1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (843878), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Аналогичный результат остается верным и для размерностей, больших трех. Итак, справедлив следующий результат (Пойа); для ира. странств Р' и Ро симметричное случайное блуждание возвратно, а для лространсл1в Р", (1=.=3, является Невозвратным. 3. Задачи. 1. Вывести рекуррентные соотношения (1). 2.
Установить справедливость соотношений (4). 3. Показать, что в примере 5 все состояния являются апериодическими, возвратными и положительными. 4. Дать классификацию состояний марковской цепи с матрицей переходных вероятностей )р= рвов ° где р+д=1, Р~О, у~О.
ИСТОРИКО-БИБЛИОГРАФИЧЕСКАЯ СПРАВКА Введение История теории вероятностей до Лапласа изложена в монографии Тодхан. тер [68]. Период от Лапласа до конца Х1Х в. освещен в статье В. В. Гнеденко и О. В. Шейнина, опубликованной в сборнике [45). В книге Д. Е. Майстрова [44] история теории вероятностей изложена от ее возникновеяия до 30-х годов текущего столетия. Краткий очерк теории вероятностей имеется в учебнике Б. В. Гиедеика [15]. О происхождении многих всроягностных терминов см. книгу Н.
В. Александровой [2]. По поводу основных понятий теории вероятностей см. книги А. Н. Колмо. горова [32], Б. В. Гнеденко [!5], А. А. Боровкова [7], Б. В. Гнеденко и А. Я. Хинчина [17], А. 'М. Яглома и И. М. Яглома [84], справочное пособие Ю. В. Прохорова и Ю. А. Розанова [56), справочник [65] и книги В. Феллера [69], [70], Ю. Неймана [51), М. Лозва [42), Дж. Л. Дуба [20], переведевные с английского. Укажем также на сборники [46] и [67), содержащие большое количество задач по теории вероятностей.
При составлении настоящего учебного пособия автор использовал разнообразную литературу. Из учебных руководств на английском языке особо отме. тил« книги Л Вреймана [8], Р. Эша [81], [82] и Р. Эша и М. Гарднера [83], являющихся (по мнению автора) образцами удачной подачи материала. Полезный справочный материал по теории вероятностей и математической статистике читатель может найти в Большой Советской Энцнклопедни, Малой Советской Энциклопедии и в Математической Энциклопедии (нзд. «Советская Энциклопедия»). Основным научным журналом по теории вероятностей и математической статистике, издаваемым в нашей стране, является журнал «Теория вероятностей и ее применения» (изд-во «Наука»), выходящий с !956 г.
«Реферативный журнал», выпускаемый ВИНИТИ вЂ” Всесоюзным институтом научной и технической информации (Москва), печатает рефераты на статьи по теории вероятностев и математической статистике, публикуемые как у нас, так и за русежом. Для большинства вероятностно-статистических приложений, требующих обращения к таблицам, полезными являю~«я «Таблицы математической стати. стяни» Л.
Н. Большева и Н. В. Смирнова [6). Глава! 6 1. О построении вероятностных моделей см. также статью А. Н. Колмогорова [31], книгу В. В. Гнеденко [15]. Большой материал, касающийся вопросов типа «размещение дробинок по ячейкам», см. в иииге В. Ф. Колчина, В. А. Севастьянова и В. П. Чистякова )34). й 2. По поводу различных вероятностных моделей (в частности, одномерной модели Изннга), возникаю;цнх в статистической физике, см., например, книгу Исихара [25) 563 ИСТОРИКО. БИБЛИОГРАФИЧЕСКАЯ СПРАВКА ф 3, Формула и теорема Байеса лежат в основе так называемого «байесовского подхода» в математической статистнне.
См., напрнмер, книги Де Гроота [18) и Закса [22). $4. Различные задачи, касающиеся случайных величин и их вероятностных харантеристик, можно найти в сборниках задач [46) и [6?]. й 5. Комбинаторпое доказательство закона больших чисел, восходящее к Я. Бернулли, можно найти, например, в [69], По поводу эмпирической интерпретации закона больших чисел см. стазью А. Н. Колмогооова [3Ц. ф 6. По поводу уточнений в локальной и интегральной теоремах, а также в теореме Пуассона см, книгу А. А. Боровкова [7) и статью Ю. В. Прохо. рова [54].
6 7. Излагаемый здесь материал на примере схемы Бернулли иллюстрирует некоторые основные понятия и методы математической статисьгнки. Подробнее см., например, монографии Г. Крамера [35] и Ван дер Вардена ]!О). й 8. Рассмотрение условных вероятностей п условных математических ожиданий относительно разбиений поможет лучше освоиться с вводимыми далее более сложными понятиями условных вероятностей и условных математических ожиданий относительно п-алгебр. 4 9.
Задача о разорении рассматривалась в приводимой здесь форме, в сущ. нос~и, еще Лапласам. См, по этому поводу статью Б, В. Гнеденко и О. В. Шейнина [45), Обширный материал на эту тему содержится в книге В. Феллера [69). 6 16. Принятое здесь наложение следует в основном книге В Феллера [69], Метод доказательства соотношений (10) и (! Ц дан в статье [19). 6 11. Теория мартингалов подробно изложена в нниге Дж.
Дуба [20]. Иное доказательство теоремы о баллотировке монсно найти, например, в книге В. Феллера (69). 6 12. Обширный материал по марковским цепям содержится в кингах В. Феллера [69), Е. Б. Дынкина [2Ц, Дж. Кемени и Дж. Снелла [27], Т. А, Сарымсакова [6Ц, С. Х, Сираждинова [64]. Теории ветвящихся процессов посвящена монография Б. А. Севастьянова [62]. Глава !! ф 1. Аксиоматика Колмогорова изложена в его книге ]32]. й 2. Дополнительный материал об алгебрах н и-алгебрах можно найти, например, в книгах А. Н. Колмогорова и С, В. Фомина [33], 7К.
Неве [49], Л. Бреймана ]8], Р. Эша [82). $3. Доказательство теоремы Карагеодори см. в [42), [7Ц. йй 4 — 5. Большой материал об измеримых фуннциях можно найти в книге П. Халмоша [7Ц, 6 6. См. такзке книги А. Н. Колмогорова я С. В. Фомина [33), П, Халмоша ]7Ц, Р. Эша [82). В этих книгах содержится и доказательство теоремы Радона — Никодима. Иногда неравенсгвом Чебышева называют неравенство Р (1 й ] ~ в) ~ —,, М~' Н неравенство называют нерааенсшаом Маркова, ф 7.
Определение условной вероятности н условного математического ожидания относительно а-алгебр было дано А. Н. Колмогоровым [32). Обшир иый материал по рассматриваемым вопросам содержится в книгах Л. Бреймана [8) и Р. Эша [82]. 564 ИСТОРИКО БИБЛИОГРАФИЧЕСКАЯ СПРАВКА 8 8, См. также книги А. А. Боровкова [7], Р. Эша (82), Г. Крамера [35), Б. В.
Гнеденко [!5]. $ 9. Теорема Колмогорова о существовании процжса с заданнымн конечномер алыми распределениями содержится в его книге (32). По поноду теоремы Ионеску Тулчи см. также нниги Ж. Неве [49[ и Р. Эша (82]. Приводимое здесь доказательство следует (82). 88 1Π— 11. См. также книги А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина [ЗЗ), Р. Эша (82), Дж. Дуба [20), М.
Лоэва (42]. 6 12. Теория характернстических функций излагается во многих книгах. См, например, Б, В. Гиеденко [15[, Б. В. Гнеденно и А. Н. Колмогоров [!6], Рамачандран [57[. Издох«ение формул связи моментов и семиинвариантов следуст статье В. П. Леонова и А. Н. Ширяева [40[. 8 13. См. также книги И. А. Ибрагимова и 1О. А. Розанова [24], Л. Брей. мана (8), Р. Ш. Лнпцсра н А. Н.
Ширяева [41), Глава П! й 1. Подробное изложение вопросов слабой сходимости вероятностных мер н распределений содержатся в ипигах Б, В. Гнеденко н А. Н. Колмогорова [!6) и П. Биллингсли [5). 4 2. Теорема Ю. В. Прохорова содержится в его статье (55], 6 3, Методу характеристических фуннпнй в доказательстве предельных теорем теории верояпюстей посвящена монография Б. В.
Гнеденко и А. Н. Колмогорова [16). См. также П. Биллннгсли (5]. Приводимая задача 2 охватывает как закон больших чисел Я. Бернулли, так и закон больших чисел Пуассона, ноторый предполагал, ч1о "г, 5», ... независимы, принвмают два значения (1 и О), но, вообще говоря, разнораспределенны: Р $; = Ц5 Рь Р ($; =О) = ! — Рь «~ !. Я 4 — 5.
Иаложепне рассматриваемых здесь вопросов следует книгал« Б. В. Гнеденко и А. Н. Коллюгоровл (16) и Р. Эша (82]. Теорема 2 в 4 4 восит название теоремы Линдеберга — Феллсра См. также В. Феллер [70). Глана 1Ч 8 1. Закон «нуля или единицы» Колмогорова содержится в его канте [32). По поводу закона «нуля или единицы» Хьюитта и Сэвиджа см также А. А. Боровков [7), Л. Брейман [8], Р. Эш [82). 48 2 — 4. Основные результаты здесь получены А. Н. Колмогоровым н А. Я. Хннчиным (см. [32[ и литературу там). См. также книги В. В, Петрова (53] н Стаута [66]. По поводу вероятностных методов н теории чисел см. книгу И.
Кубилюса (36), Глава»' 48 1 — 3. При изложении теории стационарных (в узком смысле) случай. ных последовательностей использованы книги Л. Бреймана [8), Я. Г. Синая [63) и Дж. Ламперти [38). Простое доказательство максимальной зргодической теоремы дано А. Гарсиа [!2). Глава»г! 8 1. Теории стационарных (в широком смысле) случайных последователь. настей посвящены книги Ю, А.
Розанова [60], И. И. Гихмана и А. В. Скорохода [!3], [!4]. Пример 6 часто приводился в лекциях А. Н. Колмогорова. 8 2. По поводу ортогональным стохастическим мер и стохзстнческих интегралов см. также Дж. Дуб [20], И. И, Гихман и А. В. Скороход [14], Ю. А. Розанов [60], Р. Эш н М, Гарднер [83].
пстОРикО БиилиОГРАФичискАя спРАВкА 565 5 3, Спектральное представление (2) получено Г. Крамеооч н М. Лоэвом (см., например, [42)). Б других терминах такое предстзвленне содержится в работе А. Н. Колмогорова [29). См. также книги Дж. Дуба [20), Ю. А. Роэааоаа [60[, Р.
Эша н М. Гарднера [83[. 4 4. Подробное взложение вопросов статистического оценнвания ковариац~гонной! функции и спектральной плотности содержится в книгах Э. Хеннана [72[, 173). 43« 5 — 6. См. также книги Ю. А, Розанова [60), Дж. Ламперти [38), И. И. Гихмана и А. В. Скорохода [13), [14). 5 7. Изложение здесь следует книге Р. Ш.
Липцера и А. Н. Ширяева [41). Глава А»П 5 1. Большинство основных результатов теории мартингалов получено Дж. Дубом [20]. Теорема 1 содержится у П. Мейера [47[. Сч. также книги П. Мейера [48), Р. Ш. Лнпцера и А. Н. Ширяева [41), И. И, Гихмана и А Б. Скорохода [14[. й 2, Теорема 1 часто называется теоремой «О преобразовании свободного выбора», [20). По поводу тождеств (14), (15) и фундаментального то»кдества Вальда см.
книгу [9[. 4 3. Подробное освещение излагаемых здесь результатов, включая доказательство 'неравенств Хинчина, Марцинкевича и З»ггмуида, Буркхольдера, Дэвиса содержится в книге Чао и Тейчера [74), Теорема 2 принадлежит Лснгляру [39). 4 4. См. монографию Да«. Дуба [20), 5 5. Излагаемый здесь материал следует статьям Ю. М. Кабанова, Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
