1625915153-62da7fb2e48a28563c377c8e71d63db2 (843881), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Здесь эту погрешность надо бы сравнить с погрешностью в теореме Пуассона,чтобы выбор нормальной аппроксимации был обоснован. Кроме того, данная формулаверна только для множеств видаk − npA= k: a6 √ 6b .σ nИз (1) получаем, чтоXSn − np√P∈ [a, b] = P (Sn ∈ A) =Bn,p (k)σ nk∈A1√ ϕ(0,1)=σ nk∈AXk − np√σ n 1+O.nk∈AX√√В этой области O-символ зависит только от a, b и p, так как np + aσ n 6 k 6 np + bσ n∀a < b. Значит,X 11=O √O.nnk∈AОбозначимxk :=Тогдаk − np√ .σ n1xk+1 − xk = √ .σ nТочки xk образуют измельчающееся разбиение отрезка√ [a, b]. В итоге мы получили риманову интегральную сумму с шагом разбиения 1/(σ n):X 1Xk − np√ ϕ(0,1)√=(xk+1 − xk )ϕ(0,1) (xk )σnσnk∈Axk ∈[a,b]Zb→ϕ(0,1) (x) dx = Φ(b) − Φ(a)aпри n → ∞. Таким образом, теорема доказана. 23(2)На самом деле, мы можем уточнить соотношение (2), оценив погрешность при переходе от суммы к интегралу для гладкой функции f .
ИмеемXZbX:=f (xk )∆xk =a6xk 6bf (x) dx + O(?).aВспомним понятие нижних и верхних сумм Римана. Если x̂k – точка минимума на [xk , xk+1 ],а x̃k – точка максимума непрерывной функции f , тоXX Xf (x̂k )∆xk 66f (x̃k )∆xk .ТогдаXZbf (x̂k )∆xk 6f (x) dx 6Xf (x̃k )∆xk .aСледовательно, в силу формулы конечных приращенийZb X X6f(x)∆x−f(x)dx(f (x̃k ) − f (x̂k ))∆xkkka6xk 6ba6 sup |f 0 |X(∆xk )2 = sup |f 0 |∆x1 (b − a).Заметим, что для получения нужной нам оценки не обязательно требовать дифференцируемость всюду функции f – достаточно потребовать её липшицуемость, то естьвыполнение неравенства |f (x) − f (y)| 6 K|x − y| при всех x и y, где K – постоянная.Для гладкой функции f из формулы конечных приращений f (x + ∆) = f (x) + f 0 (x + θ∆)мы получаем K = sup |f 0 |.В нашем случае мы имеем дело с функцией f вида12ϕ(0,1) (x) = √ e−x /2 .2πМодуль производной12|ϕ0(0,1) (x)| = √ |x|e−x /22πдостигает своего максимума при |x| = 1, т.
е. функция плотности стандартного нормального распределения липшицуема. Стало быть, для нее будут иметь место приведенныевыше оценки. Так как для функции ϕ(0,1) выполнено XZb11√∆xk = √ ⇒ f (xk )∆xk − f (x) dx = O,σ nσ na6x 6bkaтоP (Sn ∈ A) =Xk∈AZbBn,p (k) =ϕ(0,1) (x) dx + Oa241√n.Последняя формула – это уточненная теорема Муавра–Лапласа.
Погрешность можносделать абсолютной (зависящей только от a и b)ZbP (Sn ∈ A) =ϕ(0,1) (x) dx + O1√n.aТеорема (уточнение теоремы Муавра - Лапласа). ZbS−np1n√sup P∈ [a, b] − ϕ(0,1) (x) dx < √ .σ na<b σ naЭта форма записи позволяет оценивать погрешность при замене биномиального распределения нормальным.Итак, для приближенного вычисления биномиального распределения мы доказалидве теоремы: Пуассона и Муавра–Лапласа. Когда какую применять? Для обоснованиявыбора нужно сравнить погрешности соответствующих приближений. В теореме Пуассона оценка точности приближения равна p min(1, np), а в теореме Муавра–Лапласа11√ ∼√ .npσ nПо тому, какая из двух погрешностей меньше, выбираем и соответствующую аппроксимацию.
Если n велико, а np «сравнимо с единицей», применяем теорему Пуассона. Еслиже при этом и величина np велика, – теорему Муавра–Лапласа.Глава 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫДо этого мы изучали комбинаторную теорию вероятностей. Теперь приступаем к изучению аналитической части курса.Определение. Измеримое отображение ξ : (Ω, F) → (R, B) – случайная величина,где B – борелевская σ-алгебра (минимальная σ- алгебра, порожденная интервалами).Измеримое отображениеξ = (ξ1 , . . .
, ξk ) : (Ω, F) → (Rk , B k ),где ξi – случайные величины, называется k-мерным случайным вектором.Напомним, что такое измеримость. Полный прообраз множества B для отображения ξ(ω) есть множество ξ −1 (B) = {ω : ξ(ω) ∈ B}. Тогда ξ измеримо, если ξ −1 (B) ∈ Fдля каждого B ∈ B . Мы требуем измеримость для корректности записиP(ξ ∈ B) = P(ω : ξ(ω) ∈ B) = P(ξ −1 (B)).Определение. Распределением случайной величины ξ называется функция множества Pξ (B) = P(ξ ∈ B).25Упражнение. Проверить, что Pξ (·) – σ-аддитивная мера на вещественнойпрямой.Определение.
Функция Fξ = Pξ ((−∞, t)) называется функцией распределенияслучайной величины ξ.Отметим, что любая функция распределения однозначно восстанавливает само распределение. В самом деле, в силу аддитивности вероятностной меры имеем Fξ (b)−Fξ (a) =Pξ ([a, b)) ∀a < b, так как Pξ ((−∞, b)) − Pξ ((−∞, a)) = Pξ ([a, b)). Причем на полукольце открытых справа интервалов введенная функция множества обладает свойством σаддитивности.
А по теореме о продолжении меры этого достаточно, чтобы на σ-алгебревсех борелевских множеств B (минимальной σ-алгебре, содержащей указанные полуоткрытые интервалы) однозначно определить меру Pξ (·).Классификация распределений (случайных величин).1. Дискретное. Пусть случайная величина ξ ∈ {ai } – не более чем счетный набор(Pξ – дискретное). При этом точки ai называются атомами Pξ , а pi = P(ξ =ai ) = Pξ ({ai }) > 0 – это массы соответствующих атомов.Типичный вид дискретной функции распределения Fξ (t) = P(ξ < t): при t 6 a1имеем P(ξ < a1 ) = 0; при t ∈ (a1 , a2 ] имеем P(ξ < t) = P(ξ = a1 ) = p1 ; приt ∈ (a2 , a3 ] имеем P(ξ < t) = P(ξ = a2 ) + P(ξ = a1 ) = p1 + p2 и так далее.Заметим, что для этой разрывной функции имеет место непрерывность слеваP(ξ < t) = P(ξ = a1 ) + P(ξ = a2 ), t ∈ (a2 , a3 ].В результате мы имеем монотонно неубывающую ступенчатую функцию со скачками в атомах этого распределения, величины скачков – массы соответствующихатомов.2.
Непрерывное распределение – это распределение, у которого нет ни одногоатома. Этот класс расщепляется на два.R2.1 Абсолютно непрерывные распределения. Если ∀A ∈ B, Pξ = p(t) dx, тоAесть распределение представимо в виде интеграла по множеству A от некоторой неотрицательной функции p(t), то распределение является абсолютнонепрерывным с плотностью распределения p(t).Например, в схеме геометрической вероятности p(t) = const, а в теоремеМуавра–Лапласа мы рассматривали стандартное нормальное распределениеZt21√ e− 2 dx.Pξ (A) =2πAПлотность также называют обобщенной производной или производной Радона–Никодима абсолютно непрерывной меры P относительно меры Лебега:p(t) =26dPξ(t).dΛДля нас важно, что плотность и функция распределения находятся во взаимнооднозначном соответствии.
Если A = (∞, t), тоZtFξ (t) =p(x) dx.−∞Если p непрерывна (p ∈ C(R)), то Fξ (t) – всюду дифференцируемая функция и Fξ (t) ≡ p(t). В общем случае можно утверждать, что F 0 (t) = p(t) дляпочти всех t, так как любая функция распределения как монотонная функцияпочти всюду дифференцируема и что ее производная совпадает с плотностью,но только для абсолютно непрерывных распределений. Заметим, что подплотностью мы понимаем функциональный класс эквивалентности (так какона определяется с точностью до множества меры ноль).
Значит, для вычисления плотности достаточно продифференцировать функцию распределениятам, где есть производная и произвольным образом доопределить в остальных точках. При этом, если у нас нет информации о характере рассматриваемого распределения, мы должны проверить условие нормировки полученнойпроизводной – интеграл по всей прямой от этой функции с необходимостьюдолжен равняться 1.2.2 Сингулярное распределение (непрерывное, но не абсолютно непрерывное).Возникает вопрос существования таких распределений. Приведем пример,который в вероятностной литературе называется «Канторова лестница».
Заметим, что функция распределения есть функция неубывающая. Рассматривается случай, когда suppF = [0, 1], F (0) = 0 и F (1) = 1. Делим отрезокна три равные части, причем на интервале (1/3, 2/3) полагаем F (t) = 1/2.Оставшиеся два отрезка мы вновь делим на три равные части и на среднихинтервалах задаем функцию как полусумму двух ближайших справа и слевауже заданных значений этой функции. Тем самым, мы определили рекуррентную процедуру задания функции распределения Кантора на отрезках «троичного» деления. Построенная функция распределения, очевидно, непрерывна, поскольку по построению (так называемая, «диадическая схема» деление отрезка [0, 1]) все двоично-рациональные точки k/2n ∈ [0, 1] принадлежат области значений этой монотонной функции.
Напомним, что двоичнорациональными точками вида k/2n образуют всюду плотное множество напрямой. Следовательно разрывов здесь быть не может.Далее, по построению функция кусочно-постоянна, поскольку для любой двоично-рациональной точки из (0,1) существует отрезок в области определения, где функция распределения Кантора тождественно равна этому двоичнорациональному числу. Суммируя меры отрезков постоянства, получаем2221/31+ 2 + 3 + ... == 1.3 331 − 2/3Значит, дополнительное множество (Канторово множество) имеет нулевую меру Лебега. Заметим, что на этих отрезках производная F 0 тождественно равна нулю.27Предположим, что F – абсолютно непрерывная функция распределения. Тогда p(t) = 0 почти всюду (по мере Лебега). Следовательно ∀AZPξ (A) = 0 dt = 0.AПолучили противоречие, так как Pξ (R) = 1.
Таким образом, F не являетсяабсолютно непрерывной.3. Смеси распределений. Этот класс получается как производный от первых двух.Прежде дадим следующееОпределение. Смесью двух распределений P1 и P2 с весом α называется распределение αP1 +(1−α)P2 , которое еще называют выпуклой линейной комбинациейдвух распределений.Понятно, что мы можем определить выпуклые линейные комбинации любого конечного числа распределений – это такие же смеси.Класс смесей распределений определяется как всевозможные распределения, вкоторых первая компонента смеси P1 – непрерывное распределение, а вторая P2– дискретное.Примеры наиболее распространенных распределений.1. Дискретные распределения (случайные величины).• Бернуллиевская (простейшая) случайная величина.Она принимает только два значения: 1 с вероятностью p, и 0 с вероятностью 1 − p.Запишем это так:(1, p,ξ=0, 1 − p.• Биномиальное распределение.Это распределение имеет атомы 0, .
. . , n с массами p0 , . . . , pn .0,...ξ = k, pk = Cnk pk (1 − p)n−k ,...n.• Гипергеометрическое распределение.28Имеет атомы 0, 1, . . . , n.0,...C k C n−kξ = k, pk = Nn1 N2 ,CN1 +N2...n.• Пуассоновское распределение.Для него множестово атомов совпадает с Z+ :ξ=0,...λk −λe .k,p=kk!...2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
