1625915142-a23bee82d85f38806186b1a563141c58 (843871), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Пусть X1 , X2 — выборка объёма 2 из нормального распределения со средним 0 и дисперсией 5. Указать число c такое,76отдел v. доверительное оцениваниечто величины |X1 − 2X2 | и (cX1 + X2 )3 независимы.14.7. По выборке из нормального распределения построитьточные доверительные интервалы для среднего a и дисперсии σ 2 .14.8. По выборке из нормального распределения со среднимθ > 0 и дисперсией θ2 построить точный доверительный интервалдля параметра θ уровня доверия 1 − ε.√Р е ш е н и е. Величина n|X|/θ распределена как |ξ|, где ξ имеет нормаль√ное распределение со средним n и единичной дисперсией.

Пусть ζδ — квантиль уровня δ распределения случайной величины |ξ|, т. е. P{|ξ| < ζδ } = δ.√√Тогда искомый доверительный интервал равен ( n|X|/ζ1−ε/2 , n|X|/ζε/2 ).14.9. Имеется выборка объёма 3 из нормального распределения с неизвестными математическим ожиданием и дисперсией.Несмещённая выборочная дисперсия равна 1. Не пользуясь таблицами, построить точный доверительный интервал для неизвестной дисперсии уровня 0,9.14.10. Пусть X1 , . . .

, Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, θ], где θ ∈ (0, 1]. Используя неравенствоЧебышёва, построить доверительный интервал для θ с помощьюа) оценки 2X;б) оценки X(n) .14.11. С помощью статистики X1 по выборке объёма 1 из равномерного распределения на отрезке [0, θ] построить точный доверительный интервал уровня 1 − ε для параметра θ.14.12. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, θ]. С помощью статистики X(n) построитьточный доверительный интервал уровня 1 − ε для параметра θ.Р е ш е н и е.

Пусть Yi = Xi /θ, i = 1, . . . , n, — элементы выборки объёмаn из равномерного распределения на отрезке [0, 1]. Распределение случайной величины Y(n) = X(n) /θ не зависит от θ. Найдём ψ ∈ (0, 1) такое, чтоP{ψ < Y(n) < 1} = 1 − ε. Функция распределения максимальной порядковойстатистики Y(n) равна F (y) = y n для 0 < y < 1.

Поэтому 1 − ψ n = 1 − ε и,√соответственно, ψ = n ε.Доверительный интервал для θ получим из соотношений1 − ε = P{ψ < X(n) /θ < 1} = P{X(n) < θ < X(n) /ψ}.√Искомый доверительный интервал равен (X(n) , X(n) / n ε).§ 15. асимптотические доверительные интервалы7714.13. Пусть X1 , . .

. , Xn — выборка объёма n из равномерногораспределения на отрезке [0, θ]. Показать, что в качестве точногодоверительного интервала уровня 1 − ε можно взять интервал(X(n−1) , X(n−1) /ψ), где ψ находится из уравненияψ n−1 (n − (n − 1)ψ) = ε.14.14. С помощью оценки X(1) построить точный доверительный интервал для параметра θ по выборке объёма n иза) равномерного распределения на отрезке [θ, θ + 1];б) равномерного распределения на отрезке [θ, 2θ].14.15. С помощью оценки X(1) по выборке объёма n из смещённого показательного распределения с параметром сдвига β построить точный доверительный интервал для параметра β.14.16. Пусть X1 , .

. . , Xn — выборка из показательного распределения с параметром α. Построить точные доверительные ин~ = X1 итервалы для параметра α, используя статистики S1 (X)~ = X(1) .S2 (X)§ 15. Асимптотические доверительные интервалыСлучайный интервал (θn− , θn+ ) называется асимптотическим доверительным интервалом уровня 1 − ε, если при всех θlim inf Pθ {θ ∈ (θn− , θn+ )} > 1 − ε.n→∞Случайный интервал (θn− , θn+ ) называется асимптотически точным доверительным интервалом уровня 1 − ε, если при всех θlim Pθ {θ ∈ (θn− , θn+ )} = 1 − ε.n→∞15.1. С помощью оценки X построить асимптотический доверительный интервал уровня 1 − ε для неизвестного параметра pраспределения Бернулли.Р е ш е н и е.

По центральной предельной теореме распределение случайной величиныPnXi − nppi=1np(1 − p)слабо сходится к стандартному нормальному закону, а X сходится по вероят-78отдел v. доверительное оцениваниености к p. Поэтому√n(X − p)qX(1 − X)слабо сходится также к стандартному нормальному закону. Следовательно,случайный интервалqq!ζ1−ε/2 X(1 − X)ζ1−ε/2 X(1 − X)√√X−, X+nnявляется асимптотическим доверительным интервалом уровня 1 − ε, еслиζ1−ε/2 — квантиль уровня 1 − ε/2 стандартного нормального распределения.15.2. В результате проверки 400 электрических лампочек 40штук оказалось бракованными. Найти доверительный интервалуровня 0,99 для вероятности брака.15.3.

С помощью оценки X построить асимптотический доверительный интервал уровня 1 − ε для неизвестного параметра pбиномиального распределения (значение параметра m известно).15.4. С помощью статистики X построить асимптотическийдоверительный интервал уровня 1 − ε для параметра λ распределения Пуассона.15.5. С помощью статистики X построить асимптотическийдоверительный интервал уровня 1 − ε для параметра p геометрического распределения.15.6. Пусть X1 , . . .

, Xn — выборка из распределения Fθ с конечной дисперсией, Eθ X1 = θ и Dθ X1 = σ 2 (θ), где σ(θ) — непрерывная по θ функция. С помощью оценки X построить асимптотический доверительный интервал для θ уровня 1 − ε.15.7. Пусть θn∗ — асимптотически нормальная оценка параметра θ с коэффициентом σ 2 (θ), где σ(θ) — непрерывная по θфункция. С помощью оценки θn∗ построить асимптотический доверительный интервал для θ уровня 1 − ε.15.8. Пусть X1 , . . .

, Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, θ]. Используя результат задачи 1.28, построить асимптотический доверительный интервал для θ с помощьюоценки X(n) .§ 15. асимптотические доверительные интервалы7915.9. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, θ].pС помощью асимптотически нормальныхоценок θ1∗ = 2X и θ2∗ = 3X 2 построить асимптотические доверительные интервалы для параметра θ уровня 1 − ε и показать, чтовторой интервал асимптотически короче первого.15.10. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из показательного распределения с параметром α. Сqпомощью асимптотически нормальныхоценок α1∗ = 1/X и α2∗ = 2/X 2 построить асимптотические доверительные интервалы для параметра α уровня 1 − ε и показать,что первый интервал короче второго.15.11.

Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из смещённого показательного распределения с параметром сдвига β. С помощью статистики X построить асимптотический доверительный интервалдля параметра β уровня 1−ε. Сравнить его с точным доверительным интервалом из задачи 14.15. Какой из интервалов следуетпредпочесть?15.12. Пусть дана выборка из распределения Парето с параметрами β и θ.

Пользуясь результатами задачи 7.22, построитьасимптотический доверительный интервал для β.15.13. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из нормального распределения со средним a и дисперсией σ 2 , причём значение σ 2 известно.Построить асимптотический доверительный интервал для a, используя выборочную медиану. Сравнить полученный интервал сточным доверительным интервалом, построенным по выборочному среднему значению.15.14. Пусть X1 , . .

. , Xn — выборка из распределения Коши спараметром сдвига a. Построить асимптотический доверительныйинтервал для a, используя выборочную медиану.15.15. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из нормального распределения со средним a и дисперсией σ 2 , причём значение a известно.Построить асимптотическийдоверительный интервал для σ 2 , исpпользуя статистику π/2 · |X − a|. Сравнить полученный интервал с точным доверительным интервалом, построенным по выборочной дисперсии.Р е ш е н и е.

Оценка σn∗ =pπ/2 · |X − a| является асимптотически нор-80отдел v. доверительное оцениваниемальной оценкой для σ с коэффициентом σ 2 (π/2 − 1) (см. задачу 7.10). Поэтому оценка (σn∗ )2 = (π/2)(|X − a|)2 является асимптотически нормальнойоценкой для σ 2 с коэффициентом 4σ 4 (π/2 − 1). Отсюда получаем следующийасимптотический доверительный интервал для σ 2 :pp2(σn∗ )2 ζ1−ε/2 π/2 − 1 σn∗ + 2(σn∗ )2 ζ1−ε/2 π/2 − 1 ∗√√σn −,,nnгде ζ1−ε/2 — квантиль уровня 1 − ε/2 стандартного нормального распределе√4σ 2 ζ1−ε/2 π/2−1√. Длина точного доверительния. Его длина имеет порядокnного интервала равна (см. решение задачи 14.3)nS12nS12√√ −√√ ,n − nζ1−ε/2 + o( n)n + nζ1−ε/2 + o( n)что есть величина порядка2σ 2 ζ1−ε/2√.nинтервал асимптотически короче.Таким образом, точный доверительныйО Т Д Е Л VIПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ§ 16.

Различение двух простых гипотез:основные понятияПусть имеется выборка X1 , . . . , Xn . Кроме того, пусть имеются два распределения F1 и F2 , а также две простые гипотезы H1 и H2 о распределениивыборки: гипотеза Hj состоит в том, что выборка взята из распределения Fj ,j = 1, 2. Гипотеза H1 называется основной, а H2 — альтернативной.Нерандомизированным критерием называется произвольное измеримоепо Борелю отображение δ : Rn → {0, 1}.

Если δ(X1 , . . . , Xn ) = 1, то основнаягипотеза отвергается и принимается альтернатива; если δ(X1 , . . . , Xn ) = 0, топринимается основная гипотеза.Рандомизированным критерием называется произвольное измеримое поБорелю отображение δ : Rn → [0, 1]. Величина δ(X1 , . . . , Xn ) интерпретируется как вероятность отвергнуть основную гипотезу.Вероятностью ошибки j-го рода нерандомизированного критерия δ называется вероятностьαj = PHj {гипотеза Hj отвергается},где вероятность PHj вычисляется в предположении, что выборка X1 , . .

. , Xnвзята из распределения Fj .Вероятностью ошибки первого рода рандомизированного критерия δ называется математическое ожиданиеα1 = EH1 δ(X1 , . . . , Xn ),а вероятностью ошибки второго рода — величинаα2 = 1 − EH2 δ(X1 , . . . , Xn ).Вероятность ошибки первого рода называется также размером критерия иобозначается α(δ), а 1 − α2 (δ) — мощностью критерия и обозначается β(δ).Критерий называется состоятельным, если с ростом объёма выборкимощность критерия стремится к 1.82отдел vi.

Характеристики

Список файлов книги