1625915142-a23bee82d85f38806186b1a563141c58 (843871), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

проверка гипотез16.1. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из нормального распределения со средним a и единичной дисперсией. Для проверки основнойгипотезы a = 0 против альтернативы a = 1 используется следующий критерий: основная гипотеза принимается, если X(n) < 3, иотвергается в противном случае. Найти вероятности ошибок первого и второго рода.Р е ш е н и е. Имеем равенстваα1 = PH1 {гипотеза H1 отвергается} = PH1 {X(n) > 3}nn= 1 − PH1 {X(n) < 3} = 1 − PH1 {X1 < 3} = 1 − 1 − Φ(3)иα2 = PH2 {гипотеза H1 принимается} = PH2 {X(n) < 3}nnn= PH2 {X1 < 3} = PH2 {X1 − 1 < 2} = 1 − Φ(2) .16.2.

Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из нормального распределения со средним a и единичной дисперсией. Рассматриваютсядве простые гипотезы: основная a = −1 и альтернативная a = 0.Предлагается следующий статистический критерий для проверки этих гипотез: основная гипотеза принимается, если X < −nγ ;в противном случае принимается альтернативная гипотеза. Здесьγ — заранее выбранное вещественное число. Определить все числаγ, при которых критерий является состоятельным.16.3.

Есть две гипотезы: основная состоит в том, что элементы выборки имеют нормальное распределение, а альтернатива —в том, что элементы выборки имеют распределение Пуассона. Построить критерий, обладающий нулевыми вероятностями ошибокпервого и второго рода.16.4. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка, о плотности распределениякоторой высказаны две гипотезы: гипотеза H1 о том, что Xi имеютраспределение с плотностью −(y−6)eпри y > 6,f1 (y) =0при y < 6,и альтернатива H2 , состоящая в том, что Xi имеют плотность −2(y−3)2eпри y > 3,f2 (y) =0при y < 3.§ 17.

байесовские и минимаксные критерии83Найти пределы при n → ∞ вероятностей ошибок первого и второго рода следующего критерия: гипотеза H1 принимается тогдаи только тогда, когда√а) X > 3,5 + 1/ n;б) X > 3,5 + 1/n;в) X > 3,5.16.5. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Пуассонас параметром λ. Рассматриваются две простые гипотезы: λ = 1и λ = 3. Критерий δ предписывает принимать первую гипотезу,если X(n) 6 1, и альтернативу в противном случае. Найти минимальный размер выборки, при котором мощность этого критерияпревышает заданное значение γ.16.6. Основная гипотеза состоит в том, что данный человеклишён телепатических способностей и угадывает мысли на расстоянии в каждом единичном эксперименте с вероятностью 1/2.Гипотеза же о наличии телепатических способностей у данногочеловека принимается, если в 100 независимых однотипных экспериментах по угадыванию мыслей на расстоянии не менее 70 заканчиваются успехом. Чему равна вероятность признать телепатом человека без телепатических способностей?§ 17.

Байесовские и минимаксные критерииПусть имеется выборка X1 , . . . , Xn . Кроме того, пусть имеются k распределений F1 , . . . , Fk и k простых гипотез H1 , . . . , Hk о распределении выборки:гипотеза Hj состоит в том, что выборка взята из распределения Fj , j = 1,2, . . . , k.Нерандомизированным критерием называется произвольное отображение δ = (δ1 , . . . , δk ) : Rn → {0, 1}k такое, что для любого (x1 , . .

. , xn ) ∈ Rnлишь одно (по j) из значений δj (x1 , . . . , xn ) равно 1, а остальные равны 0.Если δj = 1, то принимается гипотеза Hj .Рандомизированным критерием называется произвольное отображениеδ = (δ1 , . . . , δk ) : Rn → [0, 1]k такое, что для любого (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn имеетместо равенствоkXδi (x1 , . . . , xn ) = 1.i=1Значение δj интерпретируется как вероятность принять гипотезу Hj .84отдел vi.

проверка гипотезВероятностью ошибки j-го рода нерандомизированного критерия δ называется вероятностьαj (δ) = PHj {δj (X1 , . . . , Xn ) = 0}.Вероятностью ошибки j-го рода рандомизированного критерия δ называетсяматематическое ожиданиеαj (δ) = 1 − EHj δj (X1 , . . . , Xn ).Байесовский подход. Этот подход предполагает, что распределение Fj ,из которого извлечена выборка, было выбрано случайно. В этом случае гипотезы Hj становятся случайными событиями; известные вероятности этихсобытий обозначим черезP{Hj } = qj ,так что q = (q1 , .

. . , qk ) есть априорное распределение на множестве гипотез.Определим среднюю вероятность ошибки критерия δ:α(δ) =kXqj αj (δ).j=1Критерий δq назавается байесовским, если он имеет минимальную среднюювероятность ошибки.Пусть выполнено условие доминирования относительно некоторой мерыµ на R.

Обозначим через fj (y) плотность распределения Fj относительномеры µ. Тогда справедлива следующаяТеорема. Байесовский критерий δq = (δq,1 , . . . , δq,k ) существует прилюбом априорном распределении q. Он имеет вид: критерий δq принимаетгипотезу Hj , т. е. δq,j (x1 , . . . , xn ) = 1, еслиqj fj (x1 , . . . , xn ) = max qi fi (x1 , .

. . , xn ).i=1,...,kМинимаксный подход. При этом подходе сравниваются максимальныезначенияα(δ) = max αj (δ).jКритерий δ назавается минимаксным, если он имеет минимальную ошибкуα(δ).17.1. По выборке объёма n из нормального распределения снеизвестным средним a и неизвестной дисперсией построить байесовский критерий для различения двух простых гипотез о параметре a, если априорные вероятности гипотез равны.§ 18. наиболее мощные критерии8517.2.

Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из нормального распределения со средним a и единичной дисперсией, где параметр aможет принимать лишь значенияа) 1 и 2;б) 1, 2 и 3с равными априорными вероятностями. Построить байесовскийкритерий δ = δ(X). Вычислить δ(3).17.3. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из показательного распределения со средним α, где параметр α может принимать лишьзначения 1, 2 и 3 с равными априорными вероятностями. Построить байесовский критерий.17.4.

Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из геометрического распределения с параметром p, где p может принимать лишь значения1/2 и 1/4 с априорными вероятностями 1/3 и 2/3 соответственно.Построить байесовский критерий.17.5. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из биномиального распределения с параметрами m и p, где p может принимать лишьзначения 1/3 и 2/3 с априорными вероятностями 1/5 и 4/5 соответственно, а параметр m известен и фиксирован. Построитьбайесовский критерий.17.6. По выборке объёма 1 из нормального распределения снеизвестным средним a и неизвестной дисперсией построить минимаксный критерий для различения двух простых гипотез о параметре a.§ 18.

Наиболее мощные критерииПусть имеются два распределения F1 и F2 , а также две простые гипотезыH1 и H2 о распределении выборки: гипотеза Hj состоит в том, что выборкавзята из распределения Fj , j = 1, 2.Наиболее мощным критерием размера ε, различающим гипотезы H1 иH2 , называется такой критерий δ (вообще говоря, рандомизированный), чтоα(δ) 6 ε и любой другой критерий с размером, не превосходящим ε, обладаетменьшей мощностью, нежели δ.Пусть выполнено условие доминирования относительно некоторой мерыµ на R. Обозначим плотность распределения F1 относительно меры µ черезf1 (x), а распределения F2 через f2 (x). Пусть f1 (x1 , .

. . , xn ) — функция правдоподобия при основной гипотезе и f2 (x1 , . . . , xn ) — при альтернативе. В этомслучае справедлива следующая86отдел vi. проверка гипотезЛемма Неймана – Пирсона. Наиболее мощный критерий размера εсуществует при любом ε > 0 и определяется равенствомf2 (x1 , . . . , xn )> c, 1, еслиf1 (x1 , .

. . , xn )f2 (x1 , . . . , xn )0, если< c,δ(x1 , . . . , xn ) =f1 (x1 , . . . , xn ) ρ, если f2 (x1 , . . . , xn ) = c,f1 (x1 , . . . , xn )где константы c и ρ однозначным образом находятся из уравненияEH1 δ(X1 , . . . , Xn )n f (X , . . . , X )on f (X , . . . , X )o21n21n= PH 1> c + ρPH1= c = ε.f1 (X1 , . . . , Xn )f1 (X1 , . . .

, Xn )18.1. Пусть имеется некоторая выборка. Основная гипотезасостоит в том, что элементы выборки имеют стандартное нормальное распределение. Альтернатива — в том, что элементы выборки имеют распределение Бернулли с параметром 1/2. Построить наиболее мощный критерий, различающий эти две гипотезыс вероятностью ошибки первого рода, равной 1/2.18.2. По выборке X1 объёма 1 проверяются гипотезы о плотности f распределения наблюдения X1 : гипотеза H1 = {f = f1 }против альтернативы H2 = {f = f2 }.

Здесь2y при y ∈ [0, 1],2(1 − y) при y ∈ [0, 1],f1 (y) =f2 (y) =0 при y 6∈ [0, 1],0при y 6∈ [0, 1].Построить наиболее мощный критерий размера ε и вычислить егомощность.Р е ш е н и е. Отношение правдоподобия при n = 1 равно 1/x1 −1. Поэтомунаиболее мощный критерий отвергает основную гипотезу, если 1/x1 − 1 > c,что равносильно неравенству x1 < c1 . Число c1 определяется из равенстваα(δ) = PH1 {X1 < c1 } = c21 = ε.√√Следовательно, c1 = ε и основная гипотеза отвергается, если X1 < ε.Мощность этого критерия равна√β(δ) = PH2 {X1 < c1 } = 1 − (1 − c1 )2 = 1 − (1 − ε)2 .18.3. Проверяются гипотезы о плотности f распределения наблюдений X1 , . . .

, Xn : гипотеза H1 = {f = f1 } против альтернати-§ 18. наиболее мощные критериивы H2 = {f = f2 }. Здесь1 при y ∈ [0, 1],f1 (y) =0 при y 6∈ [0, 1],f2 (y) =872y при y ∈ [0, 1],0 при y 6∈ [0, 1].Построить наиболее мощный критерий размера εа) при n = 1;б) при n = 2.18.4. По выборке X1 объёма 1 проверяется гипотеза о том, чтоX1 распределено равномерно на отрезке [0, 1], против альтернативы о том, что X1 имеет распределение с плотностью 3/2 при y ∈ [0, 1/2],f (y) = 1/2 при y ∈ (1/2, 1],0при y 6∈ [0, 1].Построить наиболее мощный критерий размера 1/4.Р е ш е н и е.

Характеристики

Список файлов книги