1626435388-4a103190aea56b4a5b3ee742fd66e7b5 (844205), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ïîýòîìó ïðè ññûëêå íà ñâåäåíèÿ èç äàííîãî ó÷åáíèêà öåëåñîîáðàçíî äîáàâëÿòü ñëîâàñì., íàïðèìåð,...ÃËÀÂÀ 1. ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ÂÅËÈ×ÈÍ1.1. ÃÅÍÅÐÀÒÎÐÛ ÑÒÀÍÄÀÐÒÍÛÕ ÑËÓ×ÀÉÍÛÕ ×ÈÑÅË1.1.1. Îñíîâíûå ñâîéñòâà ñòàíäàðòíîãî ñëó÷àéíîãî ÷èñëà. Îñíîâíûì èíñòðóìåíòîì äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí íà ÝÂÌ ÿâëÿåòñÿ ïîäõîäÿùèé ãåíåðàòîð ñòàíäàðòíûõ ñëó÷àéíûõ ÷èñåë, äàþùèé âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ αi ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû α, ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé â èíòåðâàëå (0, 1).Ïåðå÷èñëèì âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû α. Ðàñïðåäåëåíèåýòîé âåëè÷èíû ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûì ñ ïëîòíîñòüþ (ñì. îïðåäåëåíèå 1.1)f (u) ≡ 1,0 < u < 1.(1.1)Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíà 0 ïðè x ∈ (−∞, 0],x ïðè x ∈ (0, 1),F (x) =1 ïðè x ∈ [1, +∞),(1.2)Íåñëîæíî âû÷èñëèòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþZ 1u f (u) du = 1/2; Dα = Eα2 − (Eα)2 = 1/3 − 1/4 = 1/12.Eα =(1.3)0Ôóíêöèÿ f (u) = f (u1, .
. . , ul ) íàçûâàåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ìíîãîìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ñëó÷àéíîãî âåêòîðà) ξ = (ξ1 , . . . , ξl ), åñëèäëÿ ëþáîãî áîðåëåâñêîãî ìíîæåñòâà D èç Rl âûïîëíåíîÎïðåäåëåíèå 1.1.ZZP(ξ ∈ D) =f (u1 , . . . , ul ) du1 . . . dulf (u) du =(1.4)DDÍàïîìíèì, ÷òî áîðåëåâñêèå ìíîæåñòâà èç Rl ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ìíîæåñòâà, ïîëó÷åííûå èç îòêðûòûõ l-ìåðíûõ ïðÿìîóãîëüíûõ ïàðàëëåëåïèïåäîâ ("ìíîãîìåðíûõ èíòåðâàëîâ") ñ ïîìîùüþ ñ÷åòíîãî ÷èñëà îïåðàöèé îáúåäèíåíèÿ, ïåðåñå÷åíèÿ è âçÿòèÿäîïîëíåíèÿ. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî â äàëüíåéøåì ýêâèâàëåíòíûìè áóäóò ñ÷èòàòüñÿ ïîíÿòèÿf (u) Rl èf (u) Rl .Äëÿ îáîñíîâàíèÿ àëãîðèòìîâ ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî âàæíûì ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùååñâîéñòâî ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûõ òî÷åê.Óòâåðæäåíèå 1.1.lαRG1 ⊂ R lḠ1 = G1 duG ⊆ G1ḠP(α ∈ G) = Ḡ/Ḡ1Äîêàçàòåëüñòâî. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ òî÷êè α èìååò âèä f1 (u) ≡ 1/Ḡ1 ïðèu ∈ G1 .
Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå áîðåëåâñêîå ïîäìíîæåñòâî D ⊆ G è âû÷èñëèì óñëîâíóþâåðîÿòíîñòü.P(α ∈ D|α ∈ G) = P (α ∈ D) ∩ (α ∈ G) P(α ∈ G) =ñëó÷àéíîãî âåêòîðà, èìåþùåãî ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿòî÷êè, ðàñïðåäåëåííîé ñîãëàñíî ïëîòíîñòèââ , ñëó÷àéíîéÅñëè -ìåðíàÿ òî÷êà ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà â îáëàñòèêîíå÷íîãî îáúåìà, òî îíà òàêæå ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà âïðîèçâîëüíîé ïîäîáëàñòèîáúåìà ïðè óñëîâèè ïîïàäàíèÿ â ýòó ïîäîáëàñòü;ïðè ýòîì.Z=D.1duḠ1ZG1du = D̄/Ḡ =Ḡ1ZD1du.ḠÈç îïðåäåëåíèÿ 1.1, â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ìíîæåñòâà D, ïîëó÷àåì, ÷òî òî÷êà α, ïîïàäàÿ â îáëàñòü G, ðàñïðåäåëåíà â íåé ðàâíîìåðíî ñ ïëîòíîñòüþ f (u) = 1/Ḡ.
Èç ñîîòíîøåíèÿ (1.4) ïðè D = G ïîëó÷àåì, ÷òî P(α ∈ G) = Ḡ/Ḡ1 . êà÷åñòâå ñëåäñòâèÿ ñôîðìóëèðóåìÓòâåðæäåíèå 1.2.(a, b) ⊆ (0, 1)α (a, b)P α ∈ (a, b) = b − aÂàæíûì äëÿ ïîñòðîåíèÿ è òåñòèðîâàíèÿ ãåíåðàòîðîâ ñòàíäàðòíûõ ñëó÷àéíûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå ðàññóæäåíèå. Ïîñêîëüêó α ∈ (0, 1), äâîè÷íîå ïðåäñòàâëåíèåêàæäîãî âûáîðî÷íîãî çíà÷åíèÿ ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû èìååò âèäÏóñòü èìååòñÿ èíòåðâàë.
Òîãäà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà âïðè óñëîâèè ïîïàäàíèÿ â ýòîò èíòåðâàë è.α = 0, α(1) . . . α(k) . . . =∞Xα(k) 2−k ,(1.5)k=1ïðè÷åì êàæäûé ðàçðÿä α(k) ìàíòèññû ÷èñëà (1.5) ðàâåí íóëþ èëè åäèíèöå.Óòâåðæäåíèå 1.3.α(0, 1)α(1) , . . . , α(k) , . . .(1.5)1/2 P(α(k) = 1) =P(α(k) = 0) = 1/2Äîêàçàòåëüñòâî.Ïîñêîëüêó ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (1.5) ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà â (0, 1), òî α(k) = 0 ïðèÄëÿ òîãî, ÷òîáû ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà áûëà ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé â èíòåðâàëå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äâîè÷íûå öèôðûèç ñîîòíîøåíèÿïðåäñòàâëÿëè ñîáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ áåðíóëëèåâñêèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà :.Íåîáõîäèìîñòü.0, α(1) .
. . α(k−1) 0 ≤ α < 0, α(1) . . . α(k−1) 1,(1.6)ïðè÷åì α(1) . . . α(k−1) â (1.6) ìîãóò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ 0 è 1. Äëèíà èíòåðâàëà (1.6)ðàâíà 2−k , è èíòåðâàëû (1.6) äëÿ ðàçíûõ íàáîðîâ α(1) . . . α(k−1) íå ïåðåñåêàþòñÿ, ïîýòîìó,èñïîëüçóÿ óòâåðæäåíèå 1.2, ïîëó÷àåìP(α(k)= 0) =1X2−k = 2k−1 2−k = 1/2.(1.7)α(1) ,...,α(k−1) =0Òîãäà P(α(k) = 1) = 1 − P(α(k) = 0) = 1/2.Äîêàæåì òåïåðü íåçàâèñèìîñòü α(s) è α(k) , ãäå 1 ≤ s < k .
Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèìâåðîÿòíîñòü P{(α(k) = i) ∩ (α(s) = j)}. Ýòî ÷èñëî, î÷åâèäíî, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàêóñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âûïîëíåíî (1.6), ïðè óñëîâèè, ÷òî α(s) ôèêñèðîâàíî.Òîãäà ïî àíàëîãèè c (1.7) èìååìP{(α(k)= i) ∩ (α(s)= j)} =1X2−k =α(1) ,..., α(s−1) , α(s+1) ,..., α(k−1) =0= 2k−2 2−k = 1/4 = P(α(k) = i) × P(α(s) = j).Àíàëîãè÷íîP{(α(k1 ) = i1 ) ∩ . .
. ∩ (α(kq ) = iq )} = 2−q = P(α(k1 ) = i1 ) × . . . × P(α(kq ) = iq ),à ýòî è îçíà÷àåò íåçàâèñèìîñòü ñëó÷àéíûõ öèôð ÷èñëà (1.5).Äîñòàòî÷íîñòü. Î÷åâèäíî, ÷òî äðîáü èç ïðàâîé ÷àñòè ñîîòíîøåíèÿ (1.5) ïðèíàä-ëåæèò èíòåðâàëó (0, 1), ïîýòîìó!!∞∞XXPα(k) 2−k < x = 0 ïðè x ≤ 0 è Pα(k) 2−k < x = 1 ïðè x ≥ 1.k=1k=1Âîçüìåìïðîèçâîëüíîå x = 0, a1 a2 . . . ak . . . èç èíòåðâàëà (0, 1) è ïîêàæåì, ÷òîP∞ (k)P( k=1 αP 2−k < x) = x.(k) −kÅñëè ∞2 < x , òî ëèáî α(1) < a1 , ëèáî α(1) = a1 è α(2) < a2 , ëèáî α(1) =k=1 αa1 , α(2) = a2 è α(3) < a3 è ò.ä. Òàêèì îáðàçîì,!∞∞XXPα(k) 2−k < x =P{(α(1) = a1 ) ∩ . . .
∩ (α(k−1) = ak−1 ) ∩ (α(k) < ak )} =k=1k=1=∞XP(α(1) = a1 ) × . . . × P(α(k−1) = ak−1 ) × P(α(1) < ak );k=1çäåñü èñïîëüçîâàíà íåçàâèñèìîñòü ñëó÷àéíûõ öèôð α(1) , . . . , α(k) . Ëåãêî âèäåòü, ÷òîP(α(k) < ak ) = ak /2. Ïîýòîìó!∞∞∞XXX(k) −k−(k−1)−1Pα 2 <x =2ak 2 =ak 2−k = x.k=1k=1k=1Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé äðîáè èç ïðàâîé ÷àñòè ñîîòíîøåíèÿ(1.5) ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèåé (1.2).1.1.2.
Äâà òèïà ãåíåðàòîðîâ ñòàíäàðòíûõ ñëó÷àéíûõ ÷èñåë. Ñ îäíîé ñòîðîíû, äîêàçàííîå óòâåðæäåíèå 1.3 ìîæåò ïîâåðãíóòü èññëåäîâàòåëÿ â íåêîòîðîå óíûíèå,òàê êàê îíî ãîâîðèò î òîì, ÷òî "íàñòîÿùåå"ñòàíäàðòíîå ñëó÷àéíîå ÷èñëî (1.5) èìååòìàíòèññó, âîñïðîèçâåñòè êîòîðóþ íà ÝÂÌ íåâîçìîæíî.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìîæíî îòìåòèòü, ÷òî â âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêå ìàøèííûå îøèáêè, ñâÿçàííûåñ êîíå÷íîñòüþ ìàíòèññû, ÷àñòî íå ó÷èòûâàþòñÿ (â êà÷åñòâå ïðèìåðà ìîæíî óêàçàòüèñïîëüçîâàíèå ôîðìàòîâ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë íà ÝÂÌ). Äëÿ èñïîëüçóåìûõ íà ïðàêòèêå ãåíåðàòîðîâ ñëó÷àéíûõ ÷èñåë ýôôåêòû, ñâÿçàííûå ñ êîíå÷íîñòüþ ìàíòèññû, êàêïðàâèëî, íåçíà÷èòåëüíû.Óòâåðæäåíèå 1.3 îáîñíîâûâàåò ïðèíöèï ðàáîòû òàê íàçûâàåìûõ. Ýòî òåõíè÷åñêèå óñòðîéñòâà (÷àùå âñåãî "øóìÿùèå"ðàäèîýëåêòðîííûåïðèáîðû), êîòîðûå âûðàáàòûâàþò ñëó÷àéíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äâîè÷íûõ öèôð (óñëîâíî: ëàìïî÷êà ãîðèò èëè íå ãîðèò ñ âåðîÿòíîñòüþ 1/2; åñëè âåðîÿòíîñòü íå ðàâíà 1/2,ìîæíî áðàòü ïàðû ñîáûòèé "äà íåò"è "íåò äà", à ñîáûòèÿ "äà äà", "íåò íåò"îòáðàñûâàòü).
Ê ïðåèìóùåñòâàì òàêîãî ñïîñîáà ïîëó÷åíèÿ ñëó÷àéíûõ ÷èñåë îòíîñÿò áûñòðîòó ðåàëèçàöèè è íåîãðàíè÷åííîñòü çàïàñà ñëó÷àéíûõ ÷èñåë. Íåäîñòàòêîìäàò÷èêîâ ñëó÷àéíûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ïåðèîäè÷åñêè òðåáóåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿïðîâåðêà âûðàáàòûâàåìûõ ñëó÷àéíûõ ÷èñåë (ïîñêîëüêó äàæå ñâåðõíàäåæíîå òåõíè÷åñêîå óñòðîéñòâî äàåò ñáîè). Êðîìå òîãî, íåò âîçìîæíîñòè âîñïðîèçâåñòè ðàñ÷åòû. Ñëåäóåò òåì íå ìåíåå çàìåòèòü, ÷òî ñóùåñòâóåò íåìàëî âû÷èñëèòåëåé, êîòîðûå ïðåäïî÷èòàþò èìåííî äàò÷èêè ñëó÷àéíûõ ÷èñåë, è ðàáîòû ïî êîíñòðóèðîâàíèþ òàêèõ óñòðîéñòâïðîäîëæàþòñÿ.Áîëüøèíñòâî ðàñ÷åòîâ ïî ìåòîäó Ìîíòå-Êàðëî ïðîèçâåäåíî è ïðîèçâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ ãåíåðàòîðîâ ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë, ïðåäñòàâëÿþùèõ èç ñåáÿ íåêîòîðûå âû÷èñëèòåëüíûå ïðîãðàììû. Àðãóìåíòàìè â ïîëüçó ïðèìåíåíèÿ ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåëáåñêîíå÷íóþêîâ ñëó÷àéíûõ ÷èñåëôèçè÷åñêèõ äàò÷è-ÿâëÿþòñÿ âîçìîæíîñòü âîñïðîèçâîäèòü ðàñ÷åòû, áûñòðîòà ïîëó÷åíèÿ ÷èñåë, îòñóòñòâèåâíåøíèõ óñòðîéñòâ è íåîáõîäèìîñòè ìíîãîêðàòíîé ïðîâåðêè êà÷åñòâà ïîëó÷àåìûõ ÷èñåë, ìàëàÿ çàãðóæåííîñòü ïàìÿòè ÝÂÌ.
Áîëüøèíñòâî èçâåñòíûõ àëãîðèòìîâ ðåàëèçàöèè ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë èìåþò âèäαn+1 = ψ(αn ),(1.8)ãäå íà÷àëüíîå ÷èñëî α0 çàäàíî. Îáëàñòüþ çíà÷åíèé ôóíêöèè ψ äîëæåí ÿâëÿòüñÿ èíòåðâàë (0, 1).Îäíî èç ñîîáðàæåíèé î òîì, êàêèì îáðàçîì ñëåäóåò âûáèðàòü ôóíêöèþ ψ èç (1.8),ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïàðû òî÷åê(α1 , α2 = ψ(α1 )), (α3 , α4 = ψ(α3 )), (α5 , α6 = ψ(α5 )), . .
.(1.9)ñ îäíîé ñòîðîíû, äîëæíû ðàñïîëàãàòüñÿ íà êðèâîé y = ψ(x), à ñ äðóãîé ýòè æå òî÷êèäîëæíû (ïî ñâîéñòâàì "íàñòîÿùèõ"ñòàíäàðòíûõ ñëó÷àéíûõ ÷èñåë) áûòü ðàâíîìåðíîðàñïðåäåëåíû â êâàäðàòå Q2 = {(x, y) : 0 < x < 1, 0 < y < 1}. Ïîýòîìó ãðàôèê ôóíêöèèψ(x) äîëæåí äîñòàòî÷íî ïëîòíî çàïîëíÿòü êâàäðàò Q2 . Ïðèìåðîì òàêîé ôóíêöèè ψ(x)ìîæåò ñëóæèòüψ(x) = {M x}(1.10)äëÿ áîëüøîãî ìíîæèòåëÿ M ; çäåñü {A} îáîçíà÷àåò äðîáíóþ ÷àñòü ÷èñëà A. Àëãîðèòì(1.8) ñ ôóíêöèåé (1.10) íàçûâàåòñÿè ÿâëÿåòñÿîäíèì èç íàèáîëåå ÷àñòî óïîòðåáëÿåìûõ àëãîðèòìîâ ïðè ìîäåëèðîâàíèè ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë.1.1.3.
Ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèÿ β = {M α}. Îòìåòèì äâà ïîëåçíûõ ñâîéñòâàôóíêöèè (1.10).Óòâåðæäåíèå 1.4.β = {M α}(0, 1)MÄîêàçàòåëüñòâî. Èññëåäóåì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) = P(β < x). Ïî îïðåäåëåíèþ äðîáíîé ÷àñòè ÷èñëà è ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî α ∈ (0, 1), èìååì β ∈ (0, 1), è ïîýòîìóF (x) = 0 ïðè x ≤ 0 è F (x) = 1 ïðè x ≥ 1. Åñëè x ∈ (0, 1), òî, èñïîëüçóÿ óòâåðæäåíèå1.2, ïîëó÷àåì! M −1M−1M−1X xXXkk+x≤α<== x.F (x) =P(k ≤ M α < k + x) =PMMMìóëüòèïëèêàòèâíûì ìåòîäîì âû÷åòîâòåðâàëåÑëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà â èíäëÿ ëþáîãî öåëîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà .k=0k=0k=0Èç ôîðìóëû (1.2) ñëåäóåò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà β ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåíà â èíòåðâàëå (0, 1).Îäíèì èç ñóùåñòâåííûõ ñîìíåíèé, ñâÿçàííûõ ñ èñïîëüçîâàíèåì ìóëüòèïëèêàòèâíîãî ìåòîäà âû÷åòîâ (1.8), (1.10), ÿâëÿåòñÿ òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {αn } çàâèñèìû ìåæäó ñîáîé. Ïîýòîìó âåñüìà âàæíûì ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå 1.5.Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèèr(α, β (s) ) = Eα − Eα√Dα!β (s) − Eβ (s)pDβ (s)!!ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí α èβ (s) = {M β (s−1) },β (0) = α; s = 1, 2, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
