, то k = l = idH(см. шаг 1).Предположим теперь, что k(q) 6= l(q), а значит kl 6= idH .Пусть Y ориентируем. Так как вершины клетки e имеют вид At = (xz)t (A), t ∈ Z, то вершиныклетки hi (e) имеют вид A0t = hi ((xz)t (A)), t ∈ Z.
Так как A — общая вершина белых клеток e, xy(e),то A0t = hi ((xz)t (A)) — общая вершина белых клеток hi ((xz)t (e)) = hi (e) и hi ((xz)t (xy(e)) =: hi0 (e)t(для некоторого i0 ∈ [1; S]). Отметим, что h−1i0 ◦ hi ◦ (xz) ◦ xy(e) = e с сохранением ориентации−1tpe, а потому hi0 ◦ hi ◦ (xz) ◦ xy = (xz) , где p ∈ Z, откуда hi0 = hi ◦ (xz)t ◦ xy ◦ (xz)−p .
Поэтомуψ ρ (hi0 ) = (ψ ρ (hi )) ◦ kl = kl ◦ (ψ ρ (hi )) (в силу абелевости подгруппы {idH , k, l, kl} ⊇ ψ ρ (Aut(Y ))).Отсюда и из условия (kl)2 = idH следует, что элементы ψ ρ (hi )(q) = (kl)ni (q) и ψ ρ (hi0 )(q) =kl(ψ ρ (hi )(q)) = kl((kl)ni (q)) оба принадлежат множеству {q, kl(q)} и различны в силу l(q) 6= k(q).Поэтому сопоставление любой белой клетке hi (e) элемента ψ ρ (hi )(q) = (kl)ni (q) ∈ {q, kl(q)} ⊂ Hопределяет двудольное разбиение белых клеток атома Y .
При этом ψ ρ = I ◦ φ, где φ, I — гомоморфизмы из шага 1.Пусть Y неориентируем. Так как P ar(Y ) = Aut(Y ), ψ ρ (Aut(Y )) = {idH , kl} ' Z2 . Так какAut(Y ) действует свободно и транзитивно на множестве полуребер Y , то орбита полуребра придействии ker ψ ρ определяет ориентацию всех ребер. Эта ориентация сохраняется при вращениях16белых клеток и меняется при полуоборотах, а потому определяет альтернирующую ориентациюбелых клеток. Так как отражение x ∈ Aut(Y ), x ∈/ ker ψ ρ , откуда ψ ρ (x) = kl, т.е. l = idH .2) В силу свойства 2 теоремы и доказанного выше условия 1 имеем:! S0! S0ÃSÃS2g2gYYYYYY000νtµi0ni µinj µj µj ψ ρ (hi )(q )ψ ρ (hj )(r )(kl) (q )(kl) (r )cνt t =ct =i=1t=1j=1Ã=SYi=1!(kl)ni (q µi ) i=10SYj=10(rµj )j=1t=10SYr = 1 ∈ H.j=1Пусть Y ориентируем, тогда по замечанию 5.9 µ1 = · · · = µS = µ01 = · · · = µ0S 0 = ±1 и ν1 = · · · =ν2g = 0.0Если kl = idH , то последнее равенство дает q S rS = 1 ∈ H.
Если при этом S четно, то поS/2S/2 S 0следнее равенство равносильно равенству q (kl(q)) r = 1 ∈ H. Пусть kl 6= idH . Тогда, подоказательству условия 4 выше, сопоставление любой белой клетке hi (e) элемента ψ ρ (hi )(q) =(kl)ni (q) ∈ {q, kl(q)} дает двудольное разбиение белых клеток атома Y , 1 ≤ i ≤ S. Значит, подоказанному на шаге 1, симметрия xy осуществляет биекцию между множеством белых клеток hi (e) со свойством ψ ρ (hi )(q) = (kl)ni (q) = q и множеством белых клеток hi0 (e) со свойством ψρ (hi0 )(q) = k ni0 ln̂i0 (q) = kl(q), 1 ≤ i ≤ S, откуда S четно и указанные множества состоят из одинакового количества S2 белых клеток.
Поэтому приведенное выше равенство дает0q S/2 (kl(q))S/2 rS = 1 ∈ H.Пусть Y неориентируем. Если kl = idH , тоPSq(i=12gP 00 Yµi ) ( Sr j=1 µj )cνt tt=1= 1 ∈ H.Пусть kl 6= idH . Тогда имеется альтернирующая ориентация белых клеток (см. доказательствоусловия 4 выше). Можно считать, что все hi ∈ P ar(Y ) сохраняют альтернирующую ориентациюбелых клеток, т.е. принадлежат ker ψ ρ . Поэтому (kl)ni = idH , и верно то же равенство, как и вслучае kl = idh .Шаг 3. Пусть теперь набор (k, l, q, r, c1 , . . . , c2g ) удовлетворяет условиям 1–5 настоящего утверждения.
Докажем, что набор (k, l, m = k, q, r, c1 , . . . , c2g ) удовлетворяет условиям 2, 4–6 теоремы5.10. Отсюда, в силу пункта (Б) теоремы, будут автоматически следовать остальные свойства изэтой теоремы.6) Условие 6 теоремы вытекает из условий 1 и 4 настоящего утверждения, как показано на шаге1.
Поэтому существует гомоморфизм ψ ρ : Aut(Y ) → Aut(H), такой, что для любой симметрии g ∈P ar(Y ) и любого разложения элемента g по образующим xy, xz группы P ar(Y ) выполнено ψ ρ (g) =(kl)n , где n ∈ Z равно сумме показателей степеней образующей xy в данном разложении; еслиатом ориентируем, то для любой отражающей симметрии g 0 = zg (см. замечание 3.12) выполненоψ ρ (g 0 ) = k(kl)n . При этом из k 2 = l2 = (kl)2 = idH и ψ ρ (x) = ψ ρ (z) = k, ψ ρ (y) = l имеемψ ρ (Aut(Y )) = {idH , k, l, kl} ⊂ Aut(H).5) Пусть ρ̄ : H1 (Y0 ; Z) → H — гомоморфизм, определенный на образующих [h1 ◦ α], . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
