1625915153-62da7fb2e48a28563c377c8e71d63db2 (843881), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Имеемi=1PM\!ĀiM[=1−Pi=1i=1!Ai=i=1[из независимости и по формуле включения – исключения]=1−MXk=1XP(Ak ) +XP(Ak1 )P(Ak2 ) −k1 <k2 <k3 6Mk1 <k2 6M=P(Ak1 )P(Ak2 )P(Ak3 ) + . . . =MY(1 − P(Ak )) =k=1MYP(Āk ).k=1Д ОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ .S(1) Пусть Bn =Ak . Тогда Bn – убывающий поток, и по лемме непрерывности иk>nсвойству полуаддитивности меры получаем!P(A+ ) = lim Pn→∞6 limn→∞X[Ak6k>nP(Ak ) = 0.k>nПоследнее неравенство справедливо в силу того, что последняя сумма являетсяхвостом сходящегося ряда.(2) Докажем, что в условиях второго пункта теоремы P(A¯+ ) = 0. Имеем![\P(A¯+ ) = PĀk =n k>n36[Bn =TĀk – возрастающий поток, тогда используем лемму непрерывности]k>n!\= lim Pn→∞Āk= lim lim Pn→∞ m→∞k>nn+m\!Āk=k=n[по лемме 2]= lim limm+nYn→∞ m→∞(1 − P(Ak )) 6k=n−x[Так как 1 − x 6 e ](6 lim lim exp −n→∞ m→∞m+nX)P(Ak )(= lim exp −n→∞k=nРассмотрим ряд случайных величин∞P∞Xk=n)P(Ak )= lim 0 = 0.n→∞ξi (ω).i=1Следствие (Критерий абсолютной почти наверное сходимости случайных рядов).Пусть εk – суммируемая последовательность положительных чисел.
Введем Bk =∞PP{|ξk | > εk }. Тогда если P(Bk ) < ∞, то рядξi (ω) сходится абсолютно и равi=1номерно по всем элементарным исходам.В самом деле, начиная с некоторого n(ω), в силу теоремы Бореля – Кантелли выполнены неравенства |ξk | 6 εk ∀k > n. Следовательно выполнен известный критерийабсолютной и равномерной сходимости функциональных рядов.Сходимость последовательностей случайных величин.Пусть на одном вероятностном пространстве (Ω, F, P) задана бесконечная последовательность случайных величин {ξi }.Определение 1. Говорят, что ξn −−→ ξ почти наверное (или с вероятностью 1),п.н.если ξn (ω) → ξ(ω) ∀ω ∈ A0 и множество A0 = {ω : ξm (ω) → ξ(ω)} имеет полную меру,т.
е. P(A0 ) = 1.Определение 2. Говорят, что ξn −→ ξ по вероятности, если ∀ε > 0plim P(|ξn − ξ| > ε) = 0n→∞или в эквивалентной формеlim P(|ξn − ξ| 6 ε) = 1.n→∞Определение 3. Говорят, что последовательность случайных величин ξn (или их распределений) слабо сходится ( или сходится в основном, или сходится по распределению) к предельной случайной величине ξ (в наших обозначениях ξn ⇒ ξ), еслиFξn (x) → Fξ (x) поточечно для любых точек непрерывности предельной функции Fξ (x).37Мы покажем, что из п.н.
сходимости следует сходимость по вероятности, которая, всвою очередь, влечет за собой слабую сходимость. Обратные включения в этой цепочкеневерны.Сначала покажем, что из сходимости с вероятностью 1 следует сходимость по вероятности. Опишем множество элементарных исходов, в которых имеет место сходимостьнашей последовательности. Для любого фиксированного ε, начиная с некоторого n, дляблагоприятных ω должно выполняться неравенство |ξn (ω) − ξ(ω)| 6 ε (без ограниченияобщности ε 6 1). При этом континуальное множество значений ε заменим на счетноемножество {1/m}, m ∈ N. Тогда ∀m ∃N : |ξn − ξ| 6 1/m ∀n > N .
Тогда нижнийпредел этих событий (m фиксировано)[ \1|ξk − ξ| 6mn>1 k>nкак раз и описывает приведенную выше логическую цепочку.Поскольку упомянутая логическая цепочка справедлива для каждого m, то мы получаем\ [ \1A0 = {ω : ξn (ω) → ξ} =|ξk (ω) − ξ(ω)| 6.mm>1 n>1 k>nТеорема (критерий сходимости почти наверное).
Последовательность случайныхвеличин ξn −−→ ξ тогда и только тогда, когдап.н.ηn := sup |ξk − ξ| −→ 0.pk>nЗаметим, что P{|ξn − ξ| > ε} 6 P(supk>n |ξk − ξ| > ε) −−−→ 0. Значит, из п.н.n→∞сходимости следует сходимость по вероятности.Д ОКАЗАТЕЛЬСТВО . Необходимость (→). Пусть A0 = {ω : ξn (ω) → ξ}. Тогда1 = P(A0 ) = [можем убрать внешнее пересечение в силу монотонности меры]![\1==P|ξk − ξ| 6mn k>n[в силу леммы непрерывности]= lim Pn→∞\k>n1|ξk − ξ| 6m!1= lim P sup |ξk − ξ| 6n→∞mk>n1= 1 − lim P sup |ξk − ξ| >n→∞mk>n=.Таким образом,sup |ξk − ξ| −→ 0.pk>n38Упражнение. Доказать достаточность (←) условий приведенной теоремы.Упражнение. Пусть имеется счетный набор {Bn } множеств полной меры,что означает P(Bn ) = 1 ∀n.
Доказать, что P(∩Bn ) = 1.Покажем, что из сходимости по вероятности не следует п.н. сходимость. Рассмотрим в качестве вероятностного пространства единичную окружность с индуцированноймерой Лебега Λ на ней.В качестве искомой последовательности случайных величин возьмем характеристические функции замкнутых дуг {∆n } единичной окружности:ξ1 (ω) = I∆1 (ω), ξ2 = I∆2 (ω), . . . , ξn = I∆n (ω) . . . ,при условии, что дуги откладываются «впритык» (с одной общей точкой для двух соседних дуг), например, по часовой стрелке от некоторой начальной точки, причем Λ(∆n ) =1. При этом «цепочка» построенных дуг «опоясывает» окружность бесконечно многоn+1P1= ∞).раз (так какnПусть ω0 – произвольный элементарный исход, т.
е. наудачу брошенная точка нарассматриваемую единичную окружность. Тогда1. Существует счетная подпоследовательность дуг {∆n0 } такая, что если ω0 ∈ ∆n0 ∀n0 ,то ξn0 (ω0 ) = 1.2. Ясно, что существует другая счетная подпоследовательность {∆n00 } такая, что если ω0 ∈/ ∆n00 ∀n00 , то ξn00 (ω0 ) = 0, и значит, ξn (ω) не имеет предела ни в одной точке ω.Поэтому нет сходимости почти наверное. Но при этомP(∆n ) = P(|ξn | > ε) =1−−−→ 0.n + 1 n→∞Следовательно, имеет место сходимость по вероятности: ξn −→ 0. pПокажем, что из сходимости по вероятности следует слабая сходимость. ВведемобозначенияP(B) = P(|ξn − ξ| > ε), B̄ = {|ξn − ξ| 6 ε}, Fξn (x) = P(ξn < x) = P(A).По формуле полной вероятностиP(ξn < x) = P(ξn < x, |ξn − ξ| 6 ε) + P(ξn < x, |ξn − ξ| > ε)6 P(ξn < x, |ξn − ξ| 6 ε) + +P(|ξn − ξ| > ε)Далее,P(|ξn − ξ| > ε) −−−→ 0,n→∞P(ξn < x, |ξn − ξ| 6 ε) 6 P(ξ < x + ε, |ξn − ξ| 6 ε) 6 P(ξ < x + ε),откуда Fξn (x) 6 Fξ (x + ε) + o(1).Так как P(A) > P(A ∩ B̄) и P(A ∩ B̄) = P(A) − P(A ∩ B), тоP(ξn < x) > P(ξn < x, |ξn − ξ| 6 ε) > P(ξ < x − ε, |ξn − ξ| 6 ε) == Fξ (x − ε) − P(ξ, x − ε, |ξn − ξ| > ε) > Fξ (x − ε) − P(|ξn − ξ| > ε),39откудаFξ (x − ε) + o(1) 6 Fξn (x) 6 Fξ (x + ε) + o(1),поэтомуFξ (x − ε) 6 lim inf Fξn (x) 6 lim supFξn (x) 6 Fξ (x + ε),n→∞n→∞где x – точка непрерывности функции Fξ (x).
Значит, в силу произвольности ε пределсуществует, и lim Fξn (x) = Fξ (x). n→∞Покажем, что из слабой сходимости не следует сходимость по вероятности. Заметим,что в случае слабой сходимости даже не требуется задание последовательности случайных величин на одном (вероятностном пространстве. Рассмотрим радемахеровскую слу1, 1/2,чайную величину ξ1 =Эта величина имеет симметричное распределение,−1, 1/2.так как Pξ1 = P−ξ1 . Положим ξ2 = −ξ1 , ξ3 = −ξ2 = ξ1 , .
. . .У всех введенных величин функции распределения совпадают, и значит, есть слабаясходимость. Но |ξk − ξk−1 | = 2 ∀k, и поэтому сходимости по вероятности нет. Упражнение. Доказать, что если последовательность {ξn } задана на одномвероятностном пространстве и слабо сходится к вырожденной случайной величине (т. е. постоянной с вероятностью 1), то имеет место и сходимость повероятности.Существование бесконечных последовательностей независимыхсобытий и случайных величин.Напомним, что в лемме Бореля – Кантелли впервые рассматривался счетный наборнезависимых в совокупности событий {Ai }.
Обсудим вопрос о существовании такогонабора.С конечными наборами проблемы не возникает. Рассмотрим модель двумерной геометрической вероятности: бросаем наудачу точку в единичный квадрат. В этом квадрате полосы с границами параллельными сторонам квадрата, как мы уже ранее выяснили, – это и будут независимые события.
Аналогичным образом, в R3 можно построитьнезависимые события A, B, C, реализовав их как слои с гранями параллельными гранямединичного куба. Эта же процедура переносится на евклидово пространство Rn , и, темсамым, мы можем привести пример n независимых в совокупности событий в n-мерномединичном кубе.Значит, для построения бесконечного набора независимых событий мы должны задать меру в бесконечномерном пространстве (здесь нужно использовать теорему о продолжении меры), а потом рассматривать бесконечномерный куб и слои в нем.
Однакомы сделаем по-другому.Рассмотрим так называемый пример Радемахера. В качестве вероятностного пространства возьмем отрезок [0, 1] с лебеговой мерой. Начнем процесс «диадического» деления: сначала делим пополам отрезок [0, 1], затем образовавшиеся половинки снова делим пополам и т. д.
Получившиеся точки (концы отрезков) будут двоично-рациональнымиточками вида {k/2n }, k > 0, n > 1. Это множество всюду плотно на [0, 1]. Начнем построение счетного набора {ξi } бернуллиевских случайных величин, независимых в со40вокупности. На первом шаге диадической схемы отрезок [0, 1] делится на две половины:(1)(1)на промежутки ∆1 = [0, 1/2), ∆2 = [1/2, 1]. Вводим случайную величину(1, ω ∈ [0, 1/2),ξ1 (ω) = I∆(1) (ω) =10, ω ∈ [1/2, 1].(1)(2)(2)На втором шаге полуинтервал ∆1 делим на ∆1 = [0, 1/4), ∆2 = [1/4, 1/2), а проме(1)(2)(2)жуток ∆2 делим на ∆3 = [1/2, 3/4), ∆4 = [3/4, 1].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
