Максимально симметричные разбиения поверхности. Неориентируемый случай (848679), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Пусть Y — неориентируемый атом. Возьмем ориентируемое многообразие, двулистно егонакрывающее — из утверждения 3.2 следует, что на нем можно ввести единственную структуруатома.Определение 3.3. Такой атом мы назовем оберткой атома Y .Следующее утверждение является очевидным следствием связности атома и “жесткости” клеточных отображений.Утверждение 3.4.

Пусть X, Y — атомы и f, g : X → Y — накрытия. Тогда если существует такоеполуребро e ∈ X, что f (e) = g(e), то f = g.Определение 3.5. Накрытие π : X → X называется симметрией атома X. Группу симметрийатома обозначим Aut(X).Для ориентированных атомов симметрию, сохраняющую ориентацию, мы назовем ориентируемой, а меняющую — отражающей. Атом, у которого есть отражающая симметрия, будем3называть отражаемым. Группу симметрий ориентированного атома, которая содержит, как ориентируемые, так и отражающие симметрии, а также группу симметрий неориентируемого атома,будем называть неориентируемой.Замечание 3.6. В силу замечания 2.4 на двудольно ориентированных атомах можно также говорить о симметриях, сохраняющих или меняющих альтернирующую ориентацию.

Для ориентируемых атомов эти понятия совпадают с ориентируемыми и отражающими симметриями.Для ориентируемых атомов понятие ориентируемой максимальной симметричности строитсяв [1] на ориентируемых симметриях и использует возможность согласовать направления вращений на всех клетках. Чтобы построить его аналог для любых симметрий, введем понятие флага,приведенное в [7].Отметим центры белых и черных клеток. Соединим центр каждой белой клетки с ее вершинамитолстыми линиями, центр каждой черной клетки с ее вершинами — тонкими, а центры смежныхпо стороне черной и белой клетки — пунктирными линиями.

Мы получили разбиение поверхностина треугольники — флаги — у каждого из которых одна сторона толстая, вторая тонкая, а третьяпунктирная.Будем говорить, что флаг инцидентен клетке, если одна из его сторон лежит в этой клетке.Каждый флаг инцидентен одной белой и одной смежной с ней черной клетке и полностью лежитв их объединении.На множестве флагов введем операции x, y, z, ставящие в соответствие каждому флагу смежный с ним по толстой, тонкой и пунктирной стороне соответственно. Легко видеть, что эти операции инволютивны и образуют группу с соотношениями x2 = y 2 = z 2 = 1, xy = yx.

Композиции yzи zy, (соответственно xz и zx) отвечают элементарным поворотам — вращениям — вокруг центров черных (соответственно белых) клеток в разных направлениях, а xy — полуобороту вокругвершины.Определение 3.7. Атом X (соответственно ориентируемый атом) назовем максимально симметричным (соответственно ориентируемо максимально симметричным), если для любогоего флага ξ существуют симметрии, действующие как отображения x, y и z на этом флаге (соответственно xz, yz, xy).Замечание 3.8. Можно дать эквивалентное определение: атом максимально симметричен (соответственно ориентируемо максимально симметричен), если Aut(X) транзитивно действует намножестве полуребер (соответственно ребер) этого атома.Утверждение 3.9. Пусть X — атом, ξ ⊂ X — его флаг. Если существуют симметрии xξ , yξ , zξ :X → X, которые действуют как x, y и z на ξ, то X — максимально симметричный атом.J Рассмотрим множество Ψ всех флагов, для которых существуют указанные выше отображения.

Оно инвариантно относительно действия Aut(X), следовательно, для любого флага из Ψ всесмежные с ним флаги также лежат в Ψ. Из связности атома следует, что все флаги лежат в Ψ. IСимметрии xξ , yξ , zξ : X → X являются образующими в группе Aut(X). Будем называть систему образующих (xξ , yξ , zξ ) связанной с флагом ξ. В дальнейшем мы будем обозначать их x, y, z,опуская индекс ξ, предполагая симметрии уже выбранными для некоторого флага.Атом (ориентируемо) максимально симметричен, если группа его симметрий имеет максимально возможную мощность — 4n (соответственно 2n).Утверждение 3.10.

Пусть X — неориентируемый атом, e ∈ X — его белая клетка, A - вершинаэтой клетки. Если существуют симметрии ae , bA : X → X, которые действуют как вращение клеткиe и полуоборот вокруг вершины A соответственно, то X — максимально симметричный атом.4J Доказательство того, что симметрии, являющиеся полуоборотом и вращением, существуютдля любой клетки и любой вершины аналогично доказательству для ориентируемых симметрий,следовательно этот набор симметрий позволяет перевести любое ребро в любое. Докажем, чтотакже можно перевести любое полуребро в любое. Для этого достаточно доказать, что можноперевести клетку в собственное отражение, то есть поменять на ней ориентацию.Рассмотрим некоторый замкнутый путь, начинающийся в клетке e, вдоль которого меняетсяориентация. Можно считать, что он идет вдоль ребер d0 ⊂ e, d1 , ..., dn = d0 .

Рассмотрим симметрию ψ = ϕ1 ◦ · · · ◦ ϕn , где ϕi переводит di−1 в di , и является либо полуоборотом, либо вращением.Тогда ψ переводит e в себя с заменой ориентации. IСледствие 3.11. Для неориентируемого атома четность длин элементов в разложении произвольной симметрии g ∈ Aut(X) по образующим x, y, z определена неоднозначно.J Для доказательства достаточно показать, что существует композиция нечетного числа образующих x, y, z группы Aut(X), являющаяся тождественным преобразованием.

Пусть системаобразующих связана с флагом, инцидентным белой клетке e. Если симметрия h сохраняет этуклетку вместе с ориентацией, то h = (xz)p . Из утверждения 3.10 следует, что существует некоторая симметрия g ∈ Aut(X), являющаяся композицией нескольких полуоборотов и вращений, аследовательно, четного числа образующих x, y, z, переводящая клетку e в ее отражение.

Следовательно, симметрия h = z ◦ g переводит e в себя с сохранением ориентации, а значит (xz)−p ◦ z ◦ gявляется тождественным отображением, и при этом раскладывается в произведение нечетногочисла образующих. IРассмотрим подгруппу P ar(X) ⊂ Aut(X), образованную вращением xz и полуоборотом xy.Замечание 3.12. Для ориентируемого атома X группа P ar(X) совпадает с подгруппой всехориентируемых симметрий атома, а для неориентируемого — со всей группой симметрий Aut(X).При этом для ориентируемого атома отображение σz из множества всех ориентируемых симметрийP ar(X) в множество всех его отражающих симметрий σz (g) = zg, g ∈ P ar(X) задает биекциюмежду этими множествами.Приведем полный список классов эквивалентности максимально симметричных атомов на поверхностях малого рода (см. [6]):• на сфере есть две двойственные друг другу серии классов атомов Cn и Dn , n ∈ N, причематом класса Cn состоит из двух белых и n черных клеток; и пять выделенных атомов, отвечающих платоновым телам, причем усеченные куб P2 и октаэдр P3 и усеченные додекаэдрP4 и икосаэдр P5 образуют пары двойственных, а усеченный тетраэдр P1 самодвойственный;• на проективной плоскости существуют две двойственные друг другу серии C̃n и D̃n , n ∈ N,получаемые факторизацией по антиподальной инволюции сферических атомов C2n и D2n ,причем атом класса C̃n состоит из одной белой и n черных клеток; и четыре выделенныхатома P̃i , 2 ≤ i ≤ 5, получающихся факторизацией по антиподальной инволюции всех платоновых тел кроме тетраэдра, не обладающего центральной симметрией;• на торе существуют три бесконечные серии, отвечающие разбиениям на квадраты (сериясамодвойственных атомов), треугольники и шестиугольники (серии двойственных друг другуатомов);• на бутылке Клейна максимально симметричных атомов нет.Отметим следующие совпадения: среди сферических атомов C2 = D2 , среди атомов на проективной плоскости C̃1 = D̃1 .

Остальные атомы попарно различны.В дальнейшем для малых родов мы будем говорить только об атомах на сфере и проективнойплоскости. Случаи торических атомов рассмотрены в [1] и ввиду отсутствия атомов на бутылкеКлейна в этой работе не понадобятся.5Определение 3.13. Для ориентируемого атома X инволютивная симметрия без неподвижныхточек, меняющая ориентацию и коммутирующая со всеми остальными симметриями называетсяцентральной. Атом, допускающий центральную симметрию, также называется центральным.Например, обертка неориентируемого атома является центральным атомом, а переставляющаялисты инволюция — центральной симметрией.

Ниже будет показано, что всякий центральный атомявляется оберткой некоторого неориентируемого атома.Из определения сразу же следует, что центральная симметрия вместе с тождественным отображением образует нормальную подгруппу в Aut(X).Любой центральный атом является отражаемым. Обратное, вообще говоря, неверно — усеченный тетраэдр отражаем, но не обладает центральной симметрией.4Регулярные накрытияПусть f : X → Y — накрытие линейно связных топологических пространств, x0 ∈ X и y0 =f (x0 ). Говорят, что накрытие f отвечает подгруппе π = f# (π1 (X, x0 )) ⊂ π1 (Y, y0 ), где f# —индуцированный гомоморфизм фундаментальных групп.Определение 4.1.

Пусть Aut(f −1 (y0 )) — группа биекций множества f −1 (y0 ). Обозначим черезΩ(Y, y0 ) пространство замкнутых кривых (петель) в Y с концами в точке y0 . Рассмотрим множествоf −1 (y0 ). Каждый гомотопический класс [γ] ∈ π1 (Y, y0 ) петли γ ∈ Ω(Y, y0 ) индуцирует следующуюбиекцию этого множества: каждой точке x ∈ f −1 (y0 ) ставится в соответствие конец кривой γ̃,являющейся поднятием γ на X при накрытии f . Гомоморфизмом монодромии накрытия fназывается гомоморфизм ρ : π1 (Y, y0 ) → Aut(f −1 (y0 )), переводящий [γ] в соответствующую емубиекцию множества f −1 (y0 ). Образ H ⊂ Aut(f −1 (y0 )) этого гомоморфизма называется группоймонодромии накрытия f , образ элемента [γ] — монодромией при обходе вдоль петли γ, а индуцированный эпиморфизм ρ : π1 (Y, y0 ) → H — эпиморфизмом монодромии.Накрытие называется регулярным, если подгруппа π нормальна.

Характеристики

Список файлов ВКР