1625915153-62da7fb2e48a28563c377c8e71d63db2 (843881), страница 16
Текст из файла (страница 16)
к.R(m)|x| dFξ (x) – это первый абсолютный момент. Аналогично для ϕξ (t), m = 1, . . . , kRимеем: |im xm eitx | = |x|m и |x|m dFξ (x) < ∞, т. к. существует E|ξ|k (вспомним, что изсуществования старшего момента следует существование младших). По свойству 7 последняя k-ая производная будет непрерывна. Следствие.
В окрестности нуля для ϕξ (t) справедлива формула Тейлора:ϕξ (t) = 1 + iEξ · t −(it)kt2 2Eξ + . . . ++ o(|t|k ).2k!(k)Остаточный член можно записать в таком виде в силу непрерывности ϕξ (t).Примеры характеристических функций.1. Бернуллиевская случайная величина с вероятностью успеха p (дискретное решетчатое распределение). Характеристическая функция ϕξ (t) = peit·1 + (1 − p)eit·0 =1 + p(eit − 1).2. Биномиальное распределение, как мы уже знаем, есть распределение случайнойnPвеличины Sn =ξi , где все ξi независимы и распределены по закону Бернулли с вероi=1ятностью успеха p. По свойству мультипликативности ϕSn (t) = ϕnξ1 (t) = (1 + p(eit − 1))n .783. Пуассоновское распределение с параметром λ.
Характеристическая функция вычисляется следующим образом:ϕπλ (t) =∞Xk=0itk λekk!−λe=∞X(eit λ)kk=0k!itit −1)e−λ = eλe · e−λ = eλ(e.4. Стандартное нормальное распределение N0,1 . Характеристическая функция этогораспределения по определению записывается какZ−x2 /2itx eϕξ (t) = e · √dx.2πДля вычисления этого интеграла составим дифференциальное уравнение. По теоремеЛебега о мажорируемой сходимости (производная – это предел, причем |eitx | = 1, а2функция |x|e−x /2 интегрируема на прямой) данный интеграл можно дифференцироватьпо параметру t. Имеемϕ0ξ (t)Z=ixe−x2 /2itx eZ 2 i√dx = − √eitx d e−x /2 =2π2π= [далее интегрируем по частям] =Zt2= −√e−x /2 eitx dx = −tϕξ (t).2πИтак, мы получили задачу Коши: ϕ0ξ (t) = −tϕξ (t), ϕξ (0) = 1, решая которую находим2искомую характеристическую функцию ϕξ (t) = e−t /2 .Рассмотрим произвольное гауссовское распределение.
Мы уже знаем, что если ξимеет распределение N0,1 , то линейное преобразование ξ˜ = σξ + α имеет распреде−σ 2 t2ление Nα,σ . По свойству 2 имеем ϕξ̃ (t) = eitα− 2 . Для центрированного нормального2распределения характеристическая функция имеет вид e−ct /2 , где c > 0.Формулы обращения.Теорема (основная формула обращения). Пусть Fξ (·) – функция распределениянекоторой случайной величины, и ϕξ (·) – соответствующая характеристическая функция. Тогда для любых точек x < z, в которых функция Fξ непрерывна,имеет место формула обращения:Z −itx1e− e−itz2 2Fξ (z) − Fξ (x) =lim· ϕξ (t)e−σ t /2 dt.2π σ→0it2 2Отметим, что множитель ϕξ (t)e−σ t /2 под интегралом – это характеристическая функция свертки распределения ξ с распределением N0,σ .Важнейшее следствие приведенной формулы – это однозначность восстановления распределения по его характеристической функции, поскольку любая монотонная функция на прямой с известным конечным пределом на ∞ (или −∞) однозначно79восстанавливается по своим приращениям.
Иными словами, отсюда следует теоремао взаимно-однозначном соответствии между классами распределений и их характеристическими функциями.Следствие. Если характеристическая функция ϕξ абсолютно интегрируемана всей числовой прямой (|ϕξ (·)| ∈ L1 (R)), то распределение ξ является абсолютно непрерывным с плотностьюZ1e−itx ϕξ (t) dt.pξ (x) =2πД ОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ .
Прежде всего докажем вспомогательное утверждение, которое называется тождеством Парсеваля.Лемма. Для любых случайных величин ξ и η справедливо тождествоZZ−itydFη (t) e ϕξ (t) = ϕη (x − y) dFξ (x) ∀y ∈ R.RД ОКАЗАТЕЛЬСТВО . Домножим обе части равенства ϕξ (t) = eitx dFξ (x) на e−ity ипроинтегрируем по переменной t по распределению случайной величины η:ZZZ ZZit(x−y)−ityit(x−y)edFη (t) =dFη (t) e ϕξ (t) =edFξ (x) dFη (t) = dFξ (x)Z= ϕη (x − y) dFξ (x).Второе равенство здесь написано на основании теореме Фубини: интегралы можно переставить местами, так как все участвующие здесь меры конечны, а интегранты – ограниченные функции. Далее, пусть ξ – случайная величина из условия теоремы, а η – центрированная нормальная случайная величина с параметром 1/σ.
Тогда подставляя в тождество Парсеваля ϕη (x − y) = e−(x−y)22σ 2Zσ, получаем2 t2 /2e−σdt √−ityZe−(x−y)22σ 2dFξ (x).2πОтметим важную для дальнейшего деталь – характеристическая функция распределения величины η с точностью до постоянного множителя совпадает с плотностью другогонормального распределения N (0, σ).√Разделив полученное выражение на σ 2π, получим:ZZ(x−y)211−σ 2 t2 /2 −ityee ϕξ (t)dt = √e− 2σ2 dFξ (x) = pξ+η̃ (y).(1)2πσ 2πeϕξ (t) =Плотность pξ+η̃ появилась из формулы свертки.
Напомним, что если ξ – произвольнаяслучайная величина, а η̃ – случайная величина с абсолютно непрерывным распределением, и эти величины независимы, то и их сумма имеет плотность, которую можно найти80по формуле свертки:Zpη̃ (y − x) dFξ (x).pξ+η̃ (y) =В нашем случае роль случайной величины с абсолютно непрерывным распределениемиграет «сглаживающая» нормальная случайная величина η̃ с параметрами 0 и σ.От обеих частей тождества (1) возьмем интеграл по конечному отрезку [x, z], приэтом снова воспользуемся теоремой Фубини, а также примем во внимание соотношениеZze−ity dy =e−itx − e−itz.itxИмеем12πZ−σ 2 t2 /2Zz−ityedt eZzpξ+η̃ (y) dy = Fξ+η̃ (z) − Fξ+η̃ (x).ϕξ (t) dy =x(2)xПерейдем к пределу при σ → 0.
В левой части равенства (2) получим выражение, присутствующее в формулировке теоремы:Z −itxe− e−itz12 2limϕξ (t)e−σ t /2 dt.2π σ→0itОсталось показать, что правая часть (2) будет сходится к соответствующей разностизначений функции распределения Fξ при условии, что x и z – ее точки непрерывности.Согласно неравенству Чебышева P(|ζ − Eζ| > ε) 6 ε−2 Dζ. Значит,P(|η̃ − Eη̃| > ε) = P(|η̃| > ε) 6Dη̃σ2=.ε2ε2Но ε фиксировано и σ → 0, поэтому P(|η̃| > ε) → 0. Таким образом, ξ + η̃ −→ ξ. Следоваpтельно, имеет место и слабая сходимость распределений указанных случайных величин,т.
е. Fξ+eη (t) → Fξ (t), где t – любая точка непрерывности функции Fξ . Следовательно,Fξ+eη (z) − Fξ+eη (x) → Fξ (z) − Fξ (x) и теорема доказана. Д ОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛЕДСТВИЯ . Проинтегрируем тождество (1) по y на отрезке[x, z]. Тогда если |ϕξ | ∈ L1 (R), то по теореме Лебега1lim2π σ→0ZzZdyxe−ity ϕξ (t)e−σ2 t2 /2dt =R2 2[для интегранта существует интегрируемая мажоранта ϕξ (t)e−σ t /2 6 |ϕξ (t)|, не зависящая от параметра σ. Поэтому предел можно внести под знак двойного интеграла]1=2πZzZdyxe−ity ϕξ (t)dt.R81Иными словами, для любых точек непрерывности x и z функции распределения Fξмы получили представление для разности:ZzFξ (z) − Fξ (x) =pξ (y)dy,xгде1pξ (y) =2πZe−ity ϕξ (t)dt.RЭто равенство, очевидно, можно распространить и на все точки вещественной прямой,так как множество точек непрерывности любой монотонной функции всюду плотно в R,а любая функция распределения непрерывна слева.
Это и будет означать, что pξ (y) –плотность. Следствие доказано. Упражнение. Доказать, что для интегрируемой характеристической функции соответствующая плотность распределения будет равномерно непрерывной.Упражнение. Доказать, что если некоторая характеристическая функциянеотрицательна и интегрируема на всей прямой, то для соответствующей плотности распределения pξ (t) выполнено pξ (0) > 0 и отношение pξ (t)/pξ (0) такжеявляется характеристической функцией.Упражнение.
Привести пример характеристической функции с ограниченным носителем.Формула обращения для решетчатых распределений.Пусть ξ ∈ {a+hk; k ∈ Z}. Ясно, что ξ = ξ0 h+a, где ξ0 имеет арифметическое распределение (a = 0, h = 1). Связь характеристических функций при линейном преобразовании случайных величин известна (свойство 2), так что восстанавливая распределениеξ0 , мы восстанавливаем распределение ξ. Итак,Xϕξ0 (t) =eitk pk .k∈ZДомножим обе части равенства на e−itm (m ∈ Z) и проинтегрируем по t в промежутке от−π до π:πZπXZ−itmeϕξ0 (t)dt =eit(k−m) pk dt = 2πpmk∈Z −π−π(поскольку при k 6= m мы имеемRπe−it(k−m) dt = 0). Следовательно,−π1pm =2πZπe−itm ϕξ0 (t)dt.−π82Теорема непрерывности.Основной результат главы – теорема о непрерывном взаимно-однозначном соответствии (гомеоморфизме), называемая часто для краткости теоремой непрерывности.Теорема.
Пространство всех функций распределений с топологий слабой сходимости гомеоморфно пространству всех характеристических функций с топологией поточечной сходимости:{F, ⇒} ↔ {ϕ, →}.Д ОКАЗАТЕЛЬСТВО . Вопрос о взаимно-однозначном соответствии рассматриваемых двух классов уже был решен с помощью основной формулы обращения. Нам остается только показать, что указанное отображение будет непрерывным в соответствующих топологиях.(→) По критерию слабой сходимости ξn ⇒ ξ тогда и только тогда, когда Ef (ξn ) →Ef (ξ)ограниченной функции f . Нам же требуется доказать,R для любой непрерывнойRчто eitx dFξn (x) → eitx dFξ (x). Отметим, что для каждого фиксированного t мы здеськак раз и имеем дело с интегралами от ограниченных непрерывных функций: cos(tx) иsin(tx).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
