Максимально симметричные разбиения поверхности. Неориентируемый случай (848679), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Для любого u ∈ Aut(H) набор(uku−1 , ulu−1 , umu−1 , u(q), u(r), u(c1 ), . . . , u(c2g ))также удовлетворяет условиям 4–6, а отвечающее этому набору симметричное накрытие изоморфно накрытию f .12Доказательство теоремы приводится полностью. Доказательства свойств 2, 3, 4 дословно повторяют аналогичные доказательства для ориентируемых симметрий в [1] и приведены без изменений.Разумеется, во всех пунктах используется расширенный набор элементов — k, l, m, состоящий изобразов стандартных образующих x, y, z неориентируемой группы симметрий вместо образов ориентируемых образующих a, b (a = (xz)±1 , b = (xy)±1 ).¤ Пусть f1 : X1 → Y — симметричное накрытие, изоморфное f (возможно, совпадающее с f ).Пусть ρ1 : π1 (Y0 , y0 ) → H1 — его эпиморфизм монодромии.
Согласно определению 4.1 и замечанию4.2, существует изоморфизм σ : H → H1 , такой что σρ = ρ1 . В частности, группа монодромииH1 абелева и изоморфна H, а потому эпиморфизм монодромии сводится к эпиморфизму ρ̄1 :H1 (Y ; Z) → H1 , и выполнено σ ρ̄ = ρ̄1 . Значит, ψ ρ1 (g) ◦ ρ̄1 = ρ̄1 ◦ (ψ(g)) = (σ ρ̄) ◦ (ψ(g)) = σ ◦(ψ ρ (g)) ◦ ρ̄ = σ ◦ (ψ ρ (g)) ◦ σ −1 ◦ ρ̄1 , g ∈ Aut(Y ). Из единственности сквозного действия получаемψ ρ1 (g) = σ ◦ (ψ ρ (g)) ◦ σ −1 , g ∈ Aut(Y ).
Отсюда следует, что при H1 = H набор, отвечающийсогласно (А) накрытию f1 , получен преобразованием (4) из набора (3). Это доказывает последнееутверждение в (А). Так как автоморфизм σ ∈ Aut(H) — любой, это доказывает также утверждениеоб изоморфности накрытий в (Б). Докажем остальные утверждения.(А) Докажем свойства 1–5.3) В силу эквивариантности эпиморфизма монодромии ρ̄ : H1 (Y0 ; Z) → H (по следствию 5.8),для любой симметрии h ∈ Aut(Y ) и любой петли γ ∈ Ω(Y0 ) выполнено ψ ρ (h)(ρ̄([γ])) = (ψ ρ (h)) ◦ρ̄([γ]) = ρ̄ ◦ (ψ(h))([γ]) = ρ̄([h ◦ γ]) ∈ H. Отсюда получаем свойство 3: ct = ρ̄([γt ]), 1 ≤ t ≤ 2g,ψρ (hi )(q) = ψρ (hi )(ρ̄([α])) = ρ̄([hi ◦ α]),1 ≤ i ≤ S,ψρ (h0j )(r) = ψρ (h0j )(ρ̄([β])) = ρ̄([h0j ◦ β]),1 ≤ j ≤ S0.1) Так как симметрии x и z переводят клетку e в ее отражение, т.е.
переводят клетку в себяс заменой локальной ориентации, то индуцированные автоморфизмы гомологий ψ(x) и ψ(y) ∈Aut(H1 (Y0 ; Z)) переводят класс гомологий [α] ∈ H1 (Y0 ; Z) петли α в класс гомологий [α]−1 петлиα−1 , т.е. ψ(x)([α]) = [x ◦ α] = ψ(z)([α]) = [z ◦ α] = [α−1 ] = [α]−1 . Отсюда имеемk(q) = ψ ρ (x)(ρ̄([α])) = ρ̄([x ◦ α]) = ρ̄([α]−1 ) = q −1 .m(q) = ψ ρ (z)(ρ̄([α])) = ρ̄([z ◦ α]) = ρ̄([α]−1 ) = q −1 .Второе соотношение доказывается аналогично, так как y и z переводят клетку e0 в ее отражение.Так как x2 = y 2 = z 2 = (xy)2 = 1 ∈ Aut(Y ), то и k 2 = ψ ρ (x2 ) = l2 = ψ ρ (y 2 ) = m2 = ψ ρ (z 2 ) =(kl)2 = ψ ρ ((xy)2 ) = idH , что доказывает последнее соотношение свойства 1.4) Так как группа H1 (Y0 ; Z) порождена элементами [hi ◦ α], [h0j ◦ β], [γt ] (1 ≤ i ≤ S, 1 ≤ j ≤ S 0 ,1 ≤ t ≤ 2g), а ρ̄ : H1 (Y0 ; Z) → H — эпиморфизм, то группа H порождена элементами ρ̄([hi ◦ α]) =ψ ρ (hi )(q), ρ̄([h0j ◦ β]) = ψ ρ (h0j )(r), ρ̄([γt ]) = ct .
Последние равенства следуют из доказанного вышесвойства 3.2) Из свойства 3 и замечания 5.9 имеемÃS! S02g2gSS0YYXXYX0ψ ρ (hi )(q µi ) ψ ρ (h0j )(rµj )cνt t = ρ̄ µi [hi ◦ α] +µ0j [h0j ◦ β] +νt [γt ] = ρ̄(0) = 1 ∈ H.i=1j=1t=1i=1j=1Здесь [γ] обозначает класс гомологий петли γ ∈ Ω(Y0 ).5) Имеем:k(ρ̄([hi ◦ α])) = ψ ρ (x)(ρ̄([hi ◦ α])) = ρ̄([x ◦ hi ◦ α]),k(ρ̄([h0j ◦ β])) = ψ ρ (x)(ρ̄([h0j ◦ β])) = ρ̄([x ◦ h0j ◦ β]),k(ct ) = ψ ρ (x)(ρ̄([γt ])) = ρ̄([x ◦ γt ])13t=1и аналогично для l и m, с заменой x на y и z соответственно, 1 ≤ i ≤ S, 1 ≤ j ≤ S 0 , 1 ≤ t ≤ 2g.(Б) Доказательство этой части теоремы также приводится без изменений.Шаг 1. В силу свойства 2 и замечания 5.9, гомоморфизм ρ̄ : H1 (Y0 ; Z) → H корректно определен, а в силу свойств 3 и 4 он является эпиморфизмом.
Пусть f : X → Y — симметричноенакрытие с эпиморфизмом монодромии ρ̄. Пусть ψ̃ρ : Aut(Y ) → Aut(H) — сквозное действиегруппы симметрий атома Y на группе монодромии H. Осталось проверить, что гомоморфизмыψ ρ , ψ̃ρ : Aut(Y ) → Aut(H) совпадают. Так как группа Aut(Y ) порождена симметриями x, y, z, тодостаточно проверить, что k := ψ ρ (x) = ψ̃ρ (x) =: k̃ и аналогично для l и m. В силу свойств 3 и 4,достаточно показать, что автоморфизмы k и k̃ (соотв. для l и m) одинаково действуют на каждомиз элементов ρ̄([hi ◦ α]), ρ̄([h0j ◦ β]), ct ∈ H.Шаг 2.
Из свойства 3 для hi = idY = h0j , имеем (2). Поэтому, в силу (A), выполнены аналогисвойств 1–5 для k̃, ˜l, m̃, ψ˜ρ .Шаг 3. По свойству 5 для k, l, m, и его аналогу для k̃, ˜l, m̃ (см. шаг 2), имеемk(ρ̄([hi ◦ α])) = ρ̄([x ◦ hi ◦ α]) = k̃(ρ̄([hi ◦ α])),k(ρ̄([h0j ◦ β])) = ρ̄([x ◦ h0j ◦ β]) = k̃(ρ̄([h0j ◦ β])),k(ct ) = ρ̄([x ◦ γt ]) = k̃(ct )и аналогичные равенства для l и m. ¥Следствие 5.11. Пусть Y — сферический максимально симметричный атом и H — конечная абелева группа. Тогда симметричные накрытия f : X → Y с группой монодромии H классифицируются наборами (k, l, m, q, r), состоящими из автоморфизмов k, l, m ∈ Aut(H) и элементов q, r ∈ H,удовлетворяющими условиям 2, 4–6 из теоремы 5.10, где в условии 5 через ρ̄ : H1 (Y0 ; Z) → H обозначен гомоморфизм групп, определенный на образующих [h1 ◦ α], .
. . , [hS ◦ α], [h01 ◦ β], . . . , [h0S 0 ◦ β]группы H1 (Y0 ; Z) формулами из свойства 3 выше, причем в условиях 3–5 2g = 0, а элементыc1 , . . . , c2g и кривые γ1 , . . . , γ2g отсутствуют. При этом выполнено свойство 1, причем k = ψ ρ (x),l = ψ ρ (y), m = ψ ρ (z) ∈ Aut(H) — сквозные действия симметрий x, y, z на группе H, q = ρ̄([α]),r = ρ̄([β]) ∈ H — монодромии при обходе вокруг центров клеток e, e0 .Набор, классифицирующий накрытия сферических атомов, расширен по сравнению со случаемориентируемых накрытий, чтобы включить накрытия, меняющие ориентацию.Следствие 5.12. Пусть Y — максимально симметричный атом на проективной плоскости и H— конечная абелева группа.
Тогда симметричные накрытия f : X → Y с группой монодромииH классифицируются наборами (k, l, m, q, r, c), состоящими из автоморфизмов k, l, m ∈ Aut(H)элементов q, r, c ∈ H, удовлетворяющими условиям 2, 4–6 из теоремы 5.10, причем в условиях 3–52g = 1, γ = γ1 — нестягиваемая кривая на замкнутой поверхности Y , а в условии 2 ν = ν1 = 2.При этом выполнены свойства 1 и 2 и k, l, m, q, r заданы аналогично.Утверждение 5.13. Пусть Y — максимально симметричный атом и H — конечная абелева группа. Симметричные накрытия f : X → Y над Y с группой монодромии H, для которых группа Hпорождена элементами ρ̄([hi ◦ α]), ρ̄([h0j ◦ β]), 1 ≤ i ≤ S, 1 ≤ j ≤ S 0 , а сквозное действие симметрииxz ∈ Aut(Y ) на H является тождественным преобразованием km := ψ ρ (xz) = idH , классифицируются наборами (k, l, q, r, c1 , . .
. , c2g ), состоящими из автоморфизмов k, l ∈ Aut(H) и элементовq, r, c1 , . . . , c2g ∈ H, удовлетворяющими следующим условиям:1. k 2 = l2 = (kl)2 = idH , k(r) = l(r) = r−1 , k(q) = q −1 ;002. если атом Y ориентируем, то rS q S/2 (kl(q))S/2 = 1 ∈ H при четном S, rS q S = 1 ∈ H приPS 0PS0 Q2gнечетном S; если атом Y неориентируем, то q ( i=1 µi ) r( j=1 µj ) t=1 cνt t = 1 ∈ H;143. элементы r, q, kl(q) порождают группу H;4. если атом Y не допускает альтернирующей ориентации (см. определение 2.3), то kl = idH ;5.
k(ct ) = ρ̄([x ◦ γt ]) = ρ̄([z ◦ γt ]), l(ct ) = ρ̄([y ◦ γt ]), 1 ≤ t ≤ 2g,где в последнем условии через ρ̄ : H1 (Y0 ; Z) → H обозначен гомоморфизм, определенный на образующих [h1 ◦ α], . . . , [hS ◦ α], [h01 ◦ β], . . . , [h0S 0 ◦ β], [γ1 ], . . . , [γ2g ] группы H1 (Y0 ; Z) формуламиρ̄([hi ◦ α]) := (kl)ni (q),ρ̄([h0j ◦ β]) := r,ρ̄([γt ]) := ct ,и ni — сумма показателей степеней элемента xy в каком-либо разложении hi ∈ P ar(Y ) по образующим xy, xz ∈ P ar(Y ).При этом k = ψ ρ (x), l = ψ ρ (y) ∈ Aut(H) — сквозные действия симметрий x, y на группе H,q = ρ̄([α]) и kl(q) = ρ̄([b ◦ α]) — монодромии при обходе вокруг центров белых клеток, r = ρ̄([β])— монодромия при обходе вокруг центров черных клеток, ct = ρ̄([γt ]) — монодромии при обходевдоль кривых γt , 1 ≤ t ≤ 2g.Всюду в тексте доказательства, где указана ссылка на теорему без указания ее номера, предполагается теорема 5.10, следствием которой является данное утверждение.J Шаг 1. Покажем сначала, что для любых k, l ∈ Aut(H), удовлетворяющих k 2 = l2 = idH ,kl = lk и условию 4 настоящего утверждения, существует гомоморфизм ψ ρ : Aut(Y ) → Aut(H),определенный на образующих x, y, z группы Aut(Y ) формулами ψ ρ (x) = ψ ρ (z) = k, ψ ρ (y) = l.Отсюда будет, в частности, следовать, что для любой симметрии g ∈ P ar(Y ) и любого разложения0g в композицию образующих xy, xz группы P ar(Y ), выполнено ψ ρ (g) = (kl)n (k 2 )n = (kl)n ∈0{idH , kl}, где n ∈ Z — сумма показателей степеней образующей xy, n ∈ Z — сумма показателейстепеней xz в данном разложении; если Y ориентируем, то для любой отражающей симметрии0h = zg (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
