1626435386-4ea3b7438ebb2e92437735aa9b26c4d2 (844201), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî ϕ1 (x) ≡ 1.Âûáåðåì òåïåðü n óçëîâ x1 , . . . , xn . Ïîñòðîèì èíòåðïîëÿöèîííóþôîðìóëónXq(x) ≈ qn (x) =ci ϕi (x)(21.5)i=1òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü óñëîâèÿ èíòåðïîëÿöèèqn (xi ) = q(xi ), i = 1, . . . , n. Êîýôôèöèåíòû {ci } ïðèáëèæåíèÿ (21.5)îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé c1 ϕ1 (x1 ) + . . . + cn ϕn (x1 ) = q(x1 )...........................(21.6)c1 ϕ1 (xn ) + . . . + cn ϕn (xn ) = q(xn )Ìàòðèöà ñèñòåìû kϕi (xj )k èìååò ðàçìåðû n × n.Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (1.4).
Ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèå (21.5) è îðòîãîíàëüíîñòü (ñ âåñîì f (x)) ôóíêöèéϕi (x), èìååìZZnXI=q(x)f (x) dx ≈qn (x)ϕ1 (x)f (x) dx =ci (ϕi , ϕ1 ) = c1 .XXi=1Îáîçíà÷èì X (n) = (x1 , . . . , xn ). Ñîãëàñíî ïðàâèëó ÊðàìåðàI ≈ c1 =∆(q, X (n) ),∆(X (n) )(21.7)ãäå ∆(X (n) ) = detkϕi (xj )k îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ñèñòåìû (21.6), à∆(q, X (n) ) îïðåäåëèòåëü ìàòðèöûq(x1 ) ϕ2 (x1 ) .
. . . . . ϕn (x1 ) ........................... q(xn ) ϕ2 (xn ) . . . . . . ϕn (xn )Çäåñü ïåðâûé ñòîëáåö ìàòðèöû ñèñòåìû (21.6) çàìåíåí íà ñòîëáåö ïðàâûõ ÷àñòåé. Ñîîòíîøåíèå (21.7) îïðåäåëÿåò èíòåðïîëÿöèîííóþ êóáàòóðíóþ ôîðìóëó íà ñèñòåìå ôóíêöèé {ϕi (x)}.88 ðÿäå ñëó÷àåâ öåëåñîîáðàçíî ðàíäîìèçèðîâàòü ôîðìóëó (21.7), èñïîëüçóÿ âìåñòî X (n) ñëó÷àéíûé âåêòîð χ̃, ðàñïðåäåëåííûé ñîãëàñíîïëîòíîñòèp(x1 , . .
. , xn ) = H∆2 (X (n) )f (x1 ) × . . . × f (xn ).Íåñëîæíî ïîêàçàòü, ÷òî íîðìèðóþùàÿ êîíñòàíòà H ðàâíà 1/n!, è, êðîìåòîãî, âûïîëíåíî ðàâåíñòâî (ôîðìóëà ÅðìàêîâàÇîëîòóõèíà)I = Eζ̃n , ζ̃n =∆(q̃, χ̃).∆(χ̃)Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ζ̃n ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëó÷àéíóþ êóáàòóðíóþ ôîðìóëó (21.4) ñî ñëó÷àéíûìè óçëàìè è ñëó÷àéíûìè êîýôôèöèåíòàìè.Ïðåèìóùåñòâî ýòîé ôîðìóëû ñîñòîèò â âîçìîæíîñòè óòî÷íåíèÿ ôîðìóëû (21.7) ïóòåì îñðåäíåíèÿ íåñêîëüêèõ ðåàëèçàöèé âåëè÷èíû ζ̃n . Äèñïåðñèÿ âåëè÷èíû ζ̃n îöåíèâàåòñÿ ñâåðõó âåëè÷èíîé!2ZnXDζ̃n ≤q(x) −(q, ϕi )ϕi (x) f (x) dx.Xi=122. Ðàíäîìèçàöèÿ ìåòîäà ïîñëåäîâàòåëüíûõïðèáëèæåíèé22.1. Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ ñ èíòåãðàëüíûì îïåðàòîðîì K .Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèîíàëàIh = (ϕ, h) (ñì.
ôîðìóëó (3.1)) îò ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿÔðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà ϕ = Kϕ + f (ñì. ôîðìóëó (3.2)) ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðèè èòåðàöèîííûõ ïðîöåññîâ (ñì., íàïðèìåð, [28]). Åñëè îïåðàòîð K ÿâëÿåòñÿ ñæèìàþùèì â áàíàõîâîì ïðîñòðàíñòâå B(X) ñ íîðìîékf kB (êîíêðåòíåå, ïîëàãàåì kKkB ≤ q < 1), òî ðåøåíèå ϕ(x) óðàâíåíèÿ(3.2) ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ïðè m → ∞ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà:zm+1 = f + Kzm ,m = 0, 1, 2, . . .ñ íà÷àëüíûì ýëåìåíòîì z0 (x) = f (x); ïðè ýòîì ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî[28]:qmkz1 − z0 kB .(22.1)kϕ − zm kB ≤1−q êà÷åñòâå B(X) âîçüìåì ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé C(X) ñíîðìîé kf kC(X) = supx∈X |f (x)|, ãäå X êîìïàêò èç Rl .8922.2. Ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèîíàëà.  êà÷åñòâå àëüòåðíàòèâû àëãîðèòìó 3.1, â êîòîðîì èñïîëüçîâàíà îöåíêà ïî ñòîëêíîâåíèÿì (3.12)äëÿ âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèîíàëàZ∞ ZXIh =.. f (y (0) )k(y (0) , y (1) )×..×k(y (m−1) , y (m) )h(y (m) ) dy (0) ..dy (m)m=0(22.2)(ñì.
òàêæå ôîðìóëû (3.5), (3.6)) ðàññìîòðèì ñòàíäàðòíûé ïîäõîä ìåòîäà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé. Çàäàäèì íåêîòîðîå s < ∞ è âîçüìåì ïðèáëèæåíèåsX(s)Ih ≈ Ih =(K m f, h).(22.3)m=0Çàìåòèì, ÷òîsXIh − I (s) ≤ max |h(x)| × kϕ − zs kC(X) , zs (x) =K m f (x).hx∈Xm=0 ñâîþ î÷åðåäü, èç íåðàâåíñòâà (22.1) ñëåäóåò, ÷òîkϕ − zs kC(X) ≤qskKf − f kC(X) .1−qÂåëè÷èíó s ñëåäóåò âûáèðàòü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû áûëî âûïîëíåíîíåðàâåíñòâîqsmax |h(x)| ×kKf − f kC(X) < ε̃(1)(22.4)s .x∈X1−q(s) ñâîþ î÷åðåäü, äëÿ ïðèáëèæåíèÿ èíòåãðàëîâ èç ñóììû Ih , èìåþùèõìàêñèìàëüíóþ êðàòíîñòü d = l(s + 1), ìîæíî ïîñòðîèòü ñåðèþ êóáà(d)òóðíûõ ôîðìóë Fh,n1 ñ ÷èñëîì óçëîâ n1 , îáåñïå÷èâàþùèì âûïîëíåíèå (s)(2)(1)(d) (2)íåðàâåíñòâà Ih − Fh,n1 < ε̃s . Ïîëîæèòåëüíûå êîíñòàíòû ε̃s è ε̃sâ ñóììå äîëæíû ñîñòàâëÿòü âåëè÷èíó äîïóñòèìîé ïîãðåøíîñòè ε̃s .Äîñòàòî÷íî ñîäåðæàòåëüíîé (è íåïðîñòîé) ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à îïòèìàëüíîãî ñîãëàñîâàííîãî âûáîðà ïàðàìåòðîâ s è n1 .
Òðóäíîñòè, â ÷àñòíîñòè, ñâÿçàíû ñ îöåíêîé âåëè÷èí q è kKf − f kC(X) â ëåâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà (22.4). Êðîìå òîãî, òðåáóåòñÿ ó÷èòûâàòü ñóììàðíóþ òðóäîåìêîñòü S(s, n1 ) ïîëó÷àåìîãî àëãîðèòìà. Çäåñü ïðèìåíèì ïîäõîä, èñïîëüçóåìûé ïðè îïòèìèçàöèè äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ ãëîáàëüíîé àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé [3, 5]: èç óðàâíåíèÿ(2)ε̃(1)(n1 ) = ε̃ss + ε̃90âûðàæàåì n1 ÷åðåç s è ïîäñòàâëÿåì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå n1 = ψ(s) âôîðìóëó äëÿ S . Äàëåå èññëåäóåì ôóíêöèþ îäíîãî ïåðåìåííîãî S(s, ψ(s))íà ìèíèìóì, íàõîäÿ s = smin . Ïðè ïðîâåäåíèè ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâïîëàãàåì s ≈ smin , n1 ≈ ψ(smin ). Ïðèìåð ñîîòâåòñòâóþùåãî ðàññóæäåíèÿ äëÿ êîíêðåòíîé òåñòîâîé çàäà÷è ïðèâåäåí äàëåå â ïîäðàçä. 22.6.(1)Äëÿ ìàëûõ ε̃s è ε̃s âåëè÷èíà d ìîæåò áûòü äîñòàòî÷íî áîëüøîé, ïî(d)ýòîìó â êà÷åñòâå Fh,n1 ñëåäóåò âûáèðàòü ïðîñòåéøóþ ñòîõàñòè÷åñêóþêóáàòóðíóþ ôîðìóëó (ò.
å. ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî). Ïðè ýòîì âîçíèêàåòïðîáëåìà ðàçóìíîãî âûáîðà ïëîòíîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî d-ìåðíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà. Ñîãëàñíî ìåòîäó âûáîðêè ïî âàæíîñòè (ñì. ðàçä. 2),íàèìåíüøàÿ äèñïåðñèÿ ïîëó÷àåòñÿ äëÿ ïëîòíîñòès m−1XXp(y) = C f (y (0) )h(y (0) ) +f (y (0) )k(y (0) , y (1) )×m=0×k(y(1),yj=0(2)) × ... × k(y(j),y(j+1))h(y(j+1)) ,(22.5)ãäå y = y (0) , y (1) , . . . , y (s) è C ñîîòâåòñòâóþùàÿ íîðìèðóþùàÿ êîíñòàíòà. Âûðàæåíèå (22.5) ÿâëÿåòñÿ, êàê ïðàâèëî, äîñòàòî÷íî ãðîìîçäêèì, íå äàþùèì âîçìîæíîñòü ïîñòðîèòü ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì ïîëó-÷åíèÿ âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ = ξ (0) , ξ (1) , .
. . , ξ (s)ñîãëàñíî ïëîòíîñòè p(y).Îòìåòèì, ÷òî åñëè òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü ëèøü îäíî ñëàãàåìîå(K m f, h) ñóììû (22.3), òî èñïîëüçîâàíèå ïëîòíîñòèp y (0) , y (1) , .., y (m) = Cf (y (0) )k(y (0) , y (1) )..k(y (m−1) , y (m) )h(y (m) )(çäåñü f (y) ≥ 0, k(y 0 , y) ≥ 0, h(y) ≥ 0) ìîæåò äàòü ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî (ñì. äàëåå òåñòîâûå ïðèìåðû èç ïîäðàçä.22.3, 22.5).22.3.
Òåñòîâàÿ çàäà÷à. Ìû ïðîâåëè ÷èñëåííîå ñðàâíåíèå ïîäõîäîâ,îïèñàííûõ â ïîäðàçä. 22.2, íà ïðèìåðå ðåøåíèÿ ñëåäóþùåãî òåñòîâîãîèíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ðîäà èç [1], ñîîòâåòñòâóþùåãî àíèçîòðîïíîìó ðàññåÿíèþ ïðè ïåðåíîñå èçëó÷åíèÿ.Ðàññìîòðèì îäíîìåðíóþ ìîäåëü ïåðåíîñà ìàëûõ ÷àñòèö. ×àñòèöûäâèãàþòñÿ èç òî÷êè x = 0 â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè x ñëó÷àéíûìè ïðîáåãàìè, äëèíû êîòîðûõ ðàñïðåäåëåíû ñ ïëîòíîñòüþ e−x ,91x > 0.  êîíöå ïðîáåãà ñ âåðîÿòíîñòüþ p ÷àñòèöà ïîãëîùàåòñÿ (ò. å.
ååòðàåêòîðèÿ îáðûâàåòñÿ), à ñ âåðîÿòíîñòüþ q = 1 − p ñîâåðøàåò î÷åðåäíîé ïðîáåã ξ (m−1) → ξ (m) . Ïîñòàâèì çàäà÷ó îöåíêè âåðîÿòíîñòè P (H)âûëåòà ÷àñòèöû çà òî÷êó x = H .Ïåðåõîäíàÿ ôóíêöèÿ äëÿ öåïè ñòîëêíîâåíèé îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì p(y, x) = q exp −(x − y) χ(x − y), ãäå χ(w) = 1 ïðè w ≥ 0è χ(w) = 0 ïðè w < 0. Ïëîòíîñòü íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ξ (0) ðàâíàπ(x) = exp(−x), x > 0. Äëÿ ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñòîëêíîâåíèé ϕ(x)ìîæíî çàïèñàòü óðàâíåíèåZ xe−(x−y) ϕ(y)dy + e−x , x > 0,(22.6)ϕ(x) = q0òî÷íîå ðåøåíèå êîòîðîãî ðàâíî ϕ(x) = e−px .
Ðàññìîòðèì ëîêàëüíóþîöåíêó (ñì., íàïðèìåð, [1]), èäåÿ ïîñòðîåíèÿ êîòîðîé çàêëþ÷àåòñÿ âðàññìîòðåíèè ïåðâîãî ñëàãàåìîãî â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (22.6) êàêôóíêöèîíàëà âèäà (3.1), çàâèñÿùåãî îò ïàðàìåòðà x. Ó÷òåì òàêæå, ÷òîâ äàííîé ñèòóàöèè ïðîèñõîäèò ïðÿìîå ìîäåëèðîâàíèå (f (x) = π(x),k(y, x) = p(y, x)).  ýòîì ñëó÷àå ëîêàëüíàÿ îöåíêà èìååò âèä(H)P (H) = ϕ(H) = Eζ (H) + e−H ≈ζ (H) =NXζ1(H)+ . .
. + ζnn+ e−H ,(22.7)q exp(−(H − ξ (m) ))χ(H − ξ (m) ).m=0 êà÷åñòâå ξâûáèðàåòñÿ ëèáî òî÷êà ïîãëîùåíèÿ, äëÿ êîòîðîéξ (N ) < H , ëèáî ïåðâàÿ òî÷êà äëÿ êîòîðîé âûïîëíåíî íåðàâåíñòâîξ (N ) > H . Ôóíêöèÿ h(y), îïðåäåëÿþùàÿ âû÷èñëÿåìûé ôóíêöèîíàë(N )Ih = (ϕ, h) = P (H) − e−H = Eζ (H) ,(22.8)ðàâíà h(y) = q exp −(H − y) χ(H − y).Ðàññìîòðèì òàêæå ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé (22.3) äëÿïîäñ÷åòà âåðîÿòíîñòè P (H). Ïîãðåøíîñòü òàêîãî ïðèáëèæåíèÿ â ìåòðèêå C[0, H] ìîæíî îöåíèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:!∞ X(s) (1)mεs = Ih − Ih =K f, h ≤C[0,H]m=s+192C[0,H] ∞ Xm ≤K fm=s+1khkC[0,H] .C[0,H]Âû÷èñëèìmK f (x) =ZZ..q m e−y(0)e−(y(1)−y (0) )× .. × ex−y×χ(x − y (m−1) ) dy (0) . . .
dy (m−1) =Äàëåå èìååì∞ Xm K fm=s+1C[0,h](m−1))χ(y (1) − y (0) ) × ..×q m xm −xe .m!∞e−x q s+1 eqδ xs+1 −x X q m xm ,= max e ≤ maxm! x∈[0,H](s + 1)!x∈[0,H] m=s+1ãäå δ ∈ [0, x]. Çäåñü èñïîëüçîâàíî òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî âûðàæåíèåP∞m mqxm=s+1 q x /m! ÿâëÿåòñÿ îñòàòêîì ðàçëîæåíèÿ Òåéëîðà ôîðìóëû e .Ñëåäîâàòåëüíî,∞ Xq s+1 H s+1m K f≤; khkC[0,H] = max qe−(H−x) = q(s + 1)!x∈[0,H]m=s+1C[0,H]è ε(1)s ≤q s+2 H s+1.(s + 1)!(22.9)Âûðàæåíèÿ (K m f, h) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé èíòåãðàëû óâåëè÷èâàþùåéñÿ (ñ ðîñòîì m) ðàçìåðíîñòè.
Äëÿ èõ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿìîæíî ïðèìåíèòü àëãîðèòì âûáîðêè ïî âàæíîñòè èç ðàçä. 10. Ïðè ýòîìíåîáõîäèìîå êîëè÷åñòâî èíòåãðàëîâ s â ñóììå (22.3) ìîæíî íàéòè èñ(1)õîäÿ èç òðåáóåìîé ïîãðåøíîñòè, ïðåîáðàçîâàâ íåðàâåíñòâî äëÿ εs âðàâåíñòâî è âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé Ñòèðëèíãà:q s+2 (eH)s+1ε(1)s = p2π(s + 1)(s + 1)s+1Îòìåòèì, ÷òî òàêàÿ îöåíêà ÷èñëà ñëàãàåìûõ ÿâëÿåòñÿ çàâûøåííîé.
Ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ñëàãàåìûõ ìîæíî íàéòè, èñõîäÿ èç èçâåñòíîãîòî÷íîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (22.6):sm mXqH−pHε(1)− e−H.s ≤ em! m=09322.4. Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ.  ïðîâåäåííûõíàìè ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòàõ (ñì. [9]) äëÿ ïðèáëèæåíèÿ èíòåãðàëîââûáèðàëèñü ïëîòíîñòè, ÿâëÿþùèåñÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííûìè ïðèáëèæåíèÿìè ïîäûíòåãðàëüíûõ ôóíêöèé, ñ ÷èñëîì µ ïðîìåæóòêîâ ïîñòîÿíñòâà âäîëü îäíîé êîîðäèíàòû, íå áîëüøèì äåñÿòè.  ÷àñòíîñòè, äëÿèíòåãðàëîâ ìàëîé ðàçìåðíîñòè (i ≤ 6) âûáèðàëîñü µ = 10, äëÿ èíòåãðàëîâ áîëüøåé êðàòíîñòè µ < 10. Ïðîâåäåííûå ðàñ÷åòû ïîçâîëÿþòñäåëàòü ñëåäóþùèé âûâîä.  ìîäåëè ïåðåíîñà ÷àñòèö ñ àíèçîòðîïíûìðàññåÿíèåì àëãîðèòì, ñâÿçàííûé ñ èñïîëüçîâàíèåì ëîêàëüíîé îöåíêèäëÿ ïîäñ÷åòà âåðîÿòíîñòè P (H), óñòóïàåò ïî òðóäîåìêîñòè ìåòîäó ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé ëèøü â ñëó÷àå ìàëîé âåðîÿòíîñòè P (H)âûõîäà çà ãðàíèöó H è ìàëûõ çíà÷åíèé âåðîÿòíîñòè ðàññåÿíèÿ q < 0.5,ò.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
