1626435900-2be340c6a244b99156a9dca9d508df44 (844337), страница 106
Текст из файла (страница 106)
В заключение этого рзздела обсудим вопрос о применимости используемого выше приближения ввращающейся системы координат», (ось квантования направлена на возмущающую частицу). Будем вести все рассмотрение в некоторой неподвижной системе координат и обозначим через у=у,+1„у'=.г,+у, суммарный угловой момент обеих частиц до и после столкновения. При этом $' будет зависеть от нзправления векторов й и зт и от квантовых чисел рлу лг . Лля того чтобы получить вероятность переходз с уровня l,У, системы на уровень У,./„ надо вычисли~ь (2./, + 1) (2.7, -(- 1) (2./, -1- 1) (2./, -(- 1) величин ш (рзг), усреднить их по нзправлениям й, и, просуммировать по всем возможным значениям у'гм' и усреднить по всем возмох<ным знзчениям /дп Сравнительно просто эти вычислении можно провести только при ~„ (( 1, когда можно воспользоваться борновским приближением. Можно показать, что расчет тзкого типз с точностью до численного множители порядка единицы дает тот же результат, что и приближение вращающейся системы координат, если константу взаимодействия определять соотношением (45.31).
Так, при и = 2 по- 4 прзвочный множигель к формуле (45.30) равен —,. Ч 46) 631 О ВОЗМОЖНОМ УТОЧНЕНИИ МЕТОДА БОННА й 46. О возможном уточнении метода Бориа') Из изложенного ранее следует, что с помощью сравнительно простых поправок к борновскому приближению для сечений неупругих столкновений, таких как учет искажения падающей и рассеянной волн, учет обмена и т. п., не удается существенно улучшить результаты.
Что касается эффектов поляризации, то учет одного- двух членов ряда также не исправляет положения '). Учет же достаточно большого числа виртуальных уровней приводит к практически непреодолимым вычислительным трулностям. )(едостатком методов, построенных на основе представления искаженных волн, является то обстоятельство, что на первый план выдвигается учет притяжения электрона экранированным ядром и не учитывается (в волновых функциях) отталкивание атомного электрона налетающим. Вместе с тем для неупругих столкновений как раз этот эффект имеег первостепенное значение. Поэтому возникает необходимость в поисках таких методов решения задачи, в которых отталкивание электронов учитывается уже в первом приближении, т.
е. в волновых функциях. Одной из попыток, предпринятых в этом направлении, является использование импульсного приближения '). Метод, излагаемый ниже, хотя и существенно отличаемся от импульсного приближения, весьма близок к нему по духу. Рассмо~рим неупругое столкновение атома водорода с электроном, пренебрегая обменом. Точное выражение лля эффективного сечения перехода между двумя проиавольными состояниями, которые ниже обозначаются индексами 0 и 1, можно записать в виде а„ = ,' ~ ) (~р,(г,) е †'" ") )г( Чг,(г„ г,)) !аз)0, (46 1) где г„ г, — координаты атомного и налетающего электронов 1 1 — —, Чг (г, г ) есть решение урзвнения Шредингера !гз — г) г, ' — Лз + 2 71з + — + — — +Е~Чг,(го гз)=0, (46.2) (- 1 1 1 1 1 удовлетворяющее граничным условиям И„г, Ч',(гм г,)=ц, (л,) е з "+~~У'„(!), <р)Чз(г,) —, Г, СО.
') Добавлено прн корректуре, ') Это следует нз выполненных в последнее время расчетов, см., например, К 0 а ш Ь а гк, й. Ре1ег й О р, Ргос. РЬуз. $ос. 80 563, 1962; цг. Во шегт!!1е, Ргос. Рйуз. 8ос. 80, 806, 1962. ') К. А йег! Ь, 8. В о готе !1х, РЬуз. Реч. 122, 1177, !961. '632 [гл. х! ВОЗВУЖДЕНИЕ АТОМОВ Если в качестве Ч',(г„г,) в (46.1) подставить ф,(г,)е'а"*, то получим приближение Бориа. Выше уже отмечалось, что формула Бориа прзвильно передает основные качественные особенности сечений.
Поэтому имеет смысл записать Ч',(г„ г,) в виде Ч", (г„г,) = !р, (г, ) е'" "*у„(г„г,). В силу вышесказанного функцию )((го г,) следует искать не прибегая к разделению переменных и разложению в ряд. Эта функция удовлетворяет уравнению, которое нетрудно получить, подставив (46.3) в (46.2): ( ! 1 ! а',1 — Л + — Л + — + — !е'ь" )((г, г )= 2 ' 2 ' )г,+г,( )г,— и,) 2) = ( — — — (Ч,1п р, (г,)) Ч,~ е'ь"*у(г„г,). (46.4) 1 перейдем в этом уравнении к новым переменным О = †(г, — г,), 1 )с= — (г, + г,), описывающим соответственно относительное движение атомного и налетающего электрона и движение центра инерции этих электронов в поле ядра: (! ! ! ! — Л + — Л + — — — +и,'1е'а !Л+Ю)((1!т, О)= (), (46.5) 2 л 2 Ю й й тде (! — правая часть (46.4).
До настоящего момента не делалось каких-либо упрощений. Поскольку точное решение для Ч",(г„г,) получить невозможно, будем искать приближенное выражение для )( и Ч"„положив 1,!=О. При этом функция )( буде~ описывать рассеяние свободных электронов друг на друге и движение их центра инерции в поле ядра.
В полученном таким образом урзвнении переменные )с, й разделяются, после чего интегрирование дает Х()с, й)=г( 1 — — ') Г (1+ — ') Г(„— ', 1;И)с — ИЮ) Х х Е( — —, 1; И,й — (й,й), (46.6) аь тде г — вырожденные гипергеометрические функции. Используемое приближение обеспечивает нужную асимптотику функции т, хотя каждая из функций г" содержит кулоновский логарифмический член в фазе. Перейдем к вычислению матричного элемента в (46.!). В борновском приближении отличный от нуля вклад в (46.1) дает лишь первый член взаимодействия (У. Имея в виду получение первой ! поправки к борновскому приближению, положим )г,— г,( ' 9 46) О возможном уточнении метОдА БОРнА 638' Подставим (46.6) в а)", и представим <р'(г,)гр,(г,) в виде интеграла Фурье 'Р, (га) ара (г,) = ) гр(х) е-'"' с)х.
(46. 7) После этого матричный элемент в (46.!) можно записать в виде 4 ) аУаар (ау — 3) ) зааиг ( — ', 1; И 73 — И,)3) ла)7 х а ос' ОЯ вЂ” а! Е Х~ Р( — — ', 1; !7с,р — И,й) г(й (46 8). йа Поскольку г ( —, 1; Иагс — И,К) 1 при )3- оо и интеграл ', а по )(а бесконечно возрастает при з- О, заменим медленно меняющуюся функцию ар(а7 — а) на гр(з7). После такого упрощения интеграл (46.8) можно вычислить точно'). Приведем окончательный результат: за+за О„= 8п ~ ~ ~ар,'(г)ф,(г) е'чгс!г( ~7'(з7)1 —,, (46.9) Га ~ аа1 ! йа' «.' '(4'+чйа)~' где г — гипергеометрическая функция. При 6,>) 1 у(а7] 1 и (46.9) пеРеходит в фоРмУлУ БоРна.
ПРи 3,--1 и уса(! фактоРом У"(зу) определяются поправки к борновскому приближению. Существенно, что при любых значениях параметров фактор у'(з7) ( 1. При фиксиРовзнном уса и а7 0 7(а7) — 1. Эффективные сечения ряда переходов, вычисленные по формулзм (46.9), (46.10), приводятся на рис. 70'). Как видно, общей особенностью метода является сильное снижение максимума сечения и сдвиг его в область больших энергий.
В случае перехода 1з — 2р это. приводит к очень хорошему согласию с экспериментом. В тех случаях, когда максимум борновского сечения достигается при малых энергиях (оптически запрещенные переходы и переходы между близкими уровнями), введение поправки у'(ау) приводит к очень сильному уменьшению сечения в области борновского максимума. Для перехода !з — 2з это находится в противоречии с экспериментальными данными. Что касается переходов между сильно ') При этом использован метод, предложенный Нордсиком (А.
Х от 6- з! ес Ь, РЬуз. Кеч. 93, 735, 1954), ') (ч'. Г11е. К 81еЬЬ1пйз, К. Вгасйтапп, РЬуз. Кеч. 116, 356, 1959; К. 31 е Ь Ь ! п 6 з, Гч'. Г 11 е, !А Н и ш гп е т, К. В т а с й ш а и и, РЬуз. Кеч. 119, !939, !960; 124, 2051, 1961. (гл. х возикждкник атомов т,о аа уоо гао зао зв баа ло уа зо гоо зв Рис. 70. Эффективные сечения для некоторых переходов в атоме водорода: 1 — приближение Бориа, 2 — по формуле (46,9), точки — экспериментальные данные. э 46) о возможном хточнвнии матова возня 635 возбужденными уровнями типа 4а — бр, то для них экспериментальные данные отсутствуют.
Характерно, что все методы, основанные на представлении искаженных волн, приводили к сильному завышению результатов для перехода 1а — 2э в области максимума сечения. Как видно, использование волновых функций, включающих отталкивание атомного электрона налетающим, даже в простейшей форме, приводи~ к противоположному эффекту. Аналогичным путем все вычислении можно провести и с учетом обмена, В этом случае поправочный фактор ~(д) в (46.9) должен вычисляться по формуле .г = 4 (Упр+ гчаи) + 4 (гча гчеч) (46.11) где у'„р определяется выражением (46.10), а 7;,„имеет вид (46.12) Для переходов, показанных на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
