1625915142-a23bee82d85f38806186b1a563141c58 (843871), страница 20
Текст из файла (страница 20)
М.: Наука, 1979.8. Емельянов Г. В., Скитович В. П. Задачник по теории вероятностей и математической статистике. Л.: Изд-во Ленинградскогоун-та, 1967.9. Закс Ш. Теория статистических выводов. М.: Мир, 1975.10. Зубков А. М., Севастьянов Б. А., Чистяков В. П. Сборник задач потеории вероятностей. М.: Наука, 1989.11. Ивченко Г. И., Медведев Ю. И.
Математическая статистика.М.: Высшая школа, 1984.12. Ивченко Г. И., Медведев Ю. И., Чистяков А. В. Сборник задач поматематической статистике. М.: Высшая школа, 1989.13. Кокс Д., Снелл Э. Прикладная статистика. Принципы и примеры. М.: Мир, 1984.14. Кокс Д., Хинкли Д. Задачи по теоретической статистике с решениями. М.: Мир, 1981.список литературы11715. Коршунов Д. А., Фосс С. Г. Сборник задач и упражнений по теории вероятностей.
Новосибирск: Изд-во НИИ МИОО НГУ, 1997.(2-е изд., испр. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2003).16. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.17. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука, 1964.18. Мешалкин Л. Д. Сборник задач по теории вероятностей.
М.:Изд-во Московского ун-та, 1963.19. Сборник задач по математической статистике. Учебное пособие под редакцией А. А. Боровкова. Новосибирск: Новосибирскийгосударственный ун-т, 1989.20. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под редакцией А. А. Свешникова. М.: Наука, 1965.21. Секей Г.
Парадоксы в теории вероятностей и математическойстатистике. М.: Мир, 1990.22. Уилкс С. Математическая статистика. М.: Наука, 1967.23. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения.Т. 2. М.: Мир, 1984.24. Чибисов Д. М., Пагурова В. И. Задачи по математической статистике. М.: Изд-во Московского ун-та, 1990.25. Dacunha-Castelle D., Duflo M. Exercices de probabilités et statistiques.Tome 1. Problèmes à temps fixe. Paris e.a.: Masson, 1982.26.
Garthwaite P. H., Jolliffe I. H., Jones B. Statistical Inference. PrenticeHall, 1995.ОТВЕТЫ§ 1. Выборка и вариационный ряд1.1. а), б), г), е–и) Да; в), д) нет. 1.2. б), в), е), ж), и) Да; а), г), д),з) нет. 1.3. а) a, σ 2 /n, Na,σ2 /n ; б) a; в) σ 2 (n − 1)/n, σ 2 . 1.4. λ, λ/n, нет,нет. 1.5. (a + b)/2, (b − a)2 /12n, нет, нет. 1.6.
U0,1 . 1.7. U0,1 . 1.8. U0,1 .1.9. E1 . 1.10. U0,1 . 1.11. U0,1 . 1.12.1 = 1 − p} =n P{YPo 1 − P{Y1 =k−1 i −λ−λ0} = p. 1.13. P{Y1 = 0} = e ; P Y1 = i=0 λ e /i! = λk e−λ /k!,k > 1. 1.14. Если y1 < · · · < yn , то n!f (y1 ) · . . . · f (yn ), иначеn0. 1.15.б) 1 − (1 − F (y))n .
1.16. Cnk F k (y)(1 − F (y))n−k .Pn а) Fi (y);i1.17. i=k Cn F (y)(1−F (y))n−i . 1.18. а) n(θ−y)n−1 /θn ; б) ny n−1 /θn ; в)k−1 k−1nCn−1y(θ − y)n−k /θn . 1.19. а) n(1 − F (y))n−1 f (y); б) nF n−1 (y)f (y);k−1 k−1в) nCn−1 F(y)(1 − F (y))n−k f (y). 1.20. а) θ/(n + 1), 2θ2 /(n + 1)(n + 2),22nθ /(n+1) (n+2); б) nθ/(n+1), nθ2 /(n+2), nθ2 /(n+1)2 (n+2); в) kθ/(n+1), k(k + 1)θ2 /(n + 1)(n + 2), k(n − k + 1)θ2 /(n + 1)2 (n + 2). 1.21. P{X(k) >i Pn−iPk−1 i PlNl} =. 1.22. P{X(1) < y, X(n) <i=0 Cnm=0 pmm=l+1 pmnnz} = F (z) − (F (z) − F (y)) в случае y < z и P{X(1) < y, X(n) < z} =F n (z) иначе.
1.23. а) n(n − 1)(z − y)n−2 /θn при 0 6 y < z 6 θ; б)k−1 j−k−1 k−1θ2 /(n + 1)2 (n + 2); в) n(n − 1)Cn−2Cn−k−1 y(z − y)j−k−1 (θ − z)n−j /θnпри 0 6 y < z 6 θ; г) k(n−j+1)θ2 /(n+1)2 (n+2). 1.24. б) Enα ; в) E(n−k)α .1.28. а), б) E1 . 1.30. а), б) Γ1,k .
1.31. Вектор с независимыми координатами, первая имеет распределение Γ1,k , вторая — Γ1,j . 1.32. Вектор(ξ1 , ξ1 +ξ2 ), где ξ1 и ξ2 независимы и имеют распределения Γ1,k и Γ1,j−k .1.34. Нулевой вектор средних значений; дисперсии p(1 − p) и s(1 − s);ковариация p(1 − s). 1.35. Предельная функция распределения равна−xe−e , x ∈ R.§ 2. Эмпирическая функция распределения2.3. Fn∗ (y) = 0 при y 6 0, Fn∗ (y) = 1 − X при 0 < y 6 1 и= 1 при y > 1. 2.4.
(1, 1, 5, 7, 8, 8), (1, 5, 1, 7, √8, 8). 2.5.√ Нет,да, нет, нет. 2.6. Да; (X1 /a, . . . , Xn /a). 2.8. а) Да, ( 3 X1 , . . . , 3 Xn );Fn∗ (y)119ответыб) да, выборка объёма n3 , в которой X(k) повторяется k 3 − (k − 1)3раз. 2.9. Да; объединённой выборке (X1 , . . . , Xn , Y1 , . . . , Yn ). 2.12. а)F (y); б) F (y)(1 − F (y))/n; в) (F (z) − F (y))(1 − F (z) + F (y))/n, есy yy yp (1 − p)m−y )n−k приp (1 − p)m−y )k (1 − Cmли y < z. 2.13. Cnk (Cmy ∈ {0, .
. . , m}; 0 — иначе. 2.14. 1 − (1 − F (z) + F (y))n , если y <√ z.2.15. 0. 2.21. cn = n(1 − 1/e2 ), N0,1/e2 −1/e4 ; cn = n(1 − 1/e2 ) + 13 n,N−13,1/e2 −1/e4 .§ 3. Метод моментов3.1. а) X; б) X 2 −a2 ; в) X, S 2 . 3.2. а) (π/2)(|X− a|)2 ; б)q(X − a)2 . 3.3. а)qpkmax(0, X), 1 + X 2 − 1; б) max(0, X); X 2 /2. 3.4.X 2k /(2k − 1)!!.p√√3.5. а) 2X; б), в) X; г) 3X 2 . 3.6. а)a∗ = X − 3S 2 , b∗ = X + 3S 2 ;q√√kб) a∗ = X − 3S 2 , b∗ = 2 3S 2 . 3.7. (k + 1)X k .
3.8. 1/X. 3.9. X − 1.qq√√kk3.10. α∗ = S 2 , β ∗ = X − S 2 . 3.11. а) k!/X k ; б) X k /k!. 3.12. y 2 ,q2/X 2 . 3.13. (X)2 . 3.14. e−1/X . 3.15. а) α∗ = β/X; б) β ∗ = αX; в)∗α q= X/S 2 , β ∗ = (X)2 /S 2 . 3.16. а) X/(X − θ); б) X(1q− 1/β); в) β ∗ =21+ 1 + (X) /S 2 , θ∗ = X(1−1/β ∗ ). 3.17. 1/X α . 3.19. X k /Γ(1 + k/3).3.20. а) X/(1−X); б) 3X/2.
3.21. Нет. 3.22. X. 3.23. Нет. 3.24. а) X/m;б) ближайшее целое к числу X/p; в) p∗n = 1 − S 2 /X, ближайшеецелоеqkк числу m∗n = (X)2 /(X − S 2 ). 3.25. eX . 3.26. а) X; б) X 2 + 1/4 − 1/2.pX∗∗3.27.e.3.28.θI{X=1}.3.29.λ=X−S 2 − X, λ∗2 = X +=n1p∗S 2 − X. 3.30. 1/(X + 1). 3.31. θn = (b − X)/(b − a), если a 6 X 6 b;0, если X < a; 1, если X > b. 3.32. Для параметра α распределенияЛапласа.§ 4. Метод максимального правдоподобияqp(X)2 + 4X 2 −X .4.1.
X, S 2 . 4.2. (X − a)2 . 4.3. а) 1 + X 2 −1; б) 124.4. X(n) . 4.5. а) −X(1) ; б) max{−X(1) , X(n) } = max{|Xi |}; в) любая точка отрезка [X(n) −2, X(1) ]; г) X(n) /2. 4.6. a∗n = X(1) , b∗n = X(n) . 4.7. 1/X.4.8. X(1) . 4.9. αn∗ = X − X(1) , βn∗ = X(1) .
4.10.Pn Выборочная медиана.4.11. µ∗ = выборочная медиана, σ ∗ = n−1 i=1 |Xi − µ∗ |. 4.12. α∗ =β/X. 4.13. а) 1/(ln X − ln θ); б) X(1) ; в) (1/(ln X − ln X(1) ), X(1) ).p34.14. 1/X α . 4.15.X 3 . 4.16. g(X). 4.17. а) −1/ln X; б) X(n) ; в)120ответыp1X −1 ; г) −1/ln ln X; д) max {|Xi |}. 4.18. а) X1 ; б) (X1 + X2 )/2,16i6npесли |X1 − X2 | 6 2; (X1 + X2 )/2 ± (X1 − X2 )2 /4 − 1 иначе (если|X1 − X2 | > 2). 4.19. См. ответ к задаче 4.18б).
4.20. X. 4.21. а) X/m;б) [X1 /p], если X1 /p не целое, X1 /p − 1 или X1 /p, если X1 /p целое.4.22. X. 4.23. 1/(X + 1). 4.24. p∗n = νn /(nX + νn ), где νn — количество элементов выборки, отличных от m. 4.25. X(n) . 4.26. a∗n = 1, еслиX < 3/2; a∗n = 2, если X > 3/2. 4.27. θ∗ = 1, если X > ln 2; θ∗ = 2, еслиln 3/2 < X < ln 2; θ∗ = 3, если X < ln 3/2. 4.28. I{X 6= 3}/3. 4.29. X1 .4.31. Uθ,θ+7 . 4.32.
Uθ,θ+7 .§ 5. Байесовские оценки−12+bn/2−nX5.2. nXσ.5.3.1+e. 5.4. а) n+12nσ +1n · max(X(n) , 1); б)n−1n−1 X(n) −X(n)n−2 1−X n−1 .(n)−15.5. θn∗ = 1 + (1 + 2n ), если X(n) 6 1; θn∗ = 2, если1 < X(n) 6 2. 5.6. (n + 1)/(nX + β). 5.7. aena /(ena − 1) − 1/n, где a =min(1, X(1) ). 5.8.
а)β+2nβ+2n−1 .2n−12n−1 X(n) −X(n)2n−2 X 2n−1 −1 ;(n)б)2n−32n−3 X(n) −X(n)2n−4 X 2n−3 −1 ;(n)в) max(X(n) , 1) ·5.9. (nX + 1)/(n + 2). 5.10. (22n+1−nX + 3n+1 )/6(22n−nX + 3n ).5.11. (nX +λ)/(n+1+λ). 5.12. (nX +1)/(n+1). 5.13. (en +2nX+2 )/(en +2nX+1 ). 5.14. (3nX + 4 · 2nX + 9)/4(3nX + 2 · 2nX + 3).§ 6. Несмещённость и состоятельность6.1. Смещённая и состоятельная.
6.2. а), г), д) Несмещённая и состоятельная; б) смещённая и состоятельная; в) несмещённая и несостоятельная. 6.4. Нет; да. 6.5. Нет; да. 6.6. Нет; да. 6.9. Да; да (да). 6.10. Нет;S02 . 6.11. а), б), в) Несмещённая и состоятельная; г) смещённая и состоятельная. 6.12. Несмещённая и состоятельная. 6.13.
Несмещённаяи состоятельная. 6.15. а) 814,86 м2 ; б) 921,84 м2 . 6.16. Несмещённая,состоятельная. 6.17. Несмещённая, состоятельная. 6.18. а), б) Да, да.6.19. Нет, α/(n − 1); да. 6.20. θ = e1/α ; нет. 6.21. Нет; да. 6.22. Смещённые и состоятельные при любом k. 6.23. а) Смещённая, состоятельная; б) несмещённая, состоятельная. 6.24. Все четыре оценки состоятельные и смещённые. 6.25. Состоятельные. 6.26. Обе смещённые исостоятельные. 6.27. Смещённая и состоятельная. 6.28. Нет. 6.29.
Состоятельная и несмещённая. 6.30. Нет; да. 6.32. Нет. 6.33. bn (p) =(α−pβ)/(n+β), E(p∗n −p)2 = (np(1−p)+(α−pβ)2 )/(n+β)2 . 6.34. θ = e2p ;нет. 6.35. Вторая — да, первая и третья — нет. 6.36. θ = λ5 ; нет.ответы1216.37. θ = λe−λ , нет. 6.38. θ = λe−λ ; да. 6.39. Нет; да. 6.41. а) n+3n+4 X;б) (X1 + X3 )/2. 6.43. Нет; да. 6.44. Нет; да. 6.45. Смещённая и состоятельная.
6.46. Несмещённая и состоятельная. 6.48. B1/2 , δ = 1/2.6.49. Несмещённая, состоятельная. 6.51. θ∗ /3. 6.53. Распределение θ∗невырождено, а функция f не является линейной на множестве Θ.6.54. а) U0,θ , g(y) = y 9 ; б) Bp ; в) Πλ , λ∗ = X7 ; г) Πλ , λ∗n = X + 1/n.§ 7. Асимптотическая нормальность7.1. DX1 . 7.2. Dg(X1 ). 7.3. D(X1 − a)2 . 7.6.
4σ 2 θ2 . 7.7. Толькопри θ 6= 0. 7.10. Да; σ 2 (π/2 − 1). 7.11. Да; 4σ 4 . 7.12. θ2 /(2k + 1).7.13. Нет. 7.14. Нет. 7.15. 1/27. 7.16. θ = ln(a/2), σ 2 (a) = 1/3.(2k)! − (k!)2 2227.17.α . 7.18. 1. 7.19. θ = e−2/α , σ 2 (α) = 20 e−4/α /α4 .22k (k!)7.20. а) Нет; б) да, 1. 7.21. а) α∗ — да, 2α2 ; б) α∗ — да, α2 , β ∗ —нет. 7.22. βn∗ — да, σ 2 (β) = β 2 ; θn∗ — нет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
