Максимально симметричные разбиения поверхности. Неориентируемый случай (848679), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Мы хотим определить гомоморфизм монодромии уже для симметричных накрытий.Будем рассматривать атом как поверхность с краем. Возьмем атом Y , y0 ∈ Y . В начале раздела4 мы определяли Ω(Y, y0 ) как пространство петель в Y с началом в y0 , и π1 (Y, y0 ) как группуклассов гомотопической эквивалентности этих петель. Для любого g ∈ Aut(Y ) и любого пути γ,соединяющего в Y точку y0 с g(y0 ), рассмотрим изоморфизм g# : π1 (Y, y0 ) → π1 (Y, g(y0 )), которыйиндуцирован отображением g, и изоморфизм γ# : π1 (Y, g(y0 )) → π1 (Y, y0 ), который определяетсяформулой [ω] 7→ [γ · ω · γ −1 ], ω ∈ Ω(Y, g(y0 )). Получаем автоморфизмγ# ◦ g# ∈ Aut(π1 (Y, y0 )).9Рассмотрим класс (γ# ◦ g# ) · Inn(π1 (Y, y0 )) ∈ Out(π1 (Y, y0 )) автоморфизма γ# ◦ g# в группе Out(π1 (Y, y0 )) = Aut(π1 (Y, y0 ))/Inn(π1 (Y, y0 )) внешних автоморфизмов π1 (Y, y0 ), где для любой группы G Inn(G) = {ig ∈ Aut(G) | ig (h) = ghg −1 , g, h ∈ G} — группа ее внутренних автоморфизмов.
Заметим, что для любого другого пути γ 0 , соединяющего y0 с g(y0 ), выполнено0γ#◦ g# = i[γ 0 ·γ −1 ] ◦ γ# ◦ g# — они отличаются действием внутреннего автоморфизма, так что класс(γ# ◦ g# )Inn(π1 (Y, y0 )) не зависит от выбора пути γ. Таким образом, для любого атома Y мыполучаем гомоморфизмψ : Aut(Y ) → Out(π1 (Y, y0 )),g 7→ (γ# ◦ g# ) Inn(π1 (Y, y0 )).Из построения ψ вытекает, что это — гомоморфизм групп. Беря композицию ψ с естественнымгомоморфизмом Out(π1 (Y, y0 )) → Aut(H1 (Y ; Z)), получаем гомоморфизмψ̃ : Aut(Y ) → Aut(H1 (Y ; Z)).Для атома Y как поверхности с краем атомом Ỹ будем называть соответствующий ему атомкак поверхность без края.
Следующее утверждение и следствия из него повторяют соответствующие утверждения для ориентируемых симметрий с заменой стандартных образующих в группеавтоморфизмов; доказательства повторяются дословно и здесь приводиться не будут.Утверждение 5.5. Пусть Ỹ — максимально симметричный атом, X̃ — связное топологическоепространство, f˜ : X̃ → Ỹ — накрытие с ветвлениями в центрах клеток атома, и f = f˜|X : X → Y— соответствующее неразветвленное накрытие, где X = f˜−1 (Y ). Обозначим π = f# (π1 (X, x0 )) ⊂π1 (Y, y0 ), f (x0 ) = y0 . Тогда следующие утверждения равносильны:• отображение f является симметричным накрытием;• для любого элемента g ∈ {x, y, z} ⊂ Aut(Y ), а значит, для любого g ∈ Aut(Y ), и для любогопути γ, соединяющего в Y точку y0 с g(y0 ), выполнено γ# ◦ g# (π) = π;• для любого g ∈ Aut(Y ) и любого автоморфизма η ∈ Aut(π1 (Y, y0 )), такого, что ψ(g) = η ·Inn(π1 (Y, y0 )), выполнено η(π) = π;• f регулярно (т.е.
π нормальна) и для любого элемента g ∈ {x, y, z} ⊂ Aut(Y ), а значит,для любого g ∈ Aut(Y ), существует путь γ, соединяющий в Y точку y0 с g(y0 ), такой чтоγ# ◦ g# (π) = π;• f регулярно (т.е. π нормальна) и для любого элемента g ∈ {x, y, z} ⊂ Aut(Y ), а значит,для любого g ∈ Aut(Y ), существует автоморфизм η ∈ Aut(π1 (Y, y0 )), такой что η(π) = π иψ(g) = η · Inn(π1 (Y, y0 )).Следствие 5.6.
Пусть Y — максимально симметричный атом, ρ : π1 (Y, y0 ) → H — некоторыйэпиморфизм в конечную группу H и f : X → Y — отвечающее подгруппе ker ρCπ1 (Y, y0 ) регулярноенакрытие. Тогда следующие условия равносильны:1. f является симметричным накрытием;2. (свойство эквивариантности ρ) для любого элемента g ∈ {x, y, z} ⊂ Aut(Y ), а значит, длялюбого g ∈ Aut(Y ), и для некоторого (а значит, любого) пути γ, соединяющего в Y точку y0с g(y0 ), корректно определен автоморфизм F (g, γ) ∈ Aut(H), такой что ρ◦γ# ◦g# = F (g, γ)◦ρ,где автоморфизм γ# ◦ g# определяется формулой γ# ◦ g# ([ω]) = [γ · (g ◦ ω) · γ −1 ];3.
для любого элемента g ∈ {x, y, z} ⊂ Aut(Y ), а значит, для любого g ∈ Aut(Y ), и для некоторого (а значит, любого) пути γ, соединяющего в Y точку y0 с g(y0 ), выполнено γ# ◦ g# (ker ρ) =ker ρ.10Определение 5.7. Группа H в этом следствии называется группой монодромии симметричного накрытия f , эпиморфизм ρ : π1 (Y, y0 ) → H — эпиморфизмом монодромии этого накрытия,а элемент ρ([γ]) ∈ H — монодромией при обходе вдоль петли γ ∈ Ω(Y, y0 ).Следствие 5.8.
Пусть Y — максимально симметричный атом, H — конечная абелева группа,ρ̄ : H1 (Y ; Z) → H — некоторый эпиморфизм и f : X → Y — регулярное накрытие, отвечающееподгруппе ker ρ̄ ⊂ H1 (Y ; Z). Тогда f является симметричным накрытием в том и только том случае, когда эпиморфизм ρ̄ эквивариантен (относительно действия ψ : Aut(Y ) → Aut(H1 (Y ; Z)) инекоторого действия группы Aut(Y ) на H), т.е. существует гомоморфизм группψ ρ : Aut(Y ) → Aut(H),такой что ρ̄ ◦ (ψ(g)) = ψ ρ (g) ◦ ρ̄ для любого элемента g ∈ {x, y, z} ⊂ Aut(Y ) (а значит, для любогоg ∈ Aut(Y )). Гомоморфизм ψ ρ назовем сквозным (левым) действием группы Aut(Y ) на группемонодромии H.Пусть Y — максимально симметричный атом (теперь уже как поверхность без края) рода g ≥ 0,имеющий S белых и S 0 черных клеток.
Пусть e ⊂ Y — некоторая белая клетка, e0 — смежная с нейчерная клетка, ξ — инцидентный им флаг, A ∈ ξ — общая вершина этих клеток, x, y, z ∈ Aut(Y )— связанные с ξ образующие группы Aut(Y ). Пусть h1 , ..., hS , h01 , ..., h0S 0 ∈ P ar(Y ) (см. замечание3.12) — такой набор симметрий атома, что hi (e), h0j (e0 ) — набор всех белых и всех черных клетокатома Y (с учетом введенной на них ориентации). Пусть Y0 - пространство, полученное из Yвыкалыванием центров клеток, [α] ∈ H1 (Y0 ; Z) — класс гомологий положительно ориентированнойпетли α вокруг центра клетки e, [β] ∈ H1 (Y0 ; Z) — вокруг центра клетки e0 .
Пусть γ1 , ..., γ2g — наборзамкнутых путей на атоме Y , не проходящих через центры двумерных клеток и задающих наборобразующих группы H1 (Y ; Z).Пусть H — конечная абелева группа. В теореме ниже мы докажем, что симметричные накрытияf : X → Y с группой монодромии H (по определению 5.7) классифицируются наборами(k, l, m, q, r, c1 , . . .
, c2g ),k, l, m ∈ Aut(H),q, r, c1 , . . . , c2g ∈ H,и наборы рассматриваются с точностью до некоторого действия группы Aut(H) (см. формулировкутеоремы 5.10). При этом, во введенных выше обозначениях, q = ρ̄([α]) и r = ρ̄([β]) — монодромиипри обходе вокруг центров клеток e и e0 , ct = ρ̄([γt ]) — монодромия при обходе вдоль кривой γt ,1 ≤ t ≤ 2g, k = ψ ρ (x), l = ψ ρ (y) и m = ψ ρ (z) — сквозные действия симметрий x, y, z ∈ Aut(Y ) нагруппе H.0Замечание 5.9. Можно показать, что гомоморфизм τ : ZS+S +2g → H1 (Y0 ; Z), переводящий стан0дартный набор образующих группы ZS+S +2g в набор элементов[hi ◦ α],[h0j ◦ β],1 ≤ i ≤ S,1 ≤ j ≤ S0,[γt ],1 ≤ t ≤ 2g,(1)0сюрьективен и его ядро ker τ есть нетривиальная циклическая подгруппа в ZS+S +2g .
Рассмотрением образующей этого ядра получаем нетривиальное соотношение между элементами 1 в H1 (Y0 ; Z):SXi=10µi [hi ◦ α] +SXµ0j [h0j◦ β] +2gXνt [γt ] = 0 ∈ H1 (Y0 ; Z),t=1j=1где µi , µ0j , νt ∈ Z - ненулевой набор целых чисел. Если Y ориентируем, то µ1 = · · · = µS = µ01 =· · · = µ0S 0 = ±1 и ν1 = · · · = ν2g = 0 (см. доказательство пункта 2 теоремы 4.15 в [1]), а если YP2gнеориентируем, то элемент t=1 νt [γt ] определяет соотношение в H1 (Y ; Z).Сформулируем это утверждение строго.11Теорема 5.10. В обозначениях, введенных выше, справедливы следующие утверждения.(А) Пусть ρ̄ : H1 (Y0 ; Z) → H — эпиморфизм и f : X → Y — симметричное накрытие сэпиморфизмом монодромии ρ̄ (см. определение 5.7). Пусть ψ ρ : Aut(Y ) → Aut(H) — сквозноедействие группы симметрий Aut(Y ) на группе H.
Тогда автоморфизмы k = ψ ρ (x), l = ψ ρ (y),m = ψ ρ (z) ∈ Aut(H) и элементыq = ρ̄([α]),r = ρ̄([β]),c1 = ρ̄([γ1 ]), . . . , c2g = ρ̄([γ2g ]) ∈ H(2)удовлетворяют следующим условиям:1. k(q) = m(q) = q −1 , l(r) = m(r) = r−1 , k 2 = l2 = (kl)2 = m2 = idH ;´Q´ ³Q 0³Q2gSSνtµ0jµi0)(r)2.ψ(h)(q)ψ(ht=1 ct = 1 ∈ H;j=1 ρ ji=1 ρ i3. ρ̄([hi ◦ α]) = ψ ρ (hi )(q), 1 ≤ i ≤ S,ρ̄([h0j ◦ β]) = ψ ρ (h0j )(r), 1 ≤ j ≤ S 0 ,ρ̄([γt ]) = ct , 1 ≤ t ≤ 2g;4.
S + S 0 + 2g элементов ψ ρ (h1 )(q), . . . , ψ ρ (hS )(q), ψ ρ (h01 )(r), . . . , ψ ρ (h0S 0 )(r), c1 . . . , c2g ∈ H порождают группу H;5. k(ρ̄([hi ◦ α])) = ρ̄([x ◦ hi ◦ α]), k(ρ̄([h0j ◦ β])) = ρ̄([x ◦ h0j ◦ β]), k(ct ) = ρ̄([x ◦ γt ]);l(ρ̄([hi ◦ α])) = ρ̄([y ◦ hi ◦ α]), l(ρ̄([h0j ◦ β])) = ρ̄([y ◦ h0j ◦ β]), l(ct ) = ρ̄([y ◦ γt ]);m(ρ̄([hi ◦ α])) = ρ̄([z ◦ hi ◦ α]), m(ρ̄([h0j ◦ β])) = ρ̄([z ◦ h0j ◦ β]), m(ct ) = ρ̄([z ◦ γt ]),1 ≤ i ≤ S, 1 ≤ j ≤ S 0 , 1 ≤ t ≤ 2g.При этом набор(k, l, m, q, r, c1 , . . . , c2g ),k, l, m ∈ Aut(H),q, r, c1 , .
. . , c2g ∈ H,(3)определен симметричным накрытием f (независимо от выбора эпиморфизма монодромии ρ̄) сточностью до преобразований(k, l, m, q, r, c1 , . . . , c2g ) 7→ (uku−1 , ulu−1 , umu−1 , u(q), u(r), u(c1 ), . . . , u(c2g )),(4)где u ∈ Aut(H). Если два симметричных накрытия с группой монодромии H изоморфны, тоотвечающие им наборы получаются друг из друга такими преобразованиями.(Б) Пусть элементы q, r, c1 , . .
. , c2g ∈ H и автоморфизмы k, l, m ∈ Aut(H) удовлетворяютследующему условию:6. существует гомоморфизм ψ ρ : Aut(Y ) → Aut(H), определенный на образующих x, y, z ∈Aut(Y ) формулами ψ ρ (x) = k, ψ ρ (y) = l, ψ ρ (z) = m (в частности, ψ ρ (φ2 ) = idH , φ = x, y, z).Пусть выполнены также условия 4,5 выше, где в условии 5 через ρ̄ : H1 (Y0 ; Z) → H обозначен гомоморфизм групп, определенный на образующих [h1 ◦ α], .
. . , [hS ◦ α], [h01 ◦ β], . . . , [h0S 0 ◦ β],[γ1 ], . . . , [γ2g ] группы H1 (Y0 ; Z) формулами из свойства 3 выше. Такой гомоморфизм существуетв силу свойства 2 и замечания 5.9. Тогда выполнено (2) и существует симметричное накрытиеf : X → Y , для которого гомоморфизмы ρ̄, ψ ρ являются эпиморфизмом монодромии и сквознымдействием на группе монодромии, соответственно.Любые два таких накрытия изоморфны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
