1629215821-cc57de1771f9fcf148c7b78f76a4ecbb (845956), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Отсюда х/=а+(6—о)/-/, где г/—случайное число.735. Найти: а) оценку определенного интеграла3/=J (x+l)dx; б) абсолютную погрешность |/—/?|;в) дисперсию (т^ усредняемой функции (6—а)ф(А^.Решение, а) Используем формулуя/ Г = ( 6 - а ) -^^^^^.пПо условию д = 1,6=3, ф ( х ) = х + 1 . Примем для простоты 4ислоиспытаний л=: 10. Тогда оценка/f=(3~l)1010<-1i-l1010где возможные значения Xf разыгрывают по формулеХ/=а+(6~-а)г,= 1 + ( 3 - 1 ) г , = 1+2г;.Результаты десяти испытаний приведены в табл. 63. Случайные числа Vf взяты из первой строки приложения 9.Таблица 63Номериспытания /12345б789100,100 0,973 0,253 0,376 0,520 0,135 0,863 0,467 0,354 0,8761,200 2,946 1,506 1,752 2,040 U 7 0 2,726 1,934 1,708 2,752<piXi)=-Xi-h\ 2,200 3,946 2,506 2,752 3,040 2,270 3,726 2,934 2,708 3,752Xf=l-f2r,.320Из табл.
63 находим Еф(х^)=29,834. Искомая оценка10б) Найдем абсолютную погрешность |/—/*|.Приняв во внимание, что3/=J(x4-l)dx=6,получим искомую погрешность:| / - / * | = |6-5,967|=0,033.в) Найдем дисперсию а^ усредняемой функции ф—а)(р(Х)== (3-1)(ЛГ+1)=2АГ+2 по формулеЬГЬ-|2По условию а=1, 6=3, <р(х)=х+1, следовательно,3^2ГЗ= ( 3 - 1 ) J (х+1)^(Ьс-М (jc+l)dxT.Выполнив выкладки, получим искомую дисперсию (7^=-.Заметим, что <т^ можно было вычислить непосредственно,используя свойства дисперсии:D(X+Q=D(X),D(CX)^C^D(X),Действительно,Поскольку случайная величина X распределена равномерно в интервале (1; 3), то ее дисперсия (см. задачу 315)12123Следовательно,(7^=4Z)(JS0=-.3736.
В качестве приближенного значения интеграла / == f cosxdx принята оценка /f=(6—а)^оусредняемой функции (Ь-а)(р(Х)'-. Найти дисперсию а^п321Решение. Используем формулуа^ = (Ь-а)1 cp^(x)dx-U(p(x)dxj.По условию а = 0 , 6 = - , ^(JC)=COSJC.Следовательно,<т^=- j cos^xdx— J cosjcdx=- Jdjc— J cosxdx.Выполнив выкладки, получим искомую дисперсию:(т2=,--1=0,23.8^737. В качестве приближенного значения интеграла/=2=1 sinxdx принята оценка /f. Найти дисперсию а^ усредняемойофункции - sin X,738. Найти: а) оценку определенного интеграла / = J x^dx поданным десяти испытаний; б) дисперсию <т^ усредняемой функцииЗА^.Указание.
Для определенности взять случайные числа г, изпервой строки табл. 63.},739. Найти: а) оценку / f определенного интеграла / = j e'dx пооданным десяти испытаний; б) дисперсию усредняемой функции740. Найти оценки Ц определенных интегралов:a)/=Jtg^xcb:;6)/=fпо данным десяти испытаний.djcп2741. Найти оценку /у определенного интеграла / = J cosxdx пооданным десяти испытаний. Случайные числа г, взять из первойстроки табл. 63.Решение. Разыграем 10 возможных значений JTno формулех~0+322Г;=1,571г,.Результаты испытаний- приведены в табл. 64.Таблица 64Номериспытания /123456789100,100 0,973 0,253 0,376 0,520 0,135 0,863 0,467 0,354 0,8760,157 1,529 0,398 0,591 0,817 0,212 1,356 0,734 0,556 1,376<p(x,)=cosx,.
0,988 0,042 0,922 0,830 0,684 0,978 0,213 0,742 0,849 0,194Х, = (7С/2)Г,Учитывая, что E(p(jc,)=6,442, найдем искомую оценку интеграла:/Г=(я/2)(6,442/10)=1,01.742. В качестве приближенного значения определенного интег(p(x)dx принята оценка If=(b—a). Доказать, чтодисперсия а^ усредняемой функции {b—a)q>{X) равнас^^{Ь-а)\(p\x)dxS\(p(x)/(x)dxT.Решение.
Учитывая, что D{CX) — C^D(X), получимИспользуем формулу (**) (гл. VI, § 3)/)[Ф(J50]=l срНх)&Х'-[МЫт^.аПо формуле (*) (гл. VI, § 3)аСледовательно,D[cp{X)]^\ (p\x)f{x)doc-M<p{x)f{x)^^.Так как случайная величина X распределена равномерно в интервале (а, 6), то ее плотность/(х)=, а значит{Ь-а)3231ВИВ (**) в (*), окончательно получим<T^ = (b-a)](p^(x)dx-U<p(x)f(x)dxY.743. Найти оценку /* интеграла /Произвести 10 испытаний.=M(x + y)dy.Р е ш е н и е« Область интегрирования ограничена линиями9j=^x^ ^ = 1, дг=»0 и, очевидно, принадлежит единичному квадрату*Площадь области интегрирования (прямоугольного треугольника)S=(l.l)/2=0,5.Используем формулуS/(^f/. Уд/•==S/si^f(Xi.=0.59i)fsi(•)где Л^—число случайных точек (х/, ^/), которые принадлежат области интегрирования; у этих точек ^/^лг/ (при каждом испытании,в котором дто условие выполняется в счетчик N записывают единицу)« Пары независимых случайных чисел (дг/, ^/) берем из таблицы приложения 9, начиная с первой строки сверху.
Результаты10 испытаний приведены в табл. 65.Т а б л и ц а 65Номериспытания i12345678910*/10,1000.2530,5200.8630,3540.8090.9110,5420,0560,474СчетчикУ10.9730,3760.1350,4670,8760.5900,7370.0480,4890,296SИз табл. 65 находим V = 4. 2111,0730.629I1.230I0.54543.477/(•*/» У/) =» 3.477* Подставив эти/siчисла в формулу (•), получим искомую оценку:/ • = 0 . 5 . (3.477/4) =0.435.324/(*£. !'/)«*/+V/Сравнительно большое расхождение полученной оценки с точным значением / = 0 , 5 объясняется малым числом испытаний.744. Найти оценку /* интегралов:B)|dxj^e'/.di,;r) j d ^ J d i ^ j j ^ ^11Д) ^dx [dyl^x^yJxyz dz.Произвести no 10 испытаний.
Случайные числа брать изтаблицы приложения 9 с тремя знаками после запятой,начиная с первой строки сверху.п745.Вывестиформулуll^ — YL ?тгг для оценкиbопределенного интеграла I = ^fp{x)dx,где f(x)—плот-аность распределения свспомогательной» случайной величины X в интервале интегрирования (а, 6); Х/—возможные значения X, разыгранные по известной плотностиf(x)\ п—число испытаний.Р е ш е н и е .
Пусть / {х)—плотность распределения некоторойслучайной величины X в интервале интегрирования (а, Ь)^ т. е.ьV/(x)dX8l. Представим интеграл У так:J fix) ^(x)dx.Таким образом, интеграл / представлен в виде математическогоожидания функции ^ ( л ) в ф ( Х ) / / ( Х ) . В качестве оценки этого ма«тематического ожидания, а следовательно равного ему интеграла /»примем выборочную среднююУ:—± V у<^/)где JT/^возможные значения случайной величины X, которые разыг*рввают по известной плотности / {х)\ п—число испытаний. Искомаяоценка получена.325Заметим, что желательно выбрать /(х) так, чтобы по возмож«ности отношение /(дг)/|ф(х)|а= const.1746.
Найти оценку /J интеграла / = Je*(ijc.оР е ш е н и е . Так как е * « 1 + ^ + « * . , то в качестве плотностираспределения свспомогательной» случайной величины X примемфункцию f(x)^C(1+JC).Изусловияс с (1 + х ) djTss 1 найдемС = 2 / 3 . Итак. / (JC) = (2/3) ( х + 1 ) .Запишем искомый интеграл так:'iIе*(2/3) ( х + 1 )(2/3)(Af+I)dJC.Таким образом, интеграл / представлен в виде математическогое^ожидания функш1и .^.^^ ^—т-ггт.
В качестве искомой оценки примем(J/d)(X-f-i)выборочную среднюю (для простоты ограничимся десятью испытаниями):1010^«=Т^Х(Ш)Ьн=Т)=^-^^ SijqiT'С)где Xi—возможные значения Л, которые надо разыграть по извест^ной плотности /(д:)=(2/3)(д:+1). По правилу 2 (см. § 3). имеем(2/3) J(x+l)dx«r/.оОтсюда находим явную формулу для разыгрывания возможных зна*чений X:«^««.««X/=Kl+3r/--l.В табл. 66 приведены результаты 10 испытаний.Т а б л и ц а 66Номериспытания кп123456769100, 100 0 , 9 7 3 0 , 2 5 3 0 , 3 7 6 0 .
5 2 0 0 , 135 0 , 8 6 3 0 , 4 6 7 0 , 3 5 4 0 . 8 7 60 , 140 0 , 9 8 0 0 . 3 2 6 0 , 4 5 9 0 , 6 0 0 0 . 1 8 5 0 , 8 9 4 0 , 5 5 0 0 , 4 3 6 0 , 9 0 5Ф(ж/)«е"ДГ/+1Ы б О 2 , 6 6 4 1,385 1,682 1.822 1,203 2 , 4 4 5 1.733 1,646 2 , 4 7 21.140 1.980 1.326 1.459 1,600 1.185 1,894 1.550 1,436 1,9051»009 1,345 1,044 1.084 1. 139 1.015 1,291 1,118 1,077 1.298326Е е**si 1,42 Искомая оценка в силу («) равна /з «»0,15* 11,42«^ 1,713*747, Найти оценки I* определенных интегралов:3я/2Iа) J(j^+l)djc;б) Je«*dx;•Ч'в) j sinxdx;dxУ к а з а н и е * Принять в качестве «вспомогательной плотности»/(х) функцию, соответственно равную: а) (1/4) дс; б) 0,5(1-{-2х);в) (8/я*)др; г) 1,092/(1 +ж)*748.
Вывести формулу 11 = ф—a)c(njn)для оценкиbопределенного интеграла / = J ф (х) dJt, где подынтегральапая функция неотрицательна и ограничена (0^ф(д:)^с),исходя из истолкования интеграла как площади*Р е ш е н и е . Введем в рассмотрение двумерную случайную величину (X, К), распределенную равномерно в прямоугольнике Dс основанием (Ь—а) и высотой с, плотность вероятности которойf(Xt У)^='\1(Ь—а)с.
Составляющая X распределена в интервале(а, Ь) равномерно с плотностью 1/(6—а)\ составляющая Y распре*делена в интерзале (О» с) с плотностью 1/с.Если разыграно п точек (х^, ^/), принадлежащих прямоугольнику D, из которых П] точек оказались под кривой ^ = ф(х), тоотношение площади, определяемой интегралом / , к площади прямоугольника Dьф—а) сп*Отсюдаb\ ф (х) dx^(b—a)c(nin),аТаким образом, в качестве оценки интеграла / можно принять/»*«(6—а)с(пх/я).2749. Найти оценку /J интеграла J (4—x^)dx.о327Р е ш е н и е« Используем формулуft^(b—a)c(ni/n).В интервале (О» 2) подынтегральная функция ф(дг)«4—jr' неотрицательна и ограничена, причем ф(хХф(0)=к4; следовательно,можно принять с « 4 .Введем о рассмотрение двумерную случайную величину (X, К),распределенную равномерно в прямоугольнике D с основаниемо—a=s2—0=s2 и высотой е^4, плотность вероятности которой/(ДР.») = 1/(2.4)«1/8.Разыграем л » 10 случайных точек (JT/, у/), принадлежащих прямоугольнику £).
Учитывая, что составляющая л в интервале (О, 2)распределена равномерно с плотностью ff(x)^\/2n составляющая Ув интервале (О, 4) распределена равномерно с плотностью / i ( ^ ) = l / 4 ,разыграем координаты случайной точки (х/, ^/), принадлежащейпрямоугольнику D, по паре независимых случайных чисел (г/, /?/):»/?/-Отсюда Xi^2ri, pi^iRi*^Если окажется, что ^/ < 4«-»дг/, то точка (дг/, р/)кривой |г«ф (х) и в ссчетчик /if» надо добавить единицуРезультаты десяти испытаний приведены в табл. 67.подТ а б л и ц а 67Номер•спятааш*1\12345678910''lo.ioo«f«»'/0.2000.253 1 0.5060.520 1.0400,863 1.7260.354 0.7080.809 1.6180.9111.8220.542 1.0840.056 0.1120.474 0.948«?•-*?Kt9§»*И10.0400.2561.0822,9790.5012.6183.3201.1750.0130.8993,9603.7442,9181,0213.4991.3820.6802.8253,9873.1010,9730.3760.1350,4670.8760.8900,7370.0480.4890.2963,8921,5040.5401.8683.5042.3602,9480.1921.9561.184tt<4~ii111111Из т^бл. 67 находим Л| «6« Искомая оценка интеграла/;«№—л)с(я1/я)«2.4.(6/10)==4,8.4750.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
