1625915153-62da7fb2e48a28563c377c8e71d63db2 (843881), страница 10
Текст из файла (страница 10)
j=130 . Если ξ1 , . . . , ξn – независимые случайные дискретные величины с конечнымчислом атомов, тоnnYYEξj =Eξj .j=1j=1Доказывается индукцией по n (база установлена в пункте 3).Понятие математического ожидания можно ввести и для счетного числа атомов. Необ∞Pходимо только, чтобы соответствующий ряд Eξ =ak pk сходился абсолютно.k=1Пример. Пусть дискретная случайная величина ξ имеет атомы ai = i с весами pi =1, i = 1, 2, . .
.. Отметим, что {pi } – это действительно распределение, так как= i(i+1)∞∞ XX11−pi == 1.ii+1i=1i=1Величина ξ не имеет математического ожидания, поскольку ряд∞∞XX1|ak |pk =i+1i=1i=1расходится.Под существованием математического ожидания мы понимаем конечность величиныE|ξ|.Математическое ожидание дискретной величины можно представить и как интегралЛебега.
В самом деле, введем множества Ai = {ω : ξ = ai }. Пусть IA – это индикатормножества A (это значит, что IA (ω) = 1, если ω ∈ A, и 0 в противном случае). Тогда ξ –ступенчатая функция:Xξ(ω) =ai IAi (ω).Поэтому математическое ожидание такой случайной величины – это интеграл Лебегадля ступенчатой величины (или интегральная сумма):ZnXEξ =ai P(Ai ) = ξ(ω) P(dω).i=1Ω46Перейдем к определению математического ожидания для произвольной случайнойвеличины. Но сначала рассмотрим случай ограниченной случайной величины: −M 6ξ 6 M почти наверное для некоторого M > 0.
Измеримую ограниченную (с вероятностью 1) функцию ξ приблизим ступенчатыми функциями. Именно, покажем, что существует последовательность дискретных случайных величин {ξn(д) } такая, что ξn(д) → ξвсюду и равномерно по ω ∈ Ω. Для этого зададим атомы ai = i/n и множестваi+1i6 ξ(ω) <.Ai = ω :nnСлучайную величину ξn(д) определим по формулеXξn(д) (ω) =ai IAi (ω).iВ написанной сумме всегда лишь одно слагаемое отлично от нуля, учитывая попарнуюнесовместность Ai . Тогда легко видеть, что |ξ − ξn(д) | 6 1/n ∀ω. Поэтому при n → ∞sup |ξ − ξn(д) | 6ω∈Ω1→ 0,nа это и означает равномерную по ω сходимость.После сказанного естественно считать, что Eξ = lim Eξn .
Но для этого надо докаn→∞зать, что написанный справа предел существует. Обозначим bn = Eξn(д) . Согласно критерию Коши lim bn существует тогда и только тогда, когда n→∞lim |bn − bm | = 0. Имеемn→∞m→∞(д)(д)(д)(д)|Eξn(д) − Eξm| = |E(ξn(д) − ξm)| 6 E|ξn(д) − ξm| = E|ξn(д) − ξm− ξ + ξ| 6(д)6 E|ξn(д) − ξ| + E|ξm− ξ| 611+→ 0.n mПервое равенство в этой цепочке написано на основе линейности математического ожидания, следующее за ним неравенство – это неравенство треугольника для математического ожидания, наконец, второе неравенство вытекает из обычного неравенства треугольника для модуля и монотонности оператора E. Итак, существование предела доказано (осталось доказать еще корректность определения – см.
упражнение ниже).Пусть ξ – произвольная случайная величина (не обязательно ограниченная). С помощью операции срезки построим ограниченную случайную величину с двумя параметрами:ξM,N = ξI{−N 6ξ6M } .Математическим ожиданием величины ξ назовемEξ = lim EξM,N ,M →∞N →∞если предел в правой части существует.Упражнение. Проверить корректность задания математического ожидания, т. е. что для любой последовательности дискретных случайных величин,47равномерно сходящихся к предельной случайной величине, предел соответствующих средних останется неизменным.Запишем теперь математическое ожидание в виде интеграла. Начнем опять со случайной величины ξ такой, что −M 6 ξ 6 N почти наверное.
Возьмем дискретные случайные величины, которые мы построили ранее. Так как ii+1i+1iEI{ i 6ξ< i+1 } = P6ξ<= Fξ− Fξ,nnnnnnтоEξn(д) X Xiii+1ii=·P6ξ<=∆Fξ.nnnnniiУ нас получилась интегральная сумма Римана—Стилтьеса, которая при n → ∞ переходит в интеграл Римана—Стилтьеса:ZNEξ =x dFξ (x).−MИнтеграл Римана—Стилтьеса определяется для непрерывных интегрантов (в данномслучае – линейная функция) и интегрирующих функций Fξ ограниченной вариации, тоесть для которыхX|Fξ (ti+1 ) − Fξ (ti )| < ∞,sup{ti }где супремум берется по всевозможным конечным разбиениям {ti } отрезка [−M, N ]. Внашем случае Fξ – это функция распределения. Ее полная вариация, очевидно, равна 1.Если Fξ – гладкая функция, то по формуле конечных приращений найдется точкаx̃i ∈ [xi , xi+1 ) такая, что ∆Fξ (xi ) = Fξ0 (x̃i )∆xi .
Тогда (последнее приближенное равенство написано в предположении непрерывности плотности pξ )XXXXxi ∆Fξ (xi ) =xi Fξ0 (x̃i )∆xi =xi pξ (x̃i )∆xi ≈xi pξ (xi )∆xi .Последняя сумма стремится к интегралу РиманаZNxp(x) dx,−Mгде p > 0 иRp(x) dx = 1, а Fξ (t) =Rtp(x) dx.−∞В случае же произвольной случайной величины ξ, согласно общему определению, мыдолжны положитьZNZx dFξ (x) = x dFξ (x),Eξ = limM →∞N →∞−Mесли двойной предел существует.48Математическое ожидания преобразований случайных величин.Пусть η = f (ξ), где f – борелевская функция, а ξ – случайная величина. Мы хотимпосчитать Ef (ξ). Нам известно, чтоZEf (ξ) = Eη = x dFη (x).Наша задача состоит в том, чтобы выразить Ef (ξ) в терминах Fξ .
Пусть f непрерывна, а ξ ограничена с вероятностью 1. Снова привлекая построенные нами дискретныеслучайные величины ξn(д) , определим дискретные величины ηn(д) = f (ξn(д) ). Тогда XXX k kk+1(д)(д)P6ξ<=Ef (ξn ) =f (ak )P(ξn = ak ) =ff (xk )∆Fξ (xk ).nnnkkkПоследняя сумма стремится кRNf (x) dFξ (x). Обобщая этот результат на случай произ-−Mвольной случайной величины, получим формулу замены переменных в интеграле Римана—Стилтьеса:ZZEf (ξ) = x dFf (ξ) (x) = f (x) dFξ (x).В частности, если η = f (ξ), где ξ имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью pξ , тоZEη = f (x)pξ (x) dx.Для любой ограниченной измеримой функции f возможно представление среднего в виде интеграла Лебега: ZX k kk+1P6 f (ξ) <Ef (ξ) ∼∼ f (x) Pξ (dx).nnnkУпражнение.
Доказать, что если существует интеграл Римана—Стилтьеса (по некоторой функции распределения), то он совпадает с интегралом Лебега.PПредельным переходом с использованием дискретных функций fn(д) = xk I{xk 6f <xk+1 }(лебеговское приближение, для которого верны все сформулированные выше свойства итеоремы) легко можно показать выполнение всех этих свойств и для случайных величин,ограниченных с вероятностью 1.
Например, проверим свойство мультипликативности.В самом деле, мы уже доказали равенство Ef (д) (ξ1 )g (д) (ξ2 ) = Ef (д) (ξ1 )Eg (д) (ξ2 ), когдаслучайные величины ξ1 и ξ2 независимы (напомним, что любые борелевские преобразования независимых случайных величин снова независимы). Тогда, с одной стороны, приизмельчении разбиения {xk } имеемEfn(д) (ξ1 ) → Ef (ξ1 ),Egn(д) (ξ2 ) → Eg(ξ2 ),а с другой,|Efn(д) (ξ1 )gn(д) (ξ2 ) − Ef (ξ1 )Eg(ξ2 )| 6 sup |g|E|fn(д) (ξ1 ) − f (ξ1 )| + sup |f |E|gn(д) (ξ2 ) − g(ξ2 )|496 (sup |g| + sup |f |) max(xk+1 − xk ) → 0.kРассмотрим математические ожидания для специальных f.1. Если f (x) = xk , то говорят о k-ом моменте Eξ k величины ξ.2.
Если f (x) = |x|k , то говорят о k-ом абсолютном моменте E|ξ|k величины ξ.3. Если f (x) = (x − Eξ)k , то говорят о k-ом центральном моменте E(ξ − Eξ)kвеличины ξ.4. Если f (x) = |x − Eξ|k , то говорят о k-ом абсолютном центральном моментевеличины ξ, то есть о E|ξ − Eξ|k .Определение. Дисперсией случайной величины ξ называется её второй центральный момент (среднеквадратичный разброс случайной величины в окрестности её математического ожидания):Dξ = E(ξ − Eξ)2 .Свойства дисперсии.1. Dξ > 0.2.
Однородность второго порядка: D(cξ) = c2 Dξ.В самом деле,D(cξ) = E(cξ − E(cξ))2 = E(c(ξ − Eξ))2 = E(c2 (ξ − Eξ)2 ) = c2 E(ξ − Eξ)2 = c2 Dξ. 3. Аддитивность. Если случайные величины ξ1 и ξ2 независимы и имеют дисперсии, то D(ξ1 + ξ2 ) = Dξ1 + Dξ2 .Оформим в виде леммы более общее утверждение.Лемма. Если ξ1 , . . . , ξn – произвольные случайные величины, имеющие дисперсии, тоnnXXXCov(ξi , ξj ),Dξi =Dξi + 2i=1i=116i<j6nгде Cov(ξi , ξj ) = E(ξi − Eξi )(ξj − Eξj ) – ковариация между величинами ξi и ξj (смешанный второй центральный момент).С помощью этой леммы докажем свойство 3, сформулированное для независимыхвеличин ξ1 , ξ2 .
Так как сдвиг на константу независимости не меняет, то величины ξ1 −Eξ1и ξ2 − Eξ2 тоже независимы. Значит,Cov(ξ1 , ξ2 ) = E(ξ1 −Eξ1 )(ξ2 −Eξ2 ) = E(ξ1 −Eξ1 )·E(ξ2 −Eξ2 ) = (Eξ1 −Eξ1 )·(Eξ2 −Eξ2 ) = 0,откуда и следует требуемое.Д ОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
