1625915142-a23bee82d85f38806186b1a563141c58 (843871), страница 16
Текст из файла (страница 16)
В условиях задачи 16.6 построить равномерно наиболеемощный критерий размера 0,1 по результатам 100 экспериментов.19.8. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Пуассонас параметром λ. Используя достаточную статистику X, построить§ 20. критерии согласия93равномерно наиболее мощный критерий размера ε для проверкигипотезы H1 = {λ = λ1 } против альтернативы H2 = {λ > λ1 }.19.9.
Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из геометрического распределения с параметром p. Используя достаточную статистикуX, построить равномерно наиболее мощный критерий размераε для проверки гипотезы H1 = {p = p1 } против альтернативыH2 = {p > p1 }.19.10.
По выборке X1 объёма 1 проверяется основная гипотеза о том, что X1 имеет стандартное нормальное распределение,против альтернативы, состоящей в том, что распределение X1 обладает свойством P{X1 ∈ [0, 1]} = 0. Построить критерий с единичной мощностью. Каков наименьший возможный размер такогокритерия?§ 20. Критерии согласияПусть имеется выборка X1 , . . . , Xn из неизвестного распределения F .Пусть F1 — некоторое распределение. Критерии, предназначенные для проверки основной гипотезы H1 = {F = F1 }, называются критериями согласия.Альтернативной гипотезой чаще всего является H2 = {F 6= F1 }.
Иногда вкачестве H1 выступает тоже сложная гипотеза.Пусть задан некоторый функционал d(Pn∗ , F1 ), обладающий следующимсвойством: по заданному ε можно найти c такое, чтоPH1 {d(Pn∗ , F1 ) > c} = εилиlim PH1 {d(Pn∗ , F1 ) > c} = ε.n→∞Значение функционала d(Pn∗ , F1 ) можно трактовать как «расстояние» междуэмпирическим и предполагаемым теоретическим распределением.Критерий согласия (асимптотического) размера ε, основанный на функционале d, строится следующим образом: критерий отвергает основную гипотезу, если для данной выборки значение d(Pn∗ , F1 ) превосходит c.Если d(Pn∗ , F1 ) стремится по вероятности к бесконечности при n → ∞, кактолько распределение F отлично от F1 , то данный критерий согласия состоятелен. А именно, при любом распределении F , отличном от F1 , вероятностьошибки второго рода стремится к нулю.Критерий Колмогорова.
Пусть имеется выборка X1 , . . . , Xn из неизвестного распределения F и Fn∗ (y) — эмпирическая функция распределения, построенная по этой выборке. Пусть F1 — некоторое распределение снепрерывной функцией распределения F1 (y). Для проверки простой гипоте-94отдел vi.
проверка гипотеззы H1 = {F = F1 } используется статистика Колмогорова√d(X1 , . . . , Xn ) = n sup |Fn∗ (y) − F1 (y)|.y∈RСправедлива следующаяТеорема Колмогорова. Если F = F1 , то при n → ∞ распределениестатистики Колмогорова слабо сходится к распределению Колмогорова сфункцией распределенияK(y) =∞X(−1)j e−2j2 2y,y > 0.j=−∞Критерий Колмогорова асимптотического размера ε отвергает основнуюгипотезу, если значение статистики Колмогорова d(X1 , . .
. , Xn ) превосходитквантиль ζ1−ε уровня 1 − ε распределения Колмогорова.Критерий Пирсона хи-квадрат. Пусть имеется выборка X1 , . . . , Xn изнеизвестного распределения F и F1 — некоторое распределение. Пусть заданконечный набор из k непересекающихся интервалов ∆1 , . . . , ∆k , покрывающих R. Обозначим через pj = F1 (∆j ) вероятности попадания в эти интервалыдля распределения F1 и через νj — число элементов выборки, попавших в интервал ∆j .Для проверки гипотезы H1 о совпадении вектора неизвестных истинныхвероятностей (F (∆1 ), . .
. , F (∆k )) с вектором (p1 , . . . , pk ) используется статистика хи-квадратkX(νj − npj )2χ2 (X1 , . . . , Xn ) =.npjj=1Справедлива следующаяТеорема Пирсона. Если гипотеза H1 верна, то при n → ∞ распределение статистики хи-квадрат слабо сходится к χ2 -распределению с k − 1степенью свободы.Критерий Пирсона асимптотического размера ε отвергает основную гипотезу, если значение статистики хи-квадрат χ2 (X1 , . . . , Xn ) превосходит квантиль ζ1−ε уровня 1 − ε χ2 -распределения с k − 1 степенью свободы.20.1. Имеется выборка X1 , X2 , X3 объёма 3.
Для проверки гипотезы о том, что выборка взята из равномерного на отрезке [0, 1]распределения, используется критерий Колмогорова: гипотеза оравномерности отвергается, если sup |F3∗ (y) − y| > 1/3. Сфорy∈[0,1]мулировать этот критерий в явном виде в терминах порядковыхстатистик. Чему равен размер этого критерия?§ 20. критерии согласия9520.2. Доказать состоятельность критерия Колмогорова.20.3. Для проверки гипотезы о том, что выборка взята из равномерного на отрезке [0, 1] распределения, используется статистика омега-квадрат2Z1ω =(Fn∗ (y) − y)2 dy.0Гипотеза о равномерности отвергается, если ω 2 > γ, где числоγ > 0 выбирается заранее. Доказать, что для выборки из равномерного на отрезке [0, 1] распределения справедливо равенствоEω 2 = 1/6n.С помощью неравенства Чебышёва указать значение γ, при котором размер критерия не превосходит ε.20.4.
Доказать, что при условии 0 6 X(1) 6 X(n) 6 1 справедливо равенствоZ1n(Fn∗ (y) − y)2 dy =11 X2k−1 2+X−(k)12n2 nnk=10(с помощью этого представления часто вычисляется значение статистики ω 2 ).20.5. Для проверки гипотезы о том, что выборка взята из распределения с непрерывной функцией распределения F , используется статистикаZ1ω 2 = (Fn∗ (y) − F (y))2 dF (y).0Доказать, что при выполнении основной гипотезы распределениестатистики ω 2 не зависит от непрерывного распределения F .20.6. При n = 4040 бросаниях монеты Бюффон получил 2048выпадений герба и 1992 выпадений решётки.
Совместимо ли это сгипотезой о том, что существует постоянная вероятность p = 1/2выпадения герба?96отдел vi. проверка гипотез20.7. В ходе n = 4000 независимых испытаний события A1 ,A2 и A3 , составляющие полную группу событий, появились 1905,1015 и 1080 раз соответственно. Проверить, согласуются ли этиданные на уровне 0,05 с гипотезой H = {p1 = 1/2, p2 = p3 = 1/4},где pj = P{Aj }.20.8. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из нормального распределения со средним a и единичной дисперсией.
Построить такой критерий δ с вероятностью ошибки первого рода α1 (δ) = ε для различения гипотез H1 = {a = a0 }, H2 = {a < a0 } и H3 = {a > a0 },что α2 (δ) → 0 при любом a < a0 и α3 (δ) → 0 при любом a > a0 .√Р е ш е н и е. Построим критерий с помощью статистики n X − a0 , имеющей при гипотезе H1 стандартное нормальное распределение.
Если ζ1−ε/2 —квантиль уровня 1 − ε/2 стандартного нормального распределения, то критерий√ H2 , если n X − a0 √< −ζ1−ε/2 ,δ(X1 , . . . , Xn ) =H1 , если − ζ1−ε/2 6 n X − a0 6 ζ1−ε/2 ,√H3 , если n X − a0 > ζ1−ε/2имеет вероятность ошибки первого рода ε. Вероятность ошибки второго родастремится к нулю:√PH2 {δ 6= H2 } = PH2n X − a0 > −ζ1−ε/2 → 0,pпоскольку X − a0 → a − a0 < 0 для любого a < a0 , так что величина√n X − a0 с ростом n стремится по вероятности к минус бесконечности. Всилу симметрии вероятность ошибки третьего рода также стремится к нулю.20.9.
Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Бернуллис параметром p. Построить какой-либо состоятельный критерийасимптотического размера ε для проверки гипотезы p = p0 противальтернативы p 6= p0 .20.10. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Пуассона с параметром λ. Построить какой-либо состоятельный критерий асимптотического размера ε для проверки гипотезы λ = λ0против альтернативы λ 6= λ0 .20.11. Используя конструкции доверительного интервала, построить критерий с (точной или асимптотической) ошибкой первого рода ε для проверки гипотезы θ = 1 по выборке из§ 20. критерии согласия97а) нормального распределения со средним θ и дисперсией 1;б) нормального распределения со средним 1 и дисперсией θ;в) показательного распределения с параметром θ;г) распределения Бернулли с параметром θ/2;д) распределения Пуассона с параметром θ.20.12.
Пусть выборка X1 , . . . , Xn имеет нормальное распределение со средним a и дисперсией σ 2 . Для проверки гипотезы отом, что a = a0 , используется статистика√ n X − a0 p.S02Доказать, что соответствующий критерий состоятелен.20.13. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка объёма n из нормальногораспределения со средним a и единичной дисперсией, а Y1 , . . . ,Ym — выборка объёма m из нормального распределения со средним b и единичной дисперсией; выборки X и Y независимы.
Проверяется гипотеза о близости математических ожиданийa и b.Основная гипотеза H1 = {a = b} принимается, если X − Y 6 1.Иначе принимается альтернатива H2 = {|a − b| > 1}. Является лиданный критерий состоятельным (при n, m → ∞)? Найти вероятность ошибки первого рода этого критерия.20.14. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка объёма n из нормальногораспределения со средним a и единичной дисперсией, а Y1 , . . . ,Ym — выборка объёма m из нормального распределения со средним b и единичной дисперсией; выборки X и Y независимы. Известно, что a > b.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
