1626435917-d26f9677b92985e7688f24b5e74711ce (844351), страница 148
Текст из файла (страница 148)
Интересно отметить, что величина )гЛ~Р зависит от Хь. Если среднеквадратичное отклонение частицы равно 90' при прохождении в среде расстояния Хэо., то прн прохождении расстояния, равного 100)юо., частица испытает около 10 отклонений на 90'. Рассмотрим теперь Лго частиц, падающих на рассеивающую среду глубиной 7,.
Доля частиц, которые испытали рассеяние на угол, лежащий между Ф и Ф+с(Ф до выхода из среды, по статистической теории (6) равна Ль (Ф) ьСФ 2Ф Ль Ф" Ф Г вЂ” Ф' ~Л'Х'-" '" (ЬУ мьнс7Ь! ьж«) "!' (2лдгд()ь !и (Ьдььь,!Ь ) ~ С"Ф (П1.2.6) РАзличие межДУ плАзмОЙ и Огьычыым иОнизОнднным гдзОм 788 Поэтому доля падающих частиц, рассеянных на углы, превышающие 1~ Фх, определяется выражением = е -«"'еи с(Ф = —. ую (П1.2.7) Сравним теперь вероятность многократного кулоновского рассеяния па большие углы с вероятностью кулоновского рассеяния на большой угол при однократном столкновении.
При таком сравнении необходимо учитывать глубину рассеивающей среды. Если среда очень тонкая, как в опыте Резерфорда, то может произойти лишь мало многократных столкновений с отклонением на большие углы н должны преобладать отдельные столкновения с рассеянием па большие углы. Если же среда очень толстая, то вероятность обоих типов рассеяния равна единице. При промежуточных значениях толщины оказываешься, что рассеяние на большие углы в основном складывается из многократных столкновений с рассеянием на малые углы. Найдем сначала из соотношения (П1.2.5) толщину ).ю при которой 1г'ЛОЗ вЂ” л!2 Получим ).с 8Лг()ь (и (ЬЬ, ЬГ ) (П!.2.8) Согласно (П1.2.7), если группа частиц проход!и это расстояние, то их доля, равная 1/е, рассее~ся на углы, превышающие 90, в результате многократного рассеяния на малые углы.
Вероятность того, что частипа испытает однокрапюе кулоновское отклонение на угол, превышающий 90', при прохождении того же расстояния )эьг в среде, равна') л()ь ль Р (Ф>90)==-Лг)ю" =-, (П1 29) 82 !п (Ьу минь~ау мии) ') Данное ныряженне получено путем яыынслсяня сечения отделкой частнцы-мишени для рассеяния на углы, болыпие ыем 90', н уьпьо>кеььия этого сечения л(!ь(4 нн полнос число рассеььяяьоьднх пектроя н слое среды толщиной Хьь см и плсицадью попереыььо~о сечении ! смь Это чнш:о равно отношению полной плошади, на которой происходят рассеяние, к нормальной площади поверхности ! ем*'.
Для достаточно тонких ьпыпсней получающееся я результате ныркженнс предстяяляег собой также вероятность однократного рассеянна ня углы, большие 90' [см. яыражепне (П! 29)1. Но это ныраженне не дает истинной вероятности, тяк кяк прн А-э со яелнынпэ Р,(Ф>90') стремятся не к единице, н к бесконечности Таким образом, вероятность многокра~ного рассеяния в этом случае в 321п (Ь)ььнкс(Ььььь ) раза, т. е, в !2 — 24 раза, больше вероятности однокрапюго рассеяния. 784 пниложиник (П1.2.11) л нтсявт»РЛ Ь у е Р., Н и с1 е( Е., РЛув.
вв., 24, 185, '05 (19231 2. Ландау Л. Д., Лифши у . Д., ф шип Е. М., Статисгнчсскан физика, М,, 1954 1Ьо11 й. 1, РЛув. Г1псбв, 2, 40 (19591. 4. 0!а вв1о не 5., Е о уЬ ег й. Н., Сопйо!!ед ТЬеппопис!еаг йенс((опв, гшсе оп, М. Я., 1960, р. 91. 5. Е(вЬег й. М., Г ппйапгеп1а!в о( Мобсгп РЛувкв, 14егг УогЕ 1961, р. 94. 6. 3р(1»ег Е, РЛув!св о1 Гпиу 1опмед Саве», 26 ед., меж У Л, 1962, Ь. ., Агг 1п1гобис(1оп 1о ТЛсгшоппс(еаг йевеагсЛ, Месг Уогй, 1959, 8. 5 со(1 1Ч. Т., йеу. Мок РЛув., 35, 231 (19631. '1 См., наприлгер, !71.
Следует заметить, что некоторые авторы ') пользую с е с в р д твенно выражением (П!.2.5) для вычисления «среднейдлипользуются испоны свободного пробега для случайного рассеяния на угол л/2». слн в выражении (П!.2.5) приравнять И~Р единице, то мы получим эту величину: А,во. =- ~8лЖ ~ — в) !и ( — """)~ . (П!,2.10) Тогда «эффективное сечение» для отклонения на 90' при многократных столкновениях можно определить по формуле 1 гуво' = так как, сог Но эта величина не является сечением в обычном с чном смысле слова, ак как, согласно (П1.2.5), соотношение между углом . ом рассеивающих центров в единице объема нелипей- ПР1!ЛОЖЕН!ЛЕ 2 ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ДИФФУЗИИ И ПОДВИН4НОСТИ ПО Н!ЕТОДУ ЛАНК4ЕВЕНА В данном приложении приводятся расчеты коэффициентов взаимной диффузии и подвижности, выполненные Ланжевеном.
Они взяты из его классической работы «Основная формула кинетической теории» (!), опубликованной в 1905 г.') Обозначения и терминология были изменены так, чтобы представить материал в форме, более привычной для современного читателя. Лналогичный анализ задачи о взаимной диффузии можно найти в учебнике по кинетической ~сории Презента (3).
9 1. Уравнение переноса импульса Рассмотрим смесь газов, содержащую в единице объема 1(г~ н гьгв молекул двух родов с массами т! и т,. Будем считать, что (Ч! и (г(г меняются в газе от точки к ~очке. Предположим, что скоРости молекУл 1-го РЯДа с компонентами ф, 11г, Ь!) РаспРеделены по закону Максвелла относительно их среднего значения, представлиощего скорость движения всей массы первого газа.
Подобным же образом скорости молекул т, с компонентами (кз, г(е, Ьв) РаспРеДелены согласно томУ же законУ окОлО среднего значения, скорости движения всей массы второго газа, которая в общем случае отлична от скорости массы первого га. за.
Разность этих скоростей движения масс, т. е. скорость движения одного газа относительно другого, является мерой интенсивности диффузного потока, возникающего из-за градиентов плотностей Гьг! и 1!г» Пусть (нг, оь гпг) — скорость движения массы первого газа, а (иг, о, пгв) — второго. Согласно закону распределения по скоростям, число молекул в единице объема, скорости которых ле.
жат между (эг, т(ь Ь!) и (Ьг+агкг, г(,+с(г(г н Ь!+с(Ь!), равно с(Дгг = с, ехр ( — йтг !(9г — иг) + (тй — ~г)в+ +(~г — тв!)»1) с(5г с(г(г с(Е! — — (г с(с,, (П2.1.1) ') Эта статья Лаижевена била переведена Мак-Даниелем на английский язык !21. 50 И. Мак-Дввнеаь 786 игиложьние 2 ВЫЧИСЛЕХ!И! КОЗЧ»»ИЦ!!Гитпн ДИЧх»ХЗИИ И ПОДВИжНОСтн 767 где ит! =-- с(~! !7Ч! !(~„ 1! = с, ехр ( — Ьл!, [(~! — и )'+(Ч, — з!)з +(~! -- тс!)»]), (П2.1.2) ! лжч зэз С,=-Ж!! — '7! (П2.1.3) 1 пт (П2.1А) Нетрудно убедиться в том, что Подобное же выражение можно написать и для молекул второго рода: »»)»2 с2 еХР ( ' »!ги! ((эа и2) +(Ч2 х»2) ! (ьз тса) !) с(э! с(Час(ь! = =(зс(т.
Парциальное давление первого газа на элемент поверхности равно импульсу, переносимому за единицу времени через единицу плошади данной поверхности молекулами этого газа, причем, конечно, предполагается, что элемент поверхности движется со скоростью движения массы данного газа. Для элемента поверхности, перпендикулярного оси Х, в точке, в которой число молекул в единице объема равно )У! и парциальная плотность массы газа р!=!Ч!гп!, компоненты парциального давления равны Р =-р 6! — и!)'=!а ) (!6 — и)'с(т Рх„=р,($! — ич)(Ч, — ~!) и! ~ (!($!.--а,)(Ч, — и,)!(т„(П2.1.5) Для того чтобы элемент объема газа находился в равновесии, должны выполняться следующие соотношению Р!»» ' Р\»»' Р!х» ' Р!»х' Среднее давление газа определяется выражен!ем 1 р, = (Р, +Р,„р р„,).
Ле~ко показать, что если распределение подчиняемся закону Максвелла, то тангенциальное давление исчезает и Р!хх = Р!тт = Ры» = Р! =- Жит- Рассмотрим теперь некоторый фиксированный элемент объема (!(х!(дс(з) с центром (х, у, г) в точке, в которой парциальная плотность равна р!. Закон сохранения массы выражается уравнением дР! д(Р!!»!) ! д(Р!о!) ( д(Р!м!) р (П2 1 7) дх дд д Определим скорость изменения импульса молекул, содержащихся в этом элементе объема.
Рассматривая сначала только компоненту импульса по оси х, мы видим, что ее величина будет возрастать благодаря наличию потока молекул, входящего в элемент объема через одну из граней !!у Ж. Увеличение будет равно с(дс(в ~~!(!АД!Нт!. Если мы выразим эту величику в идентнч. ной алгебраической форме ай с(д с(з ~ ) 1! (~! - — и,)а ит! + 2а, ) 7! (5! -- и,) !(т! + М!и!1, то, пользуясь выражением (П2.1.5), получим, что она равна !»дс(з(Р! +р!и',). Средний член исчезает, так как среднее значение (5!-- и!), по определению, равно нулю. Разность компоненты импульса по оси х„входящей в элемент объема через грань Идеал, и компоненты, выходящей через противоположную поверхность (и расчете на единицу объема н единицу времени), буде~, таким образом, равна дд! . д (Р!!»! ) дх дх Записывая аналогичные выражения компонент по другим осям, мы получим для увеличения импульса, обусловленного потоком молекул через единицу объема в единщ!у времени, выражение дд! дл!» дд! .
д(Р!й!) д(Р!и!е!) д(Р!и!м!) дх дд дх дх " дк дх Всякая приложенная извне сила внесет добавочный вкладе изменение импульса. Если Хь Уь Х! — компоненты приложенной силы на единицу массы, то этот вклад сведется к чистому увеличению компоненты импульса по оси х (в единице объема и на единипу длины) на Р,Х,. Если имеется только один газ, то в увеличении импульса играют роль оба вышеупомянутых фактора; если же смешаны два газа„то столкновения между молекулами двух родов вызывают изменение импульса в направлении х, которое пропорционально разности х-х компонент скоростей движения масс обоих газов (и,-- и,), т. е.
скорости относительного движения масс. 788 ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Не вводя пока никакой гипотезы относительно формы этого кзменения, обозначим через М (лии82) компоненту импульса по оси х, перецаваемого в единице объема за единипу времени молекулам первого рода при их столкновениях с молекулами второго рода. Столкновения между молекулами однои.о и того же рода. очевидно, нс изменяют полного импульса. Величина Я играет суицественнуио роль в теории диффузии, и мы сконцентрируем свои усилия на ее точном вычислении.
Компонента по оси х импульса на единицу объема равна пии ~ Яио(ти=рипи. Приравнивая ее производную по времени полному увеличению, вызываемому различнымн причинами, мы получим д (риии) дри „ ди дри»у дри» ду дх д(яиииии) д(яиии%2) дд д +РиЛ +-Ю(тлиьх ). дх д(яиий) дх Пользуясь уравнением (П2.1.7) и вводя переменную производ- ную по времени 22ии ди, ди, ди, ди, — = — + ии — + пи — + Тви —, 0й дг дх дд дх ' чтобы выразить скорость изменения ии в движущемся элементе, слецуя за движением массы газа, мы находим скорость измене- ния во времени компоненты по оси х импульса движущегосяэле- мента: Точно так же для второго газа мы имеем — 2+ д, = риЛ' — Я (ипиви).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
