1629215821-cc57de1771f9fcf148c7b78f76a4ecbb (845956), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Момент окончания обслуживания третьей заявки7 з + 0 , 5 =0,942 + 0,5 = 1,442. В счетчик обслуженных заявок добавляем единицу.Дальнейший расчет производят аналогично (табл. 59), причемесли в момент поступления заявки все каналы заняты (момент поступления заявки меньше каждого из моментов окончания обслуживания), то в счетчик отказов добавляют единицу.Заметим, что обслуживание 20-й заявки закончится в момент4,148 > 4, поэтому эта заявка получает отказ.Испытание прекращают (в таблице записывают «стоп»), еслимомент поступления заявки 7 > 4.Из табл.
59 находим, что за 4 мин всего поступило 20 заявок;обслужено JCi = 12 заявок.Выполнив аналогично еще пять испытаний, получим: ДГ2= 15,А : З = 1 4 , Л:4 = 12, ^5=13, дсд = 15.В качестве оценки искомого математического ожидания а числаобслуженных заявок примем выборочную среднююа*=7=(2.12+13+14+2.15)/6= 13,5,312ТаблицаНомерзаявкиiСлучайноечислоВремямеждудвумяпоследова поступле— In г- тельныминия заявкизаявкамиМоментокончанияобслуживания заявкиканаломIСчетчик'^1 == 0.2(111 Г-) = ^ / - 1 + ^1123456789101112131415161718192021590,10 2,300,4600.09 2,410,4820,73 0,320,0640,25 1,390,2780,33 1.110,2220,76 0,27 1 0,0540,52 0,650,1300.01 4.600,9200,35 1,050,2100.86 0,150.0300,34 1.080,2160.67 0,400,0800,35 1,050,2100,48 0,730,1460,76 0,270,0540.80 0,220,0440,95 0.050,0100,90 00,100,0200,91 0,090,0180,17 1.770,35400,4600,9421,0061,2841,5061.5601,6902,6102.8202.8501 3.0663,1463.3563,5023,5563,6003,6103,6303,6484,002(Стоп)23обслуженныхзаявокотказов0,5001.4420,9601,5061,7842.0062,06013,1103,3203,35013,6463,8564,0021111114,148ИтогоJCi = 128731.
В трехканальную систему массового обслуживания с отказами поступает пуассоновский поток заявок.Время между поступлениями двух последовательных заявок распределено по показательному закону / (т) = 4е~*^.Длительность обслуживания каждой заявки равна 1 мин.Найти методом Монте-Карло математическое ожиданиеа числа обслуженных заявок за время Г = 5 мин.У к а з а н и е . Произвести шесть испытаний. Для определенностибрать случайные числа из таблицы приложения 9 с двумя знакамипосле запятой, начиная с первой строки сверху.732.
В одноканальную систему массового обслуживания с отказами поступает пуассоновский поток заявок.313время между моментами поступления двух последовательных заявок распределено по закону /(т) ==0,8е'*®*®^;время обслуживания заявок случайное и распределенопо закону / i ( / ) = IjSe*"^»*'. Найти методом Монте-Карлоза время Г = 30 мин: а) среднее число обслуженныхзаявок; б) среднее время обслуживания одной заявки;в) вероятность обслуживания; г) вероятность отказа.Произвести шесть испытаний.Р е ш е н и е . Время между моментами поступления двух последовательных заявок распределено по закону / (т) =0,8е""®'®^, поэтомузначения т/ разыграем по формулет/ = — (1/0.8) In г / = 1.25 (— In Г/).Случайные числа г/ берем из таблицы приложения 9, начинаяс первой строки снизу.Время обслуживания заявок распределено по закону fi (/) == 1,5е"^'^ , поэтому значения ti разыграем по формуле/,. = — ( l / l , 5 ) l n / ? / = 0,67(-~in/?/).Случайные числа /?/ берем из той же таблицы, начиная с первойстроки сверху.Пусть 7*1 = 0 — момент поступления первой заявки.
По случайному числу ^ 1 = 0 , 1 0 разыграем длительность времени обслуживанияпервой заявки (в мин):/^ =0,67 (—In 0,10)=0,67.2.30= 1,54.Момент окончания обслуживания первой заявки Г1 = 1,54 == 0 + 1,54 = 1,54. В счетчик обслуженных заявок записываем единицу.По случайному числу /-2 = 0,69 разыграем время (в мин) междумоментами поступления первой и второй заявок *>:Т2 = 1,25 (—In 0,69) = 1,25.0,37 = 0,46.Первая заявка поступила в момент Г , = 0 . Следовательно, вторая заявка поступит в момент 72 = 7^1 + 0,46 = 0 + 0 , 4 6 = 0,46.В этот момент канал занят обслуживанием первой заявки(0,46 < 1,54), поэтому вторая заявка получит отказ.
В счетчикотказов записываем единицу.По очередному случайному числу Гз = 0,07 разыграем времямежду моментами поступления второй и третьей заявок:Тз= 1,25 (—In 0.07) = 1,25-2,66 = 3,32.Вторая заявка поступила в момент 7^2 = 0,46. Следовательно, третьязаявка поступит в момент Гз== 7^2+3,32 = 0,46+ 3,32 = 3,78. В этотмомент канал уже свободен (3,78 > 1,54), поэтому он обслужиттретью заявку.
В счетчик обслуженных заявок добавляем единицу.Дальнейший расчет ясен из табл. 60 и 61. Испытание заканчивают, когда момент поступления заявки Г / ^ 3 0 . Например, в первомиспытании, как видно из табл. 60, 23-я заявка поступила в момент*> У первого случайного числа намеренно поставлен индекс 2.чтобы не вносить расхождений с обозначениями табл. 60.3147*23 = 31,35 > 30, поэтому эту заявку исключаем («Стоп») и первоеиспытание заканчиваем.Аналогично производят и остальные испытания.Т а б л и ц а 60НомерзаявкиiСлучайноечислог,-1МоментпоступлениязаявкиВремя междудвумя после»довательнымизаявками—In г*^/=^•-1"»-^/= r l .
2 5 ( - l n Tj.) 112345678910111213141516171819202122230,690,070,490,410,380,870,630,790,190,760,350.580,400,440,010,100,510,820,160,150,480,320,372,660,710.890,970,140,460,241,660,271,050,540,920,824,602,300,670.201,831,900,731.140,463,320,891.111.210,180,580,302,080,341.310,681.151,025.752.8810,840,252,292,380,911,4200,463,784,675,786,997,177,758,0510,1310,4711,7812,4613,611114,6320,3823,2624,1024.3526,6429,0229,9331.35 (Стоп)Аналогично производят и остальные испытания. В табл. 62приведены результаты шести испытаний, включая первое.Используя табл. 62.
найдем искомые величины: а) среднее числообслуженных за 30 мин заявок "Л'обсл = 93/6е= 15,5.б) среднее время оСслуживания одной заявки 7обсл == 4»49/6 === 0.748.в) вероятность обслуживания Робел = 3,974/6=0,662,г) вероятность отказа Р^^^=::\—Робсл = 1—0,662=0,338.Таким образом, примерно 66% заявок будут обслужены, а 34%получат отказ.733. В одноканальную систему массового обслуживания с отказами поступает пуассоновскии поток заявок.Время между моментами поступления двух последовательных заявок распределено по закону /(т) = 0,5е"^'^^315ТаблицаНомерзаявкиiСлучайноечислоl-inR.Длительностьобслуживаниязаявки1 ^11234567 i8 1910И121314151617181920212222,301.540,092,411,610,730,250,321,390.210,930,740,180,443,08i.n0,270,654,600,350,860,341,050,151.080,700,100,720,670,350,480,401.050,730,270,700,49' ~ \Счетчик= 0.67(-.1п/?,.) поступ начала оконча обслу отказовления обслунияжензаявки жива обслуныхнияжива заявокния0,100.330,760,520.01Момент6100,463,784,675,786,997,177,758.0510,1310,4711,7812,4613,6114.6320,3823,2624,1024,3526,6429,0229,93~~177Г~ ~•01.5413.785,3915,786,995,997.921111118,0510,1310,4711,788.7910,3110,91!14,86111111120,38 21,0823,26 23,3624.10 24,82 J111 126,64 26,9129,02 29,7230,42111~~1—9время обслуживания случайное и распределено по закону/ i ( 0 = 2e~*'.
Найти методом Монте-Карло за времяГ = 20 мин: а) среднее число обслуженных заявок;б) среднее время обслуживания одной заявки; в) вероятность обслуживания; г) вероятность отказаУ к а з а н и е . Произвести шесть испытаний. Для определенностибрать случайные числа с двумя десятичными знаками после запятойиз таблицы приложения 9 при разыгрывании т/, начиная с первойстроки снизу» а при разыгрывании ti—начиная с первой строкисверху.316Та б л и ц а62Номер Посту [Обслу Длитель среднее время • Вероятность Вероятностьобслуживания обслуживанияиспы пиложеноностьотказатания заявок заявок обслужиР.в/ отк^ /орел"/обсл"*/вания/пост /обсл=1Я,^__ ^/обсл/обсл/обсл/обсл"лГ^io6c.л/постJ12345622251 2422202713171615131921409311,718.8013,4612,1911,999.570.900.520,840,810,920,500.5910,6800,6670,6820,6500,7044,493.9740.4090.3200.3330,3180,3500,296§ 8. Вычисление определенных интеграловметодом Монте-КарлоА.
Способ усреднения.ьВ качестве оценки определенного интеграла / = J (p(x)dx принимают«лгде /I — число испытаний, Xf — возможные значения случайнойвеличины X, распределенной равномерно в интервале интегрирования (а, 6); их разыгрывают по формулегде г, — случайное число.Дисперсия (т^ усредняемой функции (Ь'-а)(р(Х) равна:'=(b--a)l(pHx)dxJij(p(x)^^317в качестве оценки интеграла / == \ \ /(дс, y)dx6i/,где областьDинтегрирования D принадлежит единичному квадрату0 < у < 1 ) , принимают(0<х<\щгде S—площадь области интегрирования; Л^—число случайныхточек (х/, ^/), принадлежащих области интегрирования.Если вычислить площадь S трудно, то в качестве ее оценкиможно принять S*=iN/n; в этом случае формула (*) имеет вид'^где п—число испытаний.пВ качестве оценки интеграла / =: \ \ V / (дг, у^ г) dx 6у dz, гдеVобласть интегрирования И принадлежит единичному кубу ( 0 < х < 1 ,0<у<\^ 0 < 2 < 1 ) , цринимаютNil^v.i^—Л•(••)где V—объем области интегрирования, N—число случайных точекi^h У1* ^/)t принадлежащих области интегрирования.Если вычислить объем трудно, то в качестве его оценки можнопринять V*=iN/n; в этом случае формула (**) имеет видh.где п—число испытаний.Б.
Способ существенной выборки, использующий свспомогатель-*ную плотность распределения». В качестве оценки интеграла / аifа I «р (X) dic принимаюта, . _ 1 уф(дг/:где п—число испытаний: f{x)—плотность распределения свспомоьгательной» случайной величины X, причем \ / ( x ) d x » l ; х/—воаа318можные значения X, которые разыгрывают по формуле5 /(х)ск=г/.Функцию f(x) желательно выбирать так, чтобы отношениеf(x)/ip{x) при различных значениях х изменялось незначительно.В частности, если f(x) = \/(b — а), получим оценку I*.В, Способ, основанный на истолковании интеграла как площади.Пусть подынтегральная функция неотрицательна и ограничена:0 < ф ( д с Х с , а двумерная случайная величина (X, К) распределенаравномерно в прямоугольнике D с основанием (Ь—а) и высотой с.Тогда двумерная плотность вероятности f (х, t/)=:l/(b—а) с для точек, принадлежащих D; f (х, у ) = 0 вне D,ьВ качестве оценки интеграла / = Кц>{х)йх принимаюта1з^1Ь—а)с(п1/п),где п—общее число случайных точек (х/, ^/), принадлежащих D;rii — число случайных точек, которые расположены под кривойу = Ф(х).Г.
Способ «выделения главной частиз». В качестве оценки инbтеграла / = \ ф (л:) dx принимаютап/: = ^^h[ф (Xi)^g {Xi)]+ 5 f! ix) 6X,1=1aгде X/—возможные значения случайной величины X, распределенной равномерно в интервале интегрирования (а, Ь), которые разыгрывают по формуле Xi=-a+{b—а) г,-; функция ^(дг)сь-ф (х), причемbинтеграл \ g (х) 6х можно вычислить обычными методами.а734. Вывести формулупi:=(b-a)2Ф (xi)где Xi = a + (b—с) г^, для оценки определенного интеbграла / == 5 ф (л:) их,аР е ш е н и е . Введем в рассмотрение случайную величину X,распределенную равномерно в интервале интегрирования (а, Ь) сплотностью /(дс) = 1/(6 — а).
Тогда математическое ожиданиеbbМ [ф (Х)\ = J ф W / (ж) с 1 х = - ^ 4 ^ J ф (л:) dAT,аа319Отсюда^ip(x)dx =(b-a)M[(p(X)].Замевив натеиатяческое ожидание Af (ф(Х)) его оценкой—выборочной средней, получим оценку искомого интегралаS «Р (XI)где х/-^возможные значения X. Так как случайная величина Xраспределена равномерно в интервале {а, Ь) с плотностью f(x) == 1/(6—а), то X/ разыгрывают по формуле г---— i dx=sr/ (см. § 3,аправило 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
