1626435917-d26f9677b92985e7688f24b5e74711ce (844351), страница 149
Текст из файла (страница 149)
!»ио др, (П2.1.10) Это уравнение представляет собой уравнение переноса импульса, которым определяется движение первого газа. Если это движение массы происходит цостаточно медленно, то (иь оь пии) бУдет очень мала по сРавнению со сРедними значенивмп (82, Чь ги), скоростей термического возбуждения молекул, При таких условиях отклонения от максвелловского распределения чрезвычайно малы, и мы можем считать, что распрецеление — максвелловское и, следовательно, изотропное относительно скоросип движения массы.
Тогда уравнение (П2.!.В) принимает вид р,,' + дх' =риХ!+Ю(пий) (П2 1 9) Вычисление ЕОВФФициентОВ диФФузии и пОдвижности 78ч 5 2. Вычисление импульса, передаваемого за счет столкновений Вычислим тепеРь величинУЯ (лииви), котоРаЯ ВРедставпает собой импульс, передаваемый в столкновениях между молекулами различного рода, Не изменяя уравнений движения молекул и, следовательно, не изменяя результатов„мы можем сообщить осям координат постоянное перемещение со скоростью (и, В, аи ), чтобы исключить скорость движения массы первого иь и, пии), и=о Ф ии г. П2.2.!. газа. Тогда (и„ о,, аио) будет представлять собой скорость относительного движения масс, и уравнения, таким образом, примут более простщо форму.
Больцман (4) показал, что Я(ипи,яи) можно записать в нице Я'(ечи8и)=ти ~ ~ ) ) йий2(еи — Еи)подо!тии(тои(Ьиияи (П2.2.1) о о о о е л (~'. Ч', ь') — скорость, приобретаемая после столкновения молекулой (еи, Чи, 12), которая встречается с молекулой (82, 21„ 82). Относительная скорость молекул перед столкновением равна »Ф )' (ь2 ь!) и (Ч2 Ч!) + (ь2 ьи) Динамика столкновения определяется относнтельнойи скоростью и параметром столкновения Ь следуюицим образом. Прямая п22Х2 проходит через молекулу П22 н параллельна осии Х (фиг. П2.2. ).
..! . й4олекула пии движется относительно то вдоль линии МН, которая параллельна тоб. Плоскость Р проведена через тп2 и перпендикулярна тоб. При отсутствии сил ти пройдет на расстоя- ПУИЛОЖЕНИЕ 2 нии Ь от т2 н встретится с плоскостью Р в точке М, причем ази. мутальный угол будет равен 42. Ось 22==0 определяется пересечением плоское~ей Р н т26Х. При введении центральной силы относительная траектория т, искривляется, но лежит целиком Ф н г. П2.2.2.
Угол Н = к — 26 — угол рассеивав н системе центра масс; Ь вЂ” паРаметР УдаРа; г — Расстояние междУ 2н, в тм в плоскости 6т,М. Ее форма определяется относительной скоростью я законом, которому подчиняются силы, действукпцие между молекулами. Относительная траектория молекулы т2 состоит нз двух ветвей, которые симметричны относительно прямой, соединяющей апсиды — точки А н Е на фиг. П2.2.2. Апсиды — это точки наибольшего приближенна т2 и т2 к центру масс.
После столкновения относительная скорость Х)6 образует такой же угол Ф по Отношению к АЕ, как начальная относительная скорость Вгг. Вычисльние кОВФФициентОВ диФФузии и пОдВижнОсти 791 Изменение компоненты скорости ~, дается как функция Ф и начальных скоростей выражением и', — ~ = — ' — ~2( — ~,)соз2Ф-+-)~ э'.--(2.,--~,)~з1п 2Фсозгр] »а~+ м: Если мы введем приведенную массу ггй т, (П2.2.2) т, +Г2Ь и обозначим взаимную потенциальиук2 энергна молекул т, и те через (», то можно вычислить Ф, пользуясь уравнением (см. гл. 3, 54): м Ф=-.. ~ -==-='" ==-==-.
(П2.2.З) ,2 (2У(М г2) Здесь р==-Ь/», где» вЂ” расстояние между молекулами„а ров наименьший положительный корень выражения, стоящего под знаком радикала, т. е. самый дальний пуль знаменателя. Предполагается, что сила являенся непрерывной функцией» и что »и, и те в действительности не сталкива~отся. Если же мы предположим, что между т2 и т2 происходит упругое столкновение, но что ани взаимодействуют только в момент столкновения, то найдем, что относительная траектория со.
стоит прас~а из двух отрезков прямой линии и по Ф определяется выражением Ь Ф.= агсз1п —.- »2",2 (П2.2.4) (П2.2.5) где 022-- сумма радиусов молекул т, и ть которые рассматрвваются как сферические. Если, наконец, предположить, что молекулы притягивают одна другую и затем испьпывак2т упругое столкновение, то относительная траектория остается симметричной, но имеет разрыв первой производной в А в момент столкновения; тогда Ф будет выражаться следуюецим образом: еи Ф=- ] — —, ей , ]1-~2'-(2У/Ь1,2,',)1У ' где ре равна Ь/022 и соответствует зиачшшю р в момент, когда происходит столкновение.
Если заменить (В,' — - $,) В выражении (П2.2.1) па приведенное выше значение, то в реаультате получим М(тД,) 4ПМ„) ~ ] Цгае 52 — -42) созеФЬ с(т, с(т2 с(Ь. е о о нейм ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Мы должны здесь выполнить семь последовательных интегрирований, так как каждый из дифференциалов 11т! и А2 соответствует произведению трех дифференциалов. Чтобы упростить выражения для )1 и )2, мы можем выбрать ось Х, которая до сих пор оставалась неопределенной, так, чтобы она была параллельной относительной скорости двух газов, Тогда относительная скорость запишется как (и2', О. О) и мы получим следующие выражения для )1 н )2: ~, = с, ехр ( — Ьт1 (52, + 1)2+ ь2)1, ) =с ехр ( — Ьт,(($ — й)2+ П22+ Ц().
Угол 1)! при да1иом законе сил зависит только от Ь и о,, которые определяют о~носительную траекторию. Введем сечение') 1)(ое) = ) соз ФЬс(Ь. (П2.2.6) Тогда .В' (тЫ = 4п1Иг ~ ) Цепс!у (оо) ($2 — ~1) с(т! с(т2. (П2,2.у) В час~ном случае (рассмотренном Максвеллом) силы, обратно пропорциональной пятой степени расстоянии, величина о,д(ое) оказывается константой и относительная скорость о, исчезает нз интеграла. Остается только 11~2(е2 е1) ! 2 1 2 2 '~1 2(Н2 Н~)" Таким образом, задача сводится к вычислению константы ооу(ое), что ие представляет особой трудности.
В общем случае наличие о, в интеграле заставляет прибегнУть к следУюп2емУ УхищРению: считать оо постоанной и свЯзывать с каждой скоростью ($2, т)„~2) только те значения (в1, пь ~1), которые соответствуют значениям оо, лежащим между ое и не+с(ов. Эта область ($1, 2)1, ь1) зависит от двух параметров, и мы можем легко выполнить пять интегрирований, которые соответствуют вариациям зтих двух параметров и ($2, 2)2, Ч2), н отложить на самый конец шестое интегрирование по оо.
Важно выбрать удобный порядок выполнения и1пегрирования. Рассмотрение упрощается, если мы представим каждую скорость точкой с коардинатамн (5„2)1, Г1) или ($2, 2)„~2) относи- ') Эта сечение равно сечению диффузии о, = 2я ~ (! — сов 8) Ьее. леленноиу на 4н (сн. гл. 9. й 2). Вычисление ЕОЗФФициентОЕ диФФузии и ИОдвижности 7Н13 тельно начала координат О (фиг. П2.2.3).
Пусть о, будет представлена точкой (С2, !)2, (2). Точки ($1, 2)ь Ь1), которые мы можем связать с ней, буду~ находиться между двумя сферами с центром о и радиусами о, и оо+г(оо. Пусть г1 и га — расстошшя ОО1 и Оо,, равные величинам скоростей (21, Пь ь1) и ($2 Пн ь2). г— ф и г.
П2.23 Углы сс (между Оо, и Ос), () (между плоскостями О,ОО2 н 1,Оое), у (между о,о, и Оса) и азимут б точки о2 по отношению к О~ являются вместе с г, пятью параметрами, которые мы связываем с оа. Мы можем тогда написать с(т! = Оса 22п Ус(У 4~боо ~2+ 1)2+~="=ге+ Фос — 2гРосозУ 1 1 1 1 2 и Ь вЂ” $1 — — гооСОЗ у — +Оаа!П уСОЗ р( ) 2/ * Г2 / Тогда ~',~"„"=~~(4 — Ы,а(ЛЬ( ( =- ( сад(с )(й — $ )с Х 'Ус, ехр ~ - Ьт11га!+ Ооо — 2гсоосое у)1з'и ус(усгйдФо ПРИЛОЖЕНИЕ' 2 и соотношение ю +в Мах' »-2вх» »В ь2 = г2 соз а Подставляя н ... )'» (и„,")" заменяя (а2 — а1) его значением, приведенным выше, и замечая, что член с совр исчезает, мы получаем А(~~4~) 2лс ~') еа о»т ~ 4, (о) -еа"1('24оо),( Е 2а»п»»»о» сост З Ш у СОВ у Е(у— (ь 2Ь»л 2 2, ~о47(оо)иоо 1 — - 1(2(зп»гвидо — 1)в-е н»,— ся ) о ~-д- '2 + (2птЕГЕТЕО+1) В.Е»~Н»» с~»т) ( Е)Т Теперь запишем ит = — 2пг2 соз а е(г 42а где мы проинтегрировали по 6 от О до 2п.
Напишем также )2 = — с., ехр( — Лт,(г,' — 2гаи", соз а+ и.*,')). Тогда 2 2 ~ ОЕ»Е( о)Е( охю Х ) ((2Лтргооо+1)г " н' в+(2Ьт»хвт» — 1)в-л» 0»»-с»Р) Х о 2»в) -Л»»» (» .а2 ) Г 2оо» сова р,'с 1 ' г(г2) с 2'"' созаз1пае(а, о 4 2 2 2 ~ ОВ»( О) Охю ((2( - 1 1),— ат»Е»»»о»4» ( (»ю»44 1 . 1)»-мвн»»-.о1) ~ .г » в Х '1(2лептг и, "+ 1) с "'"'"( 24 "Ет +(2Ьлтгзи' — 1)г "'а21" ао) 1-'-"-„'"-. При интегрировании по г, мы используем формулу М»Е» 4 с Ео»» 1 С 1"""2' 441аХ= ~ С "СЕХ=-'р'П- —— )ха ВЫЧИСЛНЕИГ. КОЗЕ»ОИЦИВНТОВ ДнааВЗЕНЕ и ПОДВИжНОСтц ТОВ Чтобы закончить вычисления, остается после пятикратного интегрирования заменить с1 и св на их значения, определяемые соотношением (П2.1.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
