1629215821-cc57de1771f9fcf148c7b78f76a4ecbb (845956), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Найти оценку / ; интеграла \-jdjc.У к а з а н и е . Для определенности взять 20 пар случайныхчисел с тремя знаками после запятой из таблицы ориложейия 9,начиная с первой строки сверху.328751 • Найти оценку /J интеграла Je^djc.оУ к а з а н и е * > .
Для определенности взять 10 пар случайныхчисел с тремя знаками после запятой из таблицы приложения 9,начиная с первой строки сверху.7 5 2 . Вывести формулу^*' *- ^1114> {x^)-g(xi)] +U(x)Ы\dx,aгде X{~a + (b—a)r^^ g (x) di ц> (x), для оценки интегралаb/ = J Ф (X) dx.aР е ш е н и е . Введем в рассмотрение случайную величину X,распределенную равномерно в интервале интегрирования (а, Ь)с плотностью/(x)ssl/(b—а).Допустим» что найдена такая функция ^(дг)» которая смалоотличается» от (р(х) и интеграл от которой можно вычислить, неприбегая к методу Монте-Карло. Тогда математическое ожиданиефункцииbF (X) - (р-а) [ф (X)-g {ХУ\ + J «(*) <Ufаравно / .Действительно» учитывая» что величина X распределена в интервале интегрирования (а» Ь) равномерно с плотностью 1/(6—а)»получимbbааЪаТаким образом, в качестве оценки математического ожиданияAi[F(X)], а следовательно интеграла /» можно принять среднееарифметическое п значений функции F{Xy.пьЫ\aгде дг/—возможные значения X, которые разыгрывают по формулеXi^a+{b—a)ri.^753« Найти оценку 1\ интеграла*) Это указание относится в к задачам 754» 755.329Р е ш е н и е .
Так как УТ+1с^^1 + (\/2) х^+.,.(\х\<\),топримем g(x)^l + (\/2)x^. Тогда, полагая число испытаний пз»10«имеем оценку'•*-fof [V'^-('+T''')]+| ('+т ")'^Выполнив элементарные преобразования, получим10<= IУчитывая, что а «О, Ь^\^ возможные значения Х{ разыграем поформуле Xi9sa+(b—а)Г(=Г{.Результаты вычислений приведеныаол. 68.в тасТ а б л и ц а 68Номериспытания {10Iх(шп0«100 0 . 9 7 3 0,2531 0,376 0 , 5 2 0 | О, 135 0 , 8 6 3 | !0,467| 0 . 3 5 4 0 , 8 7 60«01Ш0,947 |о«064| 0.141 0 , 2 7 0 |0,018 0 . 7 4 5 |0.218| 0 , 1 2 5 | 0 , 7 6 71 , 0 1 0 1.947 1.064! 1.141 1,270| 1,018 1,745| 1.218 1,125 1,7671.005 1,395 1«032| 1,068| 1, 127 1,009 1.321 1,104 1.061| 1,3292 , 0 0 0 | 1,843| 2 . 0 0 0 1,995 1,984 2 , 0 0 0 1,897 1.990 1.997| 1,891Сложив числа последней строки табл.
68, найдем сумму 19,597,подставив которую в соотношение («), получим искомую оценкуинтеграла/Г = (19,597/20)+(1/6) = 1.145.Заметим, что точное значение / = 1,147.1754. Найти оценку /Г интеграла j e^dx.Указание.« 1 + Х+...Принять функцию g(x)=^\ + x, так как е^»^755. Найти оценку /J интеграла J е-'*/^ dx.оУ к а з а н и е . Принять функцию ^(jc) == 1 — (JCV2), так каке-«*/««1—(х«/2)+»..Часть пятаяСЛУЧАЙНЫЕ Ф У Н К Ц И ИГлава шестнадцатаяКОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЯ§ 1 . Основные ПОНЯТИЯ. Характеристики случайныхфункцийСлучайной функцией X (/) назьюают функцию неслучайного аргумента /, которая при каждом фиксированном значении аргументаявляется случайной величиной.Сечением случайной функции К (/) называют случайную величину, соответствующую фиксированному значению аргумента случайной функции.Реализацией случайной функции X{t) называют неслучайнуюфункцию аргумента /, которой может оказаться равной случайнаяфункция в результате испытания.Таким образом, случайную функцию можно рассматривать каксовокупность случайных величин (Х (О}» вависящих от параметра /,или как совокупность ее возможных реализаций*Характеристиками случайной функции называют ее моменты,которые являются неслучайными функциями.Математическим ожиданием случайной функции X (t) называюнеслучайную функцию mx(t), значение которой при каждом фиксированном значении аргумента равно математическому ожиданию сечения, соответствующего этому же фиксированному значению аргумента:mx(i)^MlX(i)].Свойства математического ожидания случайной функции.
Свойство 1. Математическое ожидание неслучайной функции ф (/) равнсамой неслучайной функции:Л1[ф(01«Ф(0*С в о й с т в о 2< Неслучайный множитель ф(/) можно выноситва знак математического ожидания:Л1[ф{/).Х{0]=Ф(0Л^1Х(/)]-ф(/).т;,(0.С в о й с т в о 3. Математическое ожидание суммы двух случайных функций равно сумме математических ожиданий слагаемых:М [Х (i)+Y(t)] - m ^ (i)+m„ (i).Свойство можно обобщить на п слагаемых функций:л^Гз^х/со!- i;^m^^(/).С л е д с т в и е . Если X(t) —случайная функция, ф(/)—неслучайная функция, тоMlXli) + ip(i)]^mx(i)+q>(i).Дисперсией случайной функции X(t) называют неслучайную неотрицательную функцию Dx (О» значение которой при каждом фикси331рованном значении аргумента t равно дисперсии сечения, соответст*вующего STOBiy же фиксировакному значению аргумента:D^(/)=.D[X(/)].Средним квадратическим отклонением случайной функции навают квадратный корень из дисперсии:Свойства дисперсии случайной функции.
С в о й с т в о 1* Дис^Персия неслучайной функции ф(/) равна нулю:о[ф{/)]«аС в о й с т в о 2. Дисперсия суммы случайной функции X (t) инеслучайной функции fp(t) равна дисперсии случайной функции:/> W 0 + 9(01 = Dx(0.С в о й с т в о 3. Дисперсия произведения случайной функции X(/)на неслучайную функцию ф(/) равна произведению квадрата неслучайного множителя на дисперсию случайной функции:О1Х(0Ф(01«Ф*(0Ох(0*Центрированной случайной функцией называют разность междуслучайной функцией и ее математическим ожиданием:Корреляционной функцией случайной функции X(t) называютнеслучайную функцию Кх (hf ^s) Двух независимых аргументов t^ и/f, значение которой при каждой паре фиксированных значений аргументов равно корреляционному моменту сечений, соответствующихэтим же фиксированным значениям аргументов:Kxltu /t) = iW[^(/|).^(/2)l.При равных между собой значениях аргументов tf^t^^tкорреляционная функция случайной функции равна дисперсии этойфункции:Kx{t.i)^D^(i).Свойства корреляционной функции.
С в о й с т в о 1. При перестановке аргументов корреляционная функция не изменяется (свойство симметрии):KxiH. t^^Kxitt.ti).С в о й с т в о 2. Прибавление к случайной функции X(t) неслучайного слагаемого w(t) не изменяет ее корреляционной функцииесли К ( 0 « Х ( 0 + Ф ( 0 . тоKy(ti. tt)=-Kx(tu tt).С в о й с т в о 3. При умножении случайной функции X(/) нанеслучайный множитель ф (/) ее корреляционная функция умножаетна произведение ф(^l)•ф(/t): если У lt) = X (t)^(p(t), тоКу (/1, tt)^K^ (tb /f) ф {ix) Ф (/•)*С в о й с т в о 4.
Абсолютная величина корреляционной функциине превышает среднего геометрического дисперсий соответствующсечений:Kxitb ttXVOx{tx)D^(t^.332Нормированной корреляционной функцией случайной функцииX{t) называют неслучайную функцию двух независимых переменныхН и /s, значение которой при каждой паре фиксированных значенийаргументов равно коэффициенту корреляции сечений, соответствующих этим же фиксированным значениям аргументов:Абсолютная величина нормированной корреляционной функциине превышает единицы: |px(/i> ^з)!^^*Взаимной корреляционной функцией двух случайных функций X (Ои У (/) называют неслучайную функцию R^y (tu /г) Двух независимыхаргументов if и /(, значение которой при каждой паре фиксированных значений аргументов равно корреляционному моменту сеченийобеих функций, соответствующих этим же фиксированным значениямаргументов:Rxy(tu /«) = A!(Jt(/i)f^ (/,)].Коррелированными называют две случайные функции, если ихвзаимная корреляционная функция не равна тождественно нулю.Некоррелированными называют две случайные функции, взаимная корреляционная функция которых тождественно равна нулю.Скойства взаимной корреляционной функции.
С в о й с т в о 1.При одновременной перестановке индексов и аргументов взаимнаякорреляционная функция не изменяется:Rxy(tu tt)^RyAtt.h).С в о й с т в о 2. Прибавление к случайным функциям X(t) иУ (t) неслучайных слагаемых ф (/) и ф (О не изменяет их взаимнойкорреляционной функции: еслиXi(/) = X ( / ) + 9 ( 0 , К 1 ( 0 = К ( / ) + ф ( / ) ,то/?x,y,(^. tt)^R^y(tt.t^).С в о й с т в о 3.
При умножении случайных функций X(t) иУ (О на неслучайные множители, соответственно ф(/) и ф(/), вэаим*пая корреляционная функция умножается на произведение ф {t{) ф (i^y.еслиXt{t) = X(t)<p(t). К1(0 = К ( 0 ф ( 0 .тоRx^y^(h. t^^Rxyitu/1)-ф{^£)*(/,).С в о й с т в о 4. Абсолютная величина взаимной корреляционнойфункции двух случайных функций X(t) ы У (i) не превышает среднегогеометрического их дисперсий:\Rxy(tu tt)\^Vo^(H)Dy(tt).Нормированной взаимной корреляционной функцией двух случайных функций X(i) и У (О называют неслучайную функцию двухнезависимых аргументов tf и /«:^о^ (tt) Оу (/,)VD^ (tг) VOy (U)Абсолютная величина нормированной взаимной корреляционнойфункции не превышает единицы: \Pxyihi ^ t ) l ' ^ b333756. Случайная функция X (/) = (/* +1)17, где f/—случайная величина, возможные значения которой принадлежат интервалу (0,10).
Найти реализации функцииX (t) в двух испытаниях, в которых величина U приняла значения; а) «1 = 2; б) и, = 3,5.757. Случайная функция X {t) = U smt, где U—случайная величина. Найти сечения X{t), соответствующиефиксированным значениям аргумента: а) t^ = n/6;6) / , == я/2.758.
Доказать, что неслучайный множитель можно выносить за знак математического ожидания:М[Х(0-Ф(0] = Ф(0-/п^(0.759. Найти математическое ожидание случайной функции X ( 0 = f^e^ где и—случайнаявеличина, причемM(U) = 5.7в0. Доказать, что математическое ожидание суммыдвух случайных функций равно сумме математическихожиданий слагаемых:У к а з а н и е . Принять во внимание, что при любом фиксированном 31|ачении аргумента сечение случайной функции есть случайная величина.761.
Найти математическое ожидание случайной функции: a)'X(t) = Ut^ + 2t + U б) X{t) =Usin4t+Vcos4t,где и и V—случайные величины, причем М (U) = M(y) == 1.762. Доказать, что корреляционная функция случайной функции X (/) равна корреляционной функции центрированной случайной функции: X{t) = X{t)—т^Ц).763. Доказать, что при равных между собой значенияхаргументов корреляционнаи функция случайной функцииX\t) равна ее дисперсии: /С^с(Лt)^Dx(t).У к а з а н и е . Принять во внимание, что, по опрег^1ению дисперсии случайной величины X, Dj^ = Af[(X—/Лл)*] = Л1 [(Х)*).764.
Доказать, что от прибавления к случайной функции X (/) неслучайной функции ф (/) корреляционнаяфункция не изменяется: если Y(t) = X{t)+^{t),тоРешение. Найдем математическое ожидание:my{t)=^M[X (/)+Ф(01 = т* ( 0 + 9 ( 0 .Найдем центрированную функцию:^ ( 0 = К(0-т»(0=Г'^(О+ф(0]-('Пх(О+ф(0]===Л(/)-т;,(0=А:(0.334Таким образом, У^ ( 0 = ^ ( 0 Найдем корреляционную функцию *>:Итак,Ку^Кх*765. Известна корреляционная функция Кх случайной функции X{t). Найти корреляционную функциюслучайной функции К (О = Х (/) + /*.766. Доказать, что при умножении случайной функции X (t) на неслучайный множитель ф(/) корреляционная функция умножается на произведение ф(^1)*ф(/2)'767. Известна корреляционная функция Кх случайнойфункции X{t).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
