1625915153-62da7fb2e48a28563c377c8e71d63db2 (843881), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Следовательно, необходимость доказана.(←) Имеем: ϕξn (t) → ϕξ (t) ∀t. Требуется установить слабую сходимость соответствующих распределений. В процессе доказательства основной формулы обращениябыло доказано, что если η – нормальная случайная величина с параметрами (0, σ), аξ – произвольная, причем ξ и η независимы, тоZ −ity−σ 2 t2e− e−itx1ϕξn (t)e 2 dt.(1)Fξn +η (x) − Fξn +η (y) =2πitRАналогичное представление имеет место и при замене ξn на ξ.−σ 2 t2−σ 2 t2Заметим, что |ϕξn (t)e 2 | 6 e 2 и, кроме того, ( −itx−ity e−e 6 |x − y|, |t| < 1,it2/t, |t| > 1,так как |eiϕ − eiφ | 6 |ϕ − φ|.
По теореме Лебега о мажорируемой сходимости предел поn можно внести под знак интеграла в (1). Тогда для всех x, y ∈ RFξn +η (x) − Fξn +η (y) → Fξ+η (x) − Fξ+η (y).Поскольку мы можем взять в этом тождестве y сколь угодно близким к −∞, то темсамым нами доказано, что для любого x ∈ RFξn +η (x) → Fξ+η (x).Теперь отсюда надо извлечь требуемую слабую сходимость. ИмеемFξn +η (x) = P(ξn + η < x) 683[воспользуемся формулой полной вероятности: P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B̄), гдеA = {ξn +η < x}, B = {|η| 6 ε}, B̄ = {|η| > ε} ⇒ P(A∩B) 6 P(A) 6 P(A∩B)+P(B̄)]6 Fξn (x + ε) + P(|η| > ε) 6[по неравенству Чебышева]σ2.ε2Так как σ, ε – свободные независимые параметры, то σ можно выбрать таким, что σ 2 /ε2будет сколь угодно малой величиной.
С другой стороны,6 Fξn (x + ε) +Fξn +η (x) > P (ξn + η < x, |η| 6 ε) > P (ξn < x − ε, |η| 6 ε)> Fξn (x − ε) − P (|η| > ε) > Fξn (x − ε) −σ2.ε2Таким образом,Fξn (x − ε) −σ2σ26F(x)6F(x+ε)+.ξn +ηξnε2ε2Сделав преобразование x − ε = xe⇒x=xe + ε (x – произвольная точка на прямой), мы«обратим» полученное двойное неравенство:Fξn +η (x − ε) −σ2σ26F(x)6F(x+ε)+.ξnξn +ηε2ε2Так как Fξn +η (x − ε) −−−→ Fξ+η (x − ε) и Fξn +η (x + ε) −−−→ Fξ+η (x + ε), и для ξ имеемn→∞n→∞совершенно аналогичное двустороннее неравенство (заменой в предыдущем неравенстве ξn на ξ):σ2σ2Fξ+η (x − ε) − 2 6 Fξ (x) 6 Fξ+η (x + ε) + 2 ,εεто, выбирая в качестве x произвольную точку непрерывности функции Fξ (·), избавляемся от сглаживающей компоненты, используя только что приведенные аргументы:Fξ (x − 2ε) −σ2σ22σ 22σ 26F(x−ε)−6F(x)6F(x+ε)+6F(x+2ε)+.ξ+ηξξ+ηξε2ε2ε2ε2Полагая σ 2 = ε3 и устремляя ε к 0, по «принципу двух милиционеров» получаем из вышеприведенных неравенств сходимость Fξn (x) → Fξ (x) в точках непрерывности функции Fξ .
З а м е ч а н и е. Чаще всего в приложениях используется импликация ← приведеннойтеоремы непрерывности, что в полной мере проиллюстрировано в следующей главе. Исследование свойств распределений (в частности, слабой сходимости) с помощью соответствующих характеристических функций представляет собой так называемый методхарактеристических функций.84Упражнение. Доказать замкнутость классов нормальных и пуассоновскихраспределений относительно операции «свёртка», используя метод характеристических функций.Это так называемое свойство устойчивости нормальных и пуассоновских распределений.Глава 7. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫВ этой главе будет продемонстрирован метод характеристических функций придоказательстве различных предельных теорем.
Наиболее впечатляющее в своей общности утверждение – это центральная предельная теорема, частным случаем которойявляется теорема Муавра – Лапласа. Достаточно сравнить объемы доказательств этихдвух утверждений и их общность, чтобы по достоинству оценить предлагаемый новыйметод доказательства, основанный на теореме непрерывности.Центральная предельная теорема (ЦПТ).Теорема. Пусть ξ1 , ξ2 , . . .
– независимые, одинаково распределенные случайные величины с конечной дисперсий. ТогдаSn − nEξ1√⇒ η ∈ N (0, 1),nDξ1где Sn =nP(1)ξi .i=1В первую очередь, нас привлекает «собирательность» этой теоремы. Заметим, чтотеорема Муавра–Лапласа – это частный случай ЦПТ для одного и того же бернуллиевского распределения слагаемых:(1, p,ξi =0, 1 − p.Д ОКАЗАТЕЛЬСТВО . Введем новые центрированные и нормированные случайные ве√личины ξei = (ξi − Eξi )/ Dξ1 . ТогдаnSn − nEξ11 Xe√=√ξin i=1nξ1[так как E ξei = 0, Dξei = 1 = E ξei2 ]. Мы хотим доказать, чтоϕ√1nn(t)Pξeii=1в пределе имеет характеристическую функцию гауссовской случайной величины, а затемвоспользоваться теоремой непрерывности.
Имеем√nnϕ1 P(t)=ϕ(t/n) =Pee√nξii=1ξii=185[по свойству 3)]=ϕξe11√nn=[по свойству 8)] nt21t2+o→ e− 2= 1−2nn[t фиксировано, n → ∞]. Предел есть характеристическая функция стандартного нормального закона. Пример. Игральная кость бросается 104 раз (здесь n велико!). Здесь ξi имеют равномерное распределение на первых шести натуральных числах. Тогда для функции распределения нормированной суммы Sn вместо предела в (1) можно писать приближенное равенство с параметрами n = 104 , Eξi = 3, 5 и Dξi = Eξi2 − (Eξi )2 = 91/6 − (7/2)2 = 35/12.Упражнение. Каково отклонение суммарного количества Sn набранных очков от 35000 с вероятностью 0, 99? (полагаем Sn = 35000 ± x и оцениваем минимальное x.)Следствие («Закон трех сигм»).
При любом фиксированном x > 0 и достаточнобольших nSn − nEξi< x ≈ Φ(x) − Φ(−x) = 1 − 2Φ(−x).P −x < √nDξiПри x = 3 имеем 1 − 2Φ(−x) ≈ 0, 997, то есть при больших n почти наверняка будетвыполнено двустороннее неравенствоSn − nEξ1√< 3.nDξ1√√Обозначив σ 2 = Dξ1 , получим, что nEξ1 − 3σ n 6 Sn 6 nEξ1 + 3σ n с вероятностьюпочти 1. Однако надо иметь в виду погрешность приближения в ЦПТ.
Грубо говоря, этапогрешность имеет такой же порядок, как и в теореме Муавра – Лапласа, т. е. O(n−1/2 ).−3 <Закон больших чисел и обобщенная теорема Пуассона.Сначала с помощью теоремы непрерывности мы приведем новое доказательство ЗБЧв форме Хинчина. Напомним этот результат.Теорема (ЗБЧ в форме Хинчина). Пусть ξ1 , ξ2 , . . . – независимые, одинаково распределенные и E|ξ1 | < ∞. Тогда1Sn −→ Eξ1 .pnМы приведем новое не менее простое доказательство этой формы ЗБЧ, применяяметод характеристических функций.Д ОКАЗАТЕЛЬСТВО . Имеем tϕ 1 Sn (t) = ϕSn=nn86= n ntit1ϕ ξ1= 1 + Eξ1 + o→ eitEξ1 = ϕEξ1 (t).nnnТогда по теореме непрерывности1Sn ⇒ Eξ1 .nНо если предельная величина вырождена, то слабая сходимость эквивалентна сходимости по вероятности (доказано ранее). Следовательно,1Sn −→ Eξ1 .pnТеперь мы докажем более общий вариант теоремы Пуассона.
Напомним, что классическая теорема Пуассона была посвящена предельному поведению распределениячисла успехов в серии из n независимых испытаний в схеме Бернулли с вероятностьюуспеха p, причем предполагалось, что np → λ (двойной предельный переход по направлению). Рассмотрим несколько более общую схему стохастических испытаний. Пустьимеются независимые одинаково распределенные случайные величины {ξi } с арифметическим распределением0, p01, p1 при этом предполагается, что npk → λk для всех k > 1P2, p2 , и чтоλk < ∞.k>1ξi =...Иначе говоря, здесь мы рассматриваем предел относительно бесконечномерного параметра (n, p1 , p2 , . . .) по направлению, задаваемому счетным набором соотношений npk →λk , k = 1, 2, .
. ..Обозначимn∞XXSn =ξi , ζ =kπλk ,i=1k=1где {πλk }– независимые пуассоновские случайные величины с параметрами {λk } соответственно. Заметим, что ζ < ∞ с вероятностью 1. Это следует из теоремы Бореля–Кантелли, поскольку∞Xk=1P(πλk > 0) =∞X−λk(1 − ek=1)<∞Xλk < ∞.k=1Это означает, что с вероятностью 1 в последовательности {πλk } лишь конечный наборслучайных величин отличен от нуля.
Распределение случайной величины ζ принадлежитважному классу так называемых обобщенных пуассоновских распределений. Ясно,что если pk = 0 = λk при всех k > 2, то ζ = πλ1 – обычная пуассоновская случайнаявеличина.87Теорема (обобщенная интегральная теорема Пуассона). Для описанной выше схемы имеет место предельное соотношениеsup |P(Sn ∈ A) − P(ζ ∈ A)| → 0.A⊂Z+Д ОКАЗАТЕЛЬСТВО . ИмеемϕSn (t) = (ϕξ (t))n =[характеристическая функция решетчатой случайной величины с нулевым сдвигом]!n=Xk>0eitk pk!n=p0 +Xeitk pkk>1!n=1+Xitkpk (e− 1)k>1n[воспользуемся соотношением (1 + z) = exp{n log(1 + z)} = exp{nz + O(nz 2 )}]!)(X 2Xitk−1pk.= expnpk (e − 1) + O n nk>1k>1PВ силу леммы Фату lim sup npk 6k>1Plim npk =k>1Pk>1λk < ∞.
Поэтому O-символ вправой части приведенного асимптотического равенства можно записать как O(1/n).Далее, для любого натурального N имеемXXnpk (eitk − 1) →λk (eitk − 1).k6Nk6NХвост ряда опять же с помощью леммы Фату легко оценим какXXlim sup |npk (eitk − 1)| 6 2λk ,k>Nk>Nчто может быть сделано сколь угодно малым выбором достаточно большого N .
Такимобразом, в условиях теоремы()XϕSn (t) → expλk (eitk − 1) .k>1Упражнение. Доказать, что правая часть последнего соотношения представляет собой характеристическую функцию случайной величины ζ.Это означает, что любая точечная масса P(Sn = m) сходится к соответствующейобобщенной пуассоновской массе, т. е. имеет место локальная предельная теорема, которая, как мы уже знаем, влечет за собой интегральную.
88ЛИТЕРАТУРА1. Боровков А. А. Теория вероятностей.– М: “Эдиториал УРСС”, 1999.2. Розанов Ю. А. Введение в теорию случайных процессов.– М.: Наука, 1982.3. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. I, II. – М.: Мир, 1984.89.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
