1626435917-d26f9677b92985e7688f24b5e74711ce (844351), страница 150
Текст из файла (страница 150)
Тогда »вга»»т» Т»е» Е Я (гпДЕ) =-. 212' 11412( — ' — — — '~ —,,- Х 1, и» (Еа!+»»»2), ав +~'"-"--;", -+. ~- — "'",— „', (.—,) Ц '..(-4)". (П2.2.8) у(111 2 ) —.: —. 2»в»Е,Я,, )»Х22М,ЙТ и, (»7(ОО)В' М ' ' .Х( у ((2ас.— 1) с2" .(- (2ез+ 1)в и') — ' —.„ Легко показать, что яз — Всегда Очень малая Величи1ш за исклвочвиием того случая, кеггда очень велика относительная скорость во. НО большие зпачшп!я Относитсльноп скорости ие представляют для нас интереса, так как число молекул с вакими скоростями мало, поскольку зкспоненпиальпый член в максвел. ловском распределении очень. бь1стро уменьпиется прн переходе за среднеквадратичную скорость. Мы имеем ппиложение 2 — з~т Я о2 2 и О о З!!о И ОЕ=12 —, 2 оо 1(г).= —,, и ),'= — — ' Я (2п!Е1) -~(' Р1Р2 2 о ОДНОГО 3)~ и е-"ео о(е = — — ° 8 и тогда 1 Среднеквадратичное значение оо таково, что Для того чтобы ее не было крайне малым, нужно чтобы во имело очень большое значение 2!о= — 2ф312'.
Поэтому мы можем заменить функцию ае ее разложением в ряд, ограничиваясь при этом его первым членом, и можем, наконец, написать (2ЕД1) 3 )27!М2)Г2иМ„ЬТЕ2) 27(цо)с- *е о(е, (П2.2,9) (Здесь мы учитываем, что е' очень мало по сравнению с го.) Согласно формуле (П2.29), импульс, передаваемый молекулами одного газа молекулам другого газа, пропорционален относительной скорости движения масс и,,*, как и должно быть в случае, когда и мало по сравнению со средней скоростью хаотического движения молекул. Остается выполнить еще одно интегрирование„которое обычно требует графического решения, подобного выполненному Максвеллом в случае силы отталкивания, обратно пропорпиональной пятой степени расстояния. Прежде чем переходить к применениям этой общей формулы, убедимся сначала в том, что она дает точно такой результат, который получил и Максвелл в случае силы, обратно пропорциональной пятой степени расстояния.
Чтобы воспроизвести результат Максвелла, предположим, что сила отталкивания обратно пропорциональна (и+!)-й степени расстояния между молекулами; (Здесь и — — — 4.) Тогда если мы положим то по формуле (П2.2.3) получим угол Ю как функцию только угла а: ) "1 — Р' — (2/п) (Р/а)~ ,7(ао)=- [ соз21))ЬооЬ =-[ [ ~ созоФао(а. ( !)(по'о l ° ъl„ оы'1исление коэФФициентОВ диФФузио! и подаижносои 797 Остаю!цийся интеграл представляет собой константу, вычисленную графически Максвеллом для случая л=4. Произведение этой константы на 4п Обозначается через А1'.
Вычислим эту константу тем же методом, что и Максвелл, но прп произвольном п. Максвелл ([4), стр. 197) полагает А =А 1 ~ т, !по (т, + !по) 1 Откуда ) — '=-.—.~ '- Г !о!+ то !Фп .4о Ао Г т, т, (т! + т,) 12п оо Подставляя это выражение в общую формулу (П2.2.9), получаем 2 )у! Ж т/22 )4 ьт [т1то(т'+то) [в * ( — уо — Фп) Ы о Заметим, что это выражение содержит Т в степени (1(2 — 2!!л) и что 1!!1 и 122 изменяются обратно пропорционально абсолютной температуре, если при изменении температурь! газы поддерживать при постоянном давлении.
Таким образом, величина М(лоД1) пропорпиональна у ''"' '"'. Мы воспользуемся этим результзтоы позднее Если положить л=4, чтобы воснроизвестн результат Максвелла, то выражение для,У (л11е!) примет вид так что Я (л21а!) = '42Р1Р2112 '~э 1Р2( 2 1)' что в точности совпадает с результатом, полученным Максвел- ЛОМ. ПРИЛОЖЕНИЕ 2 й 3. 1(оэффициент взаимной диффузии для модели упругих шаров Сравним выводы, полученные методом средней длины свободного пробега и методом переноса импульса, относительно взаимной диффузии двух газов, молекулы которых представляют собой по предположению упругие шары, взаимодейству1ощие между собой только в момент столкновения. Пользуясь метолом средней длины свободного пробега, Больцман ((41, стр. 96) получил для диффузии молекул т1 в газе т2 выражение в котором концентрация П21 считается пренебрежимо малой по сравнению с концентрацией т2.
Применим ~еперь ь этой задаче метод переноса импульса. Допустим, что внешние силы отсутствуют и что движение масс достаточно медленное, чтобы можно было пренебречь ускорением в уравнении движения (П2,!.9), которое тогда принимает вид Чтобы вычислить сечение 17(о,) для модели упругих шаров положим Ф = агсз)п —. Ь Е>,2 Тогда д2 О2 17(ОВ) =- ) соз'ФйгИ=- ~ 1 — — 2 д2//2= — '=' 2 1212 4 32 ОЭ Я( ь)= 3 /(/ЮТ2.А4.йТ(и — и,) —,12 ~е-н 2 (е, или Я(гд1З1) = 3 д/1/1/2Р12 1/ 2ЛА4„/2Т (Ц2 — - и,) =- А/2/1/2/2 (и2 — - а ). 8 Уравнение диффузии будет иметь следу1оший вид: П1 П2 дР1 А2Ч1Л12 дх ' 14о нз выражения (П2.1.6) следует, что р,=/У1йТ н РТ 1 ду~, М1 — - Иа= А2УЕ Р, ~.~ ' ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ДИФФУЗИИ И ПОДВИ)КНОСТИ 799 Сравнивая это уравнение с уравнением для коэффициента диффузии У12 У11 дР, 2 дх получаем ~гг 3 / 227 ')Ч1 АД12 161112В2 ( ™, Если не считать численного коэффициента, который не имеет существенного значения, то (П2.3.2) отличается от (П2.3.1) только заменой М, ва (1п1+гп2).
Различие более значительно, если массы пй и Л22 очень снлыю отли шются одна от другой, так как коэффициент диффузии, определяемый методом переноса импульса, намного больше. В самом деле, мы имеем у„рчх / 2 ЛН1 — = — — ', 1Х+ — ), ГДЕ Х' ==- — '. 1 52)0 РН ' Минимум этого отношения соответствует х=1, т.
е, равенству масс п21 н Л12. Минимальное значение Я12/( Я12)2 — — 9п/16=1,767. Таким образом, коэффициент диффузии, получаемый методом средней длины свободного пробега, слип1ком мал, и различие увеличивается при отклонении х от 1 в ту или другую сторону, бесконечно возрастая при увеличении разности масс Л21 н т2. Формулу подобную (П2.3.2), можно вывести на основе результатов, полученных Максвеллом (6) в его ранних работах по кинетической теории, где впервые были введены динамические условия столкновения, побы дополнить чисто статистические положения метода длины свободного пробега. В принятых нами обозначениях формулу, к которой приводят эти результаты, можно написать в следующем виде: У (1ДД1) = 21У 21/2/21 ~~~КМ ЕТ (из — И1).
Отсюда мы получаем коэффициент диффузии (П2.3 3) который отличается от точного значен1ш только множителем '/, Эта разница в численных значениях объясняется предположением Максвелла о том, что скорость одинакова для всех молекул одного и того же рода. Очевидно, что в общем вывод Максвелла строгий, так как в нем использованы динамические условия столкновения и получается правильный результат, если учесть распределение по скоростям, как мы это делали в случае произвольного закона изменения силы. приложениг з й 4. Влияние гемпературы Согласно формуле (П2.3.3), коэффициент диффузии при постоянном давлении пропорционален Т"ч Такая же зависимость от температуры получается в случае силы, обратно пропорциональной очень высокой степени расстояния. Действительно, мы видели, что в случае силы, обратно пропорциональной (и+1)-й степени расстояния, величина Я(>н>е!) при постоянном полном давлении смеси газа изменЯетсЯ как Т-<"'+>1">, т.
е. Я!|и бУдУчи пропорционально Я, изменяется как Тгз+""1 н, следователыю„ при очень большом п — как Т'1 . В случае силы, обратно пропорциональной пятой степени расстояния, п=е>, и мы находим„в согласии с Максвеллом, что коэффициент взаимной диффузии пропорционален Тз. Метод интегрирования, который позволяет получить эта решение задачи о взаимной диффузии двух газов, по видимому, нельзя применить к вычислению вязкости или теплопровадпости газа.
Дело в том, что при диффузии отклонения ат максвеллов- ского распределения по скоростям несущественны, а в других явлениях они важны. $ 5. Вычисление подвижности Мы привели формулу, обобщающую результаты введенного Максвеллом динамического метода в кинетической теории газов„ и применили ее к простому случаю, когда молекулы отталкивают друг друга с силой, обратно пропорциональной пятой степени расстояния. Было показано, что при любой форме взаимо. действия импульс, передаваемый друг другу за счет молекуляр. иых столкновений компонентами смеси двух газов, можно вычислить по формуле (П2.2.9) ~Э 32 йе(и>~1) = .! >~'1>!"1)е 2п>г),йТ(из — и|) ~ !)(оо) е' мвзе(з.
Применим теперь эту формулу для вычисления подвижности иона конечных размеров, движущегося через газ, молекулы которого притягиваются к иону силами поляризации. В тех случаях, когда ионов чрезвычайно мало по сравнению с нейтральными молекулами, при вычислении подвижности ионов их взаимные столкновения можно не рассматривать. Если через К обозначить диэлектрическую проницаемость газа и, при давлении р1, содержащего 1!|1 молекул в единице объема, то сила, с которой молекула притягивается к иону с за- зычцслы|ие козье>|ц1|гитов ними~а!!11 |1 подвижности ез| рядом, находящемуся нз расстоянии 1' От нес, равна приблн- ЖСНПО К вЂ” 1 е' 2вФ, е" н соатветГ!вует потл1цназ| ||Ой эн!|ргни К -1е| Яйй, !' ' где Р>Х> — внсн!ПЯЯ сила, д|'йствтю|цзз !1з й!з напав, содейжа нщхся в единице объема газа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
