1626435386-4ea3b7438ebb2e92437735aa9b26c4d2 (844201), страница 18
Текст из файла (страница 18)
å. ïðè âû÷èñëåíèè íåáîëüøîãî êîëè÷åñòâà èíòåãðàëîâ (s ≤ 10). Äëÿq ≥ 0.5 òðóäîåìêîñòü ëîêàëüíîé îöåíêè ìåíüøå. Îòìåòèì, ÷òî åñëèòðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü ëèøü îäíî ñëàãàåìîå (K m f, h) ñóììû (22.3), òîèñïîëüçîâàíèå ìåòîäà âûáîðêè ïî âàæíîñòè ìîæåò áûòü âåñüìà ýôôåêòèâíûì.22.5. Èñïîëüçîâàíèå äðóãîãî ôóíêöèîíàëà.
Ñëåäóåò çàìåòèòü,÷òî ôóíêöèîíàë (22.8) äàåò íå ñàìóþ óáåäèòåëüíóþ èëëþñòðàöèþ ïðåèìóùåñòâà ìåòîäà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé (22.3) èç-çà îòñóòñòâèÿ ¾äëèííûõ¿ òðàåêòîðèé ξ (0) , ξ (1) , . . . , ξ (N ) â îöåíêå (22.7) (âåäü âûëåò çà H îáðûâàåò òðàåêòîðèþ). Áîëåå ïîêàçàòåëüíûå ðåçóëüòàòû äàåòâûáîð ôóíêöèè h(y), ðàñïðåäåëåííîé âäîëü âñåé ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè, íàïðèìåð,h(y) = e−By , y > 0(22.10)(îäíàêî ïðè ýòîì òåðÿåòñÿ ¾ôèçè÷åñêèé ñìûñë¿ ôóíêöèîíàëà Ih ). Äëÿïðèáëèæåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãîôóíêöèîíàëà (22.2) çäåñü ìîæíî èñPsïîëüçîâàòü îöåíêó ζ (s) = m=0 h(ξ (m) ), ïðè÷åì îòðåçîê öåïè Ìàðêîâàξ (0) , ξ (1) , .
. . , ξ (s) ïîëó÷àëñÿ ñ ïîìîùüþ ïðÿìîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Ïðîâåäåííûå â ðàáîòå [9] ðàñ÷åòû ïîêàçàëè, ÷òî äëÿ ôóíêöèîíàëà (3.1) ñôóíêöèåé (22.10) ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé ÿâëÿåòñÿ áîëååýôôåêòèâíûì, ÷åì ñòàíäàðòíûé àëãîðèòì ñ îöåíêîé ïî ñòîëêíîâåíèÿì.Ïî àíàëîãèè ñ ðàññóæäåíèÿìè ïðè ïîëó÷åíèè ñîîòíîøåíèÿ (22.9)(1)ìîæíî ðàññìîòðåòü ïîãðåøíîñòü εs äëÿ ôóíêöèîíàëà Ih ñ ôóíêöèåé(22.10). Âû÷èñëèì(K m f, h) =Z+∞Z...0+∞q m e−y(0)e−(y094(1)−y (0) )× . . . × e−(y(m)−y (m−1) )×(m)×χ(y (1) − y (0) ) × .. × χ(y (m) − y (m−1) )e−Bydy (0) . .
. dy (m−1) dy (m) =!Z y(m) (m−1) m−1Z +∞y−y (m) (B+1)(m−1)mdy (m) =edy=q(m − 1)!00Zq m +∞ −y(m) (B+1) (m) m (m)qm=ydy=e.m! 0(B + 1)m+1Çäåñü èñïîëüçîâàíî èçâåñòíîå ñâîéñòâî ãàììà-ôóíêöèè:Z ∞Γ(i + 1) =wi e−w dw = i!.0Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó ñóììû ÷ëåíîâ áåñêîíå÷íî óáûâàþùåé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè, èìååì!s+1∞ Xq1(s) (1)i.×εs = Ih − Ih C = K f, h =B+1B+1−qi=s+1CÎáùóþ ïîãðåøíîñòü εs àëãîðèòìà (22.3) ïåðåïèøåì â âèäå ñóììûs+1q1D(s)(1)(2)ε s = ε s + εs ≈×+ √ ,B+1B+1−qn1pãäå D(s) = Dξ (s) .
Ïðè ïðîâåäåíèè ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ â ðàáîòå[9] áûëè ðàññìîòðåíû ñëåäóþùèå ïðåäåëüíûå ñëó÷àè.1). Ïðè s → ∞ áûëî ïîäòâåðæäåíî, ÷òî ïîãðåøíîñòü εs âåäåò ñåáÿ,êàê ïîãðåøíîñòü äëÿ ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî áåç îáðûâà.2). Ïðè n1 → ∞ áûëî ïîäòâåðæäåíî, ÷òî ïîãðåøíîñòü εs çàâèñèò(1)òîëüêî îò s (ò. å. εs = εs ).22.6.
Ñîãëàñîâàííûé âûáîð ïàðàìåòðîâ. Ïðîäåìîíñòðèðóåì íàðàññìàòðèâàåìîì òåñòîâîì ïðèìåðå ðàáîòó ñôîðìóëèðîâàííîé âûøåïðîöåäóðû ñîãëàñîâàííîãî âûáîðà ïàðàìåòðîâ s è n1 â àëãîðèòìå (22.3).Çàìåòèì, ÷òî òðóäîåìêîñòü ýòîãî àëãîðèòìà ïðîïîðöèîíàëüíà âåëè÷èíåS̃ = s × n1 . Çàäàåì óðîâåíü ïîãðåøíîñòè ε̃s è ðàññìàòðèâàåì ðàâåíñòâîs+1qD(s)1(1)(2)ε̃s = ε̃s + ε̃s =+ √ .(22.11)×B+1B+1−qn1Ïîëàãàåì D(s) ≈ D = const, ò. ê. ïðè ìàëîì çíà÷åíèè ε̃s âûïîëíåíîs+1 !q(s)Dζ ≈ Dζ 1 −.2B + 195Âûðàæàÿ n1 ÷åðåç s èç ñîîòíîøåíèÿ (22.11), èìååì,!2s+1q12S̃(s) = D s.ε̃s −B+1B+1−q(22.12)Ïîñëåäíÿÿ ôóíêöèÿ ÷èñëåííî èññëåäîâàëàñü íà ìèíèìóì ïî s. Ïîèñêìèíèìóìà ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿs+1s+1q1sqqε̃s −××+2ln= 0;B+1B+1−qB+1B+1−qB+1ýòî óñëîâèå ðàâåíñòâà íóëþ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè (22.12).
 ÷àñòíîñòè,â ðàáîòå [9] äëÿ ε̃s = 0.01, q = 0.999, B = 0.5 è D = 2.1 óñòàíîâëåíî,÷òî ìèíèìóì ôóíêöèè S̃(s) äîñòèãàåòñÿ ïðèìåðíî ïðè s = 19. Çàìåòèìòàêæå, ÷òî äëÿ s = 19 ïîëó÷èëîñü ñîâïàäåíèå òåîðåòè÷åñêîãî è ïðàêòè÷åñêîãî ðåçóëüòàòîâ (ò. å. ïðè s = 19 äëÿ ïîëó÷åíèÿ çàäàííîãî óðîâíÿïîãðåøíîñòè ïîòðåáîâàëîñü ìèíèìàëüíîå âðåìÿ ñ÷åòà).23.
Âû÷èñëåíèå âèíåðîâñêèõ èíòåãðàëîâ23.1. Âèíåðîâñêèé èíòåãðàë. Ìåòîäû Ìîíòå-Êàðëî ïðèìåíèìûïðè âû÷èñëåíèè íåêîòîðûõ êîíòèíóàëüíûõ èíòåãðàëîâ.  ÷àñòíîñòè,â öåëîì ðÿäå çàäà÷ òðåáóåòñÿ âû÷èñëÿòü òàê íàçûâàåìûå âèíåðîâñêèåèíòåãðàëû [29]:ZIF =F (y) dw y = EF (w(t)),(23.1)C[0,T ]ãäå w(t) ñåïàðàáåëüíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ (èëè îäíîìåðíîå áðîóíîâñêîå äâèæåíèå), t ∈ [0, T ], C[0, T ] ïðîñòðàíñòâî âñåõ íåïðåðûâíûõíà îòðåçêå [0, T ] ôóíêöèé y(t), óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ y(0) = 0 (òðàåêòîðèè ñåïàðàáåëüíîãî âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöàíåïðåðûâíû), à F (y(t)) íåïðåðûâíûé îãðàíè÷åííûé ôóíêöèîíàë íàC[0, T ].Êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà îïðåäåëÿþòñÿ ñîâìåñòíûìè ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí w(t(1) ), .
. . , w(t(K) )äëÿ ðàçëè÷íûõ K è 0 < t(1) < . . . < t(K) ≤ T , êîòîðûå èìåþò âèä"K Y1(1)(K)ft(1) ,...,t(K) u , . . . , u=1/2 ×(k)2π(t − t(k−1) )k=196(u(k) − u(k−1) )2× exp −2(t(k) − t(k−1) )#,(23.2)ãäå t(0) = 0 è u(0) = 0 [29]. Èç ôîðìóëû (23.2), â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òîw(t) ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñ íåçàâèñèìûìè ãàóññîâñêèìè ïðèðàùåíèÿìèòàêîé, ÷òîw(0) = 0, E(w(t) − w(s)) = 0, D(w(t) − w(s)) = t − säëÿ ëþáûõ s, t ∈ [0, T ], s ≤ t.23.2. Ìîäåëèðîâàíèå òðàåêòîðèé âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà.
Ðàñ-ñìîòðèì ñëåäóþùåå ïðèáëèæåíèå èíòåãðàëà (23.1):n1 XF (wi (t)),IF ≈n i=1(23.3)ãäå w1 (t), . . . , wn (t) íåçàâèñèìûå òðàåêòîðèè áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ.Ýòè òðàåêòîðèè ðåàëèçóþòñÿ ïðèáëèæåííî ñîãëàñíî ñëåäóþùåé ïðîöåäóðå. Ââîäèòñÿ ðàâíîìåðíàÿ ñåòêà0 = t̂(0) < t̂(1) < . . . < t̂(K−1) < T (K) = T, t̂(k) = kT /K(23.4)è â êà÷åñòâå ïðèáëèæåíèÿ òðàåêòîðèè wi èñïîëüçóåòñÿ ëîìàíàÿ(K)Wi(t) =M−1 pX(m)T /K γi+m=0Kt−MTp(M )T /K γi ,(23.5)(m)ãäå γi íåçàâèñèìûå çíà÷åíèÿ ñòàíäàðòíîé íîðìàëüíîé ñëó÷àéíîéâåëè÷èíû (äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ýòèõ çíà÷åíèé ìîæíî èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (4.2), ñì.
òàêæå [1, 4]), M = [Kt/T ] öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà Kt/T . Ïðèp(K)(0)0 ≤ t < T /K èìååì Wi (t) = (Kt/T ) T /Kγi . Ïîñòðîåííàÿ ëîìàíàÿïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè kT /K, wi (kT /K) . Ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ðàâ(K)íîìåðíî ïî t ∈ [0, T ] èìååì Wi (t) → wi (t) ïðè K → ∞.23.3. Âû÷èñëåíèå ìíîãîêðàòíûõ èíòåãðàëîâ. Èíòåãðàë (23.1)ìîæíî òàêæå ïðèáëèæåííî âû÷èñëÿòü äðóãèì ñïîñîáîì.
Çàôèêñèðóåìðàçáèåíèå (23.4) îòðåçêà [0, T ] è óñëîâèìñÿ çàìåíÿòü êàæäóþ íåïðåðûâíóþ êðèâóþ u(t) ëîìàíîé òèïà (23.5):U (t) = u((M − 1)T /K) + (Kt/T − (M − 1))(u(M T /K) − u((M − 1)T /K))(23.6)97ïðè t ∈ [(M − 1)T /K; M T /K]. Îáîçíà÷èì çíà÷åíèÿ ôóíêöèé u(t) è U (t)â óçëàõ ñåòêè (23.4) ÷åðåç u(kT /K) = U (kT /K) = u(k) ; k = 0, 1, . .
. , K .Çíà÷åíèÿ ôóíêöèîíàëà F (U (t)) íà ëîìàíûõ (23.6) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèþ K ïåðåìåííûõ F̂ u(1) , . . . , u(K) (äëÿ i = 0 èìååìu(0) = U (0 × T /K) = 0). Òîãäà èç ôîðìóëû (23.2) íåñëîæíî ïîëó÷èòü,÷òîK/2 Z +∞Z +∞ KF̂ u(1) , . . . , u(K) ×...IF = limK→∞ 2πT−∞−∞K2K X (i)× exp −u − u(i−1)2T i=1!du(1) . . .
du(K) .(23.7)Ñîîòíîøåíèå (23.6) ïîêàçûâàåò, ÷òî èìååòñÿ îïðåäåëåííàÿ ñâÿçü ìåæäó êîíòèíóàëüíûìè èíòåãðàëàìè è èíòåãðàëàìè áåñêîíå÷íîé êðàòíîñòè (âî âñÿêîì ñëó÷àå, äëÿ âèíåðîâñêîãî èíòåãðàëà (23.1)). Äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà IF ìîæíî âû÷èñëÿòü ìíîãîêðàòíûåèíòåãðàëû, ñòîÿùèå ñïðàâà â ôîðìóëå (23.7), äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîãî K . Ïðè ýòîì ìîæíî, â ÷àñòíîñòè, èñïîëüçîâàòü ñòàíäàðòíûé ìåòîäÌîíòå-Êàðëî (àëãîðèòì 1.1) è åãî ìîäèôèêàöèè. Îäíàêî ïîäîáíûå àëãîðèòìû ïîëó÷àþòñÿ, êàê ïðàâèëî, áîëåå òðóäîåìêèìè, ÷åì àëãîðèòì,ñîîòâåòñòâóþùèé ôîðìóëå (23.3).Íàëè÷èå êóñî÷íî-ëèíåéíûõ ïðèáëèæåíèé (23.5) è (23.6) òðàåêòîðèèwi (t) è ôóíêöèè u(t) ñîîòâåòñòâåííî íà ñåòêå (23.4) ïîçâîëÿåò îòíåñòèîïèñàííûå çäåñü âû÷èñëèòåëüíûå ñõåìû ê äèñêðåòíî-ñòîõàñòè÷åñêèì÷èñëåííûì ìåòîäàì.24. Èñïîëüçîâàíèå êâàçèñëó÷àéíûõ ÷èñåë24.1.
Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ðàññìîòðèì d-ìåðíûé åäèíè÷íûé êóá Qd .ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 24.1 [30]. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê x1 , . . . , xi , . . .íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé â Qd , åñëè ñîîòíîøåíèåZn1Xg(xi )n→∞ ni=1g(x) dx = limQdâûïîëíåíî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè g , èíòåãðèðóåìîé â Qd ïî Ðèìàíó.98ËÅÌÌÀ 24.1 [30]. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åêx1 , .
. . , xi , . . . áûëà ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé â Qd , íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû äëÿ ëþáîé ïîäîáëàñòè G ⊆ Qd âûïîëíÿëîñü ðàâåíñòâî limn→∞ [Sn (G)/n] = VG ; çäåñü VG îáúåì îáëàñòè G, à Sn (G) êîëè÷åñòâî òî÷åê ñ íîìåðàìè 1 ≤ i ≤ n ïðèíàäëåæàùèõ G.ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 24.2 [30]. Îòêëîíåíèåì ãðóïïû òî÷åê x1 , . . . , xníàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà Dn = supx∈Qd [Sn (Px ) − nVPx ], ãäå Px ïàðàëëåëåïèïåä ñ äèàãîíàëüþ Ox (çäåñü O íà÷àëî êîîðäèíàò) è ñ ðåáðàìè,ïàðàëëåëüíûìè êîîðäèíàòíûì îñÿì.ËÅÌÌÀ 24.2 [30]. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åêx1 , . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
