1629215821-cc57de1771f9fcf148c7b78f76a4ecbb (845956), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Найти корреляционную функцию случайной функции: а) К (/) = X (/)•(<+ 1); б)Z{t)=CX(t),где С—постоянная.768. Пусть X (t)—случайная функция, ф(/)—неслучайная функция. Доказать: если К(/) = X (/) + Ф(/), ТОР е ш е н и е . П е р в ы й с п о с о б . При любом фиксированномзначении аргумента сечение X (t)—случайная величина, ф(0—постоянное число. Известно, что прибавление к случайной величинепостоянного числа не изменяет ее дисперсии, поэтому D^ (t) =«О1Х(0+Ф(/Л = ^х(0.В т о р о й с п о с о б . Прибавление к случайной функции неслучайного слагаемого не изменяет корреляционной функции: К у (/i, tt)'^^= /Cx(^i»^2)- При равных значениях аргументов получим лjy (/,/) ==^= Л^х{Л О» или окончательно Dy(i)^=^Dx(t),769.
Известна дисперсия Dj^{i) случайной функцииX (/). Найти дисперсию случайной функции К(0==-Х(0+2.770. Дано: X{t),— случайная функция, ф(0 — неслучайная функция. Доказать: если К (/) = Х(/)-ф(/), то D^(t)=771. Известна дисперсия случайной функции X{t).Найти дисперсию случайной функции К (/) = (/+3) X (/).772. На вход усилительного звена подается случайнаяфункция Х(/), математическое ожидание и корреляционная функция которой известны: т^^ (/) = /, Kxi^i* '«) === е"°^<^-'»>* ( а > 0 ) . Найти:, а) математическое ожидание;б) корреляционную функцию выходной случайной функции Y {(), если коэффициент усиления fe = 5.Указание.Учесть, что выходная функция / ( 0 = 5Х(/).*) В этой задаче и в ряде последующих задач для простотызаписи скобки (ii, t^ опущены^335773. Доказать, что корреляционная функция произведения двух центрированных некоррелированных случай^ных функций равна произведению корреляционных функций сомножителей.Р е ш е н и е .
Пусть Z(/) = J^(/)^ (/). Математическое ожиданиепроизведения некоррелированных функций равно произведению математических ожиданий сомножителей, поэтому m2(t) = mo(()mo (/).Математическое ожидание любой центрированной функции равнонулю, поэтому ntg (/) = 0-0 = 0 и, следовательно, i (i) ^ X (t) Р' (i).Искомая корреляционная функцияK^^Mli (tt) t (/,)! = М {\к (tt) f" (ti)] ik (tt) ^ Иг)}.Перегруппируем сомножители под знаком математического ожидания:Kz^M{[ Mti) * (^j)l & (ti) P (tt)]yУчитывая, что заданные функции не коррелированы, получим/ С , - М [к Иг) к (/,)! М [^ (tt) V(/,)!,или Kg==^KxKy*Корреляционная функция случайной функции равна корреляционной функции центрированной функции (см. задачу 762), поэтомуокончательно имеем Kg^K^K».Xу774.
Доказать, что корреляционная функция произведения трех центрированных независимых случайныхфункций равна произведению корреляционных функцийсомножителей.775. Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию; в) дисперсию случайной функцииXit) = иcos2t,где U—случайная величина, причемAf((/) = 5, D((/) = 6.Р е ш е н и е , а) Найдем искомое математическое ожидание (неслучайный множитель cos 2/ вынесем за знак математического ожидания):М [X (/)] :=M[U cos 2/J == cos 2/Af (6/)=5 cos 2/,6) Найдем центрированную функцию:k(t)^X (i)—mjc (() = ^ cos 2/—5 cos 2/ = (U —5) cos 2/.Найдем искомую корреляционную функцию:Кх (iu tt)^М[к (/i) к (/,)! = Af {[(^~5) cos 2ii] [(U — 5) cos 2/,!} == cos2^,cos2/,Af (U —5)«.Учитывая, что M{U—5)*=D(f/)=6,окончательно имеемКх (tif ^«)=6 cos 2/i cos 2/,.a) Найдем искомую дисперсию, для чего положим ti^i2^tiDj,(t)^Kx(t» 0 = 6 cos» 2Л33677в.
Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию; в) дисперсию случайной функцииX{t)^UsinSt,тле ^ и—случайная величина, причемM{U)= 10, D ({/)=-0,2.777. Известна корреляционная функция /CxCi» tt) —= titt + ^titl случайной функции X{t). а) Убедиться напримере при 1^=1, t^=2 что абсолютная величина корреляционной функции не превышает среднего геометрического дисперсий соответствующих сечений; б) найтинормированную корреляционную функцию и вычислитькоэффициент корреляции сечений, соответствующих значениям аргументов <i==l, /, = 4.778.
Задана корреляционная функция KxiU* ^t) == /i/,e-i'«-M случайной функции X(t). Найти нормированную корреляционную функцию.779. Найти взаимную корреляционную функцию двухслучайных функций: X{t) = t*U и Y{t) = t^U, где i/ —случайная величина, причем D((/) = 5.Р е ш е н и е . Найдем математические ожидания:ntj, {/) = М (t*U) = /*me.
ту (t) = М (tW) = t^nia.Найдем центрированные функции:Найдем взаимную корреляционную функцию:Rxy^MlS[{ti)l^(tt)]^М{[tl(У-та)][tl(U-ma)]}=^tltlM HU—ma)^]-=-titlD{U)^Stltl.«Итак. /?^y=5/M780. Доказать, что взаимная корреляционная функцияслучайных функций X{t) и К(/) равна взаимной корреляционной функции центрированных функций X (t) иY{t).78Ь Доказать, что при одновременной перестановкеиндексов и аргументов взаимная корреляционная функция двух случайных функций не изменяется: Rxyi^if t^) =782. Задана взаимная корреляционная функцияRxyitif '2) = cos(a<i-f PQ.
Написать взаимную корреляционную функцию Ryxitif ^t)*337783. Найти нормированную взаимную корреляционнуюфункцию случайных функций X (t) — Ш н Y(t) = (t + l)U^где и—случайная величина, причем дисперсия D{U)==i= 10.§ 2. Характеристики суммы случайных функцийТеорема 1. Математическое ожидание суммы конечного числаслучайных функций равно сумме математических ожиданий слагаемых.С л е д с т в и е . Математическое ожидание суммы случайнойфункции и случайной величины равно сумме их математических ожиданий.Теорема 2.
Корреляционная функция суммы двух коррелированныхслучайных функций равна сумме корреляционных функций слагаемыхи взаимной корреляционной функции, которая прибавляется дважды(с разным порядком следования аргументов): если Z{t) = X{t) ++ У (О. тоКгОи /2) = /Сх(^Ь t^)+Ky(tuU)+Rxyi^Ut^)+Rxyltt./i).Теорема обобщается на п попарно коррелированных функций:если К (О = 2Х / ( / ) . тогде пары индексов ((, /) второго слагаемого есть размещения изчисел 1, 2л, взятых по два.С л е д с т в и е 1.
Корреляционная функция суммы некоррелированных случайных функций равна сумме корреляционных функций слагаемых.С л е д с т в и е 2. Корреляционная функция случайной функциии некоррелированной с ней случайной величины равна сумме корреляционной функции случайной функции и дисперсии случайной величины.784.
Заданы корреляционные и взаимные корреляционные функции случайных функций X(t) и Y (t). Найтикорреляционную функцию случайной функции Z(t)=^== X(t) + Y (t), если рассматриваемые функции: а) коррелированы; б) не коррелированы.785. Известны математические ожидания rrij^ (t) = 2t ++ 1, /Пу(/) = < — 1 и корреляционные функции Кх==^^2>/С==е~*^^«~^»>' некоррелированных случайных функцийл ( / ) и К (О- Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию случайной функции Z{t)^X{t)+786. Заданы корреляционные и взаимные корреляционные функции случайных функций X (/) и У (t).
Найти338взаимную корреляционную функцию случайных функций(/(0 = аХ(/)+6у(0 и V(/) = cX(0 + dK (О, гдеа, 6. с. d—постоянные действительные числа.787. Заданы корреляционные и взаимные корреляционные функции случайных функций X(t), У (t), Z{t). Найтикорреляционную функцию случайной функции II (t) == Х(/) + К(/) + 2(<), если рассматриваемые функции:а) попарно коррелированы; б) попарно не коррелированы.п788. Доказать, что формулу /С„= 2 ^ * / + 2 Rx,x, дляотыскания корреляционной функции суммы У (t) =— ^Xi (t) п коррелированных случайных функций можнозаписать в виде /Су = S Кж-х^/«Г789. Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайной функции X{t)^^Ut+Vt^,где и 1Л V—некоррелированные случайныевеличины, причем Л1((/) = 4, УИ(1/) = 7, D(£/)«0,1.D{V)^2.У к а з а н и е .
Принять во внимание, что величины (/ и V не коррелированы, поэтому их корреляционный момент М [U-^m^) (У-^Шр)]»«0.7S0. Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайной функции X ( / ) »«= t/sln<+Vcos<, где и HV—некоррелированные случайные величины, причем M(U) = l, Af(V)==8, D(U) == D(l/)«4.791. Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайной функции X (О =в £/cos2<+V^sin/ + 'f где U и V—некоррелированныеслучайные величины, причем M{U) = 1, Af (10 = 2, D((y) =- 3 , D(K)«4.У к а з а н и е . Прибавление к случайной функции неслучайногослагаемого / не изменяет ее корреляционной функции, поэтому достаточно найти корреляционную функцию случайной функции Y (/) =»792.
Заданы случайные функции X(t) ^Ucost+Vsxn t,K(^)e:f/cos3/ + V^sin3/, где U HV—некоррелированныеслучайные величины, причем Af ((/)»M(1/)»0» D(U) =a«D(V)«5. Найти нормированную взаимную корреляционную функцию PxyUif ^)793. Найти корреляционную функцию случайнойфункции X (<)=(/lCOsa)^/^-ViSina)J<+t/aCOSft^,<+^'^siп(o,^339где ©1, со,—постоянные числа; U^, (/,. К^, К,—попарно некоррелированные случайные величины, причем их матема*тические ожидания равны нулю» дисперсии величин 1/%и Vx равны Dj, дисперсии величин (/, и К, равны D,.§ 3. Характеристики производной от случайной функцииГоворят, что последовательность случайных величин Х^ Х%9• • •, Хп сходится в среднеквадратичном к случайной величине X»если математическое ожидание квадрата разности Хп—X стремитсяк нулю при п-^оо: М{(Хп—X)*J=0.Случайную величину X называют пределом в среднеквадратичном последовательности случайных величин Xxt Xit •-•> X^t .
. . и пишут: Xs=l.i.ni. Х„.Случайную функцию X (/) называют дифференцируемой, еслисуществует такая функция X' (/) (ее называют производной)^ чюТаким образом, производной случайной функции X' (/) называютсреднеквадратичный предел отношения приращения функции к приращению аргумента Л/ при А/ -^ 0:A'(0=l.i.n..^^ii±Mzi£iO.Теорема I.
Математическое ожидание производнойX{t)^xот случайной функции X (/) равно производной от ее математического ожидания:mj>(t)^mjc(i).Теорему 1 можно обобщить: математическое ожидание производной порядка п от случайной функции равно производной этогоже порядка от ее математического ожидания.Теорема 2. Корреляционная функция производной от случайнойфункции X (/) равна второй смешанной частной производной от еекорреляционной функции:/С^(/1./2)-—57;57Г^Теорема 3. Взаимная корреляционная функция случайной функции Х(0 и ее производной равна частной производной от корреляционной функции по соответствующему аргументу [если индекс кзаписан на первом (втором) месте, то дифференцируют по первому(второму) аргументу]:R^ (/1, / . ) -5j^.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
